成人高考数学复习教案—解析几何

第四部分 解析几何 第十三章 平面向量
本章知识
◆ 向量的概念，向量的几何表示，共线向量的概念
◆ 向量的加减运算，数乘向量的运算，两个向量共线的条件 ◆ 平面向量的分解定理，直线的向量参数方程
◆ 向量数量积运算，几何意义和处理长度、角度及垂直问题的应用 ◆ 向量垂直的条件
13.1向量及其线性运算 一、向量
1.向量的概念 既有大小又有方向的量叫向量
2.向量的几何表示 常用有向线段表示向量，在符号上可用小写黑体单字母a 、b 、c 等 ；大写黑体单字母A 、B 、C 等，带箭头的双字母
AB BC CD ，带点单字母U 、I 、E 等表示。

零向量表示为0
3.向量的模与夹角
(1)向量的模 向量的大小叫做向量的模，记作
a
、
AB
等。

模为零的向量是零向量，模为1的向量叫单位向量。

(2)向量相等 模相等,方向相同的向量叫相等向量,与a b 是相等向量记为=a b
长度相等、方向相同的有向线段，无论起点是否相同，都是相等向量
(3)向量的夹角 将a 或b 平移,使它们的起点重合,它们的方向间的夹角叫与a b 的夹角,记为
,〈〉a b
(4)向量共线 如果向量与a b 的夹角等于0或π，叫向量与a b 共线，记为//a b 。

零向量与任何向量共线，如//0a 等。

共线向量的有向线段所在的直线可以重合，也可以平行
二、向量的线性运算
向量的加减应遵循平行四边形法则
1.向量的加法 向量与a b 之和是以这两向量作两边的平行四边形的对角线向量，也就是:将向量b 的起点移至向量a 的终点，再从向量a 的起点向向量b 的终点引向量c ，=+c
a b .
2.向量的减法 向量a 减去向量b 等于向量a 加上b 的反向量，即()-