2021高中数学一轮复习课件第四章 三角函数、解三角形第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数

153，即 x＝52或 x＝－52(舍)．所以 P－52，－6，
r＝123，所以 sin α＝－1123．所以 tan α＝csions αα＝152，则sin1 α＋tan1 α
＝－1132＋152＝－23．
[答案] (1)D (2)－23
[解题技法]
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三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法 (1)已知角 α 的终边上的一点 P 的坐标，求角 α 的三角函数值．
，k∈Z中的角所表示的范围(阴影
部分)是
()
解析：当k＝2n(n∈Z
)时，2nπ≤α≤2nπ＋
π 4
(n∈Z
)，此时α的终边
和0≤α≤
π 4
的终边一样，当k＝2n＋1(n∈Z )时，2nπ＋π≤α≤2nπ
＋π＋π4(n∈Z )，此时α的终边和π≤α≤π＋π4的终边一样． 答案：B
2．若角α是第二象限角，则α2是 A．第一象限角 C．第一或第三象限角 解析：∵α 是第二象限角， ∴π2＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z ，
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4．下列与94π的终边相同的角的表达式中正确的是
()
A．2kπ－45°(k∈Z )
B．k·360°＋94π(k∈Z )
C．k·360°－315°(k∈Z )
D．kπ＋54π(k∈Z )
解析：与94π的终边相同的角可以写成2kπ＋94π(k∈Z )，但是
角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确．故选C．
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3．象限角
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4．轴线角
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[基础自测] 一、走进教材 1．(必修4P10A组T7改编)角－225°＝________弧度，这个角在第
________象限．
答案：－54π 二
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2．(必修 4P15 练习 T2 改编)设角 θ 的终边经过点 P(4，－3)，那么 2cos θ－sin θ＝________．
示．正弦线的起点都在 x 轴上，余弦线的起点都是原点，
正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段 MP，OM，AT
分别叫做角 α 的正弦线、余弦线和正切线．
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[常用结论]
1．一个口诀 三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、 四余弦．
2．三角函数定义的推广 设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝ |OP|，则sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝xy(x≠0)．
解析：如图，在坐标系中画出直线y＝ 3x，可以
发现它与x轴的夹角是
π 3
，在[0,2π)内，终边在直
线y＝ 3x上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内
满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的
集合为－53π，－23π，π3，43π．
答案：－53π，－23π，π3，43π
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则令－720°≤45°＋k×360°<0°(k∈Z )，
得－765°≤k×360°<－45°(k∈Z )， 解得－736650≤k<－34650(k∈Z )， 从而 k＝－2 或 k＝－1， 代入得 β＝－675°或 β＝－315°． 答案：－675°或－315°
4．终边在直线y＝ 3x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为 返回 ________．
解析：由已知并结合三角函数的定义，得sin θ＝－35，cos θ ＝45，所以2cos θ－sin θ＝2×45－－35＝151． 答案：151
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3．(必修4P10A组T6改编)一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆 心角大小为________弧度． 答案：π3
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二、走出误区 常见误区：①终边相同的角理解出错致误；②三角函数符号 记忆不准致误；③求三角函数值不考虑终边所在象限致误．
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2．已知一扇形的弧长为29π，面积为29π，则其半径r＝
________，圆心角θ＝________．
解析：因为扇形的弧长为
2π 9
，所以面积 29π
＝
1 2
×
2π 9
×r，
解得r＝2．由扇形的弧长为29π＝rθ＝2θ，解得θ＝π9．
答案：2
π 9
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考点三 三角函数的定义及应用 [定向精析突破]
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[解题技法] 有关弧长及扇形面积问题的注意点 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须 是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问 题，利用配方法使问题得到解决．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角 所在的三角形．
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[跟踪训练]
1．若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度
第四章
三角函数、解三角形
第一节 任意角和弧度制及任意角
的三角函数
新课程标准
考向预测
1．了解任意角的概念 和弧度制，能进行弧 度与角度的互化． 2．借助单位圆理解任
命题 角度
1．象限角与终边相同的角 2．扇形弧长及面积公式的应用 3．三角函数的定义及应用
意角三角函数(正弦、 核心 余弦、正切)的定义． 素养
答案：C
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5．若sin α<0，且tan α>0，则α是
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
()
解析：由sin α<0知α的终边在第三、第四象限或y轴的非正 半轴上；由tan α>0知α的终边在第一或第三象限，故α是 第三象限角．故选C．
答案：C
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6．已知角 α 的终边在直线 y＝－x 上，且 cos α<0，则 tan α＝ ________．
直观想象、数学运算
目录
01
知识 逐点夯实
重点准 疑点清 结论要熟记
课前 自修
02
考点 分类突破
理解透 规律明 变化究其本
课堂 讲练
03
课时过关检测
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知识 逐点夯实 课前自修
重点准 疑点清 结论要熟记
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[知识梳理]
1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着 端点从一
个位置旋转到另一个位置所成的图形．
[解题技法] 1．象限角的2种判断方法 图象 在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定 法 义直接判断已知角是第几象限角
转化 法
先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z )的形 式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边 所在的象限判断已知角是第几象限角
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2．求nθ或 nθ(n∈N *)所在象限的步骤
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()
B．第二象限角 D．第二或第四象限角
∴π4＋kπ<α2<π2＋kπ，k∈Z ．
当 k 为偶数时，α2是第一象限角；
当 k 为奇数时，α2是第三象限角．故选 C． 答案：C
3．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 返回 解析：所有与 45°终边相同的角可表示为： β＝45°＋k×360°(k∈Z )，
k·180°(k∈Z )表示终边落在角 α 的终边所在直线上的角．
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考点二 扇形的弧长及面积公式的应用 [师生共研过关]
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[例1] 已知扇形的圆心角是α，半径是r，弧长为l． (1)若α＝100°，r＝2，求扇形的面积； (2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形 圆心角的弧度数． [解] (1)因为 α＝100°＝100×1π80＝59π， 所以 S 扇形＝12lr＝12αr2＝12×59π×4＝109π． (2)由题意知，l＋2r＝20，即 l＝20－2r， 故 S 扇形＝12l·r＝12(20－2r)·r＝－(r－5)2＋25， 当 r＝5 时，S 的最大值为 25，此时 l＝10，则 α＝rl＝2．
θ在一、三象限为正． 学习时首先把取正值的象限记清楚，其余的象限就是负的，
如 sin θ 在一、二象限为正，那么在三、四象限就是负的．值得
一提的是：三角函数的正负有时还要考虑坐标轴上的角，如
π sin2
＝1>0，cos π＝－1<0．
[跟踪训练] 1．下列各选项中正确的是
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()
A．sin 300°>0
B．cos(－305°)<0
C．tan－223π>0
D．sin 10<0
解析： 300°＝360°－60°，则 300°是第四象限角，故 sin
300°<0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故
(1)将 θ 的范围用不等式(含有 k，且 k∈Z )表示； (2)两边同除以 n 或乘以 n； (3)对 k 进行讨论，得到nθ或 nθ(n∈N *)所在的象限．
[提醒] 注意“顺转减，逆转加”的应用，如角 α 的终边逆 时 针 旋 转 180°可 得 角 α ＋ 180°的 终 边 ， 类 推 可 知 α ＋
角函数值．
方法：先设出终边上一点 P(a，ka)，a≠0，求出点 P 到原点的
距离(注意 a 的符号，对 a 分类讨论)，再利用三角函数的定义求解．
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考向(二) 三角函数值符号的判定
[例 3] (2020·江西九江一模)若 sin x<0，且 sin(cos x)>0，则角
x是
()
A．第一象限角
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考向(一) 三角函数的定义
[例2] (1)函数y＝loga(x－3)＋2(a>0且a≠1)的图象过定点P， 且角α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P，则sin
α＋cos α的值为
()
A．75
B．65
C．
5 5
D．35 5
(2)已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cos α＝－153，则sin1 α
＋tan1 α＝________．
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[解析] (1)因为函数 y＝loga(x－3)＋2 的图象过定点 P(4,2)，
且角 α 的终边过点 P，所以 x＝4，y＝2，r＝2 5，所以 sin α＝ 55，
cos α＝255，所以 sin α＋cos α＝ 55＋255＝35 5．故选 D．
(2)因为角 α 的终边经过点 P(－x，－6)，且 cos α＝－153，所以
方法：先求出点 P 到原点的距离，再利用三角函数的定义求解．
(2)已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐
标，求与角α有关的三角函数值．
方法：先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值
及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题．
(3)已知角 α 的终边所在的直线方程(y＝kx，k≠0)，求角 α 的三
角，弧度记作 rad．
(2)公式：
角 α 的弧度数公式
|α|＝rl(l 表示弧长)
角度与弧度的换算 弧长公式
①1°＝1π80 rad；②1 rad＝1π80° l＝ |α|r
扇形面积公式
S＝12lr＝12|α|r2
有关角度与弧度的两个注意点
(1)角度与弧度的换算的关键是 π＝180°，在同一个式子中，采用的度 量制度必须一致，不可混用．
(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
3．任意角的三角函数
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(1)定义：设 α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，
y)，那么 sin α＝
y
，cos α＝
x
，tan α＝
y x
(x≠0)．
(2) 几 何 表 示 ： 三 角 函 数 线 可 以 看 作 是 三 角 函 数 的 几 何 表
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
[解析] ∵－1≤cos x≤1，且 sin(cos x)>0，∴0<cos x≤1，
又 sin x<0，∴角 x 为第四象限角，故选 D．
[答案] D
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[解题技法]
三角函数值符号及角所在象限的判断
三角函数在各个象限的符号与角的终边上的点的坐标密切
相关．sin θ在一、二象限为正，cos θ在一、四象限为正，tan
解析：如图，由题意知，角 α 的终边 在第二象限，在其上任取一点 P(x，y)， 则 y＝－x，由三角函数的定义得 tan α ＝xy＝－xx＝－1． 答案：－1
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考点 分类突破 课堂讲练
理解透 规律明 变化究其本
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考点一 象限角及终边相同的角 [基础自学过关]
[题组练透]
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1．集合αkπ≤α≤kπ＋π4
(2)分类按按旋终转边方位向置不不同同分分为为
正角 、负角 象限角 和
、 零角
轴线角
. .
(3)终边相同的角：所有与角 α 终边相同的角，
连同角 α 在内， 可构成一个集合
S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}
．
2．弧度制的定义和公式
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(1)定义：把长度等于 半径长 的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的
数为
()
A．π6
B．π3
C．3
D． 3
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解析：如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形， 则线段AB所对的圆心角∠AOB＝23π， 作OM⊥AB，垂足为M， 在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝π3， ∴AM＝ 23r，AB＝ 3r， ∴l＝ 3r， 由弧长公式得α＝rl＝ r3r＝ 3． 答案：D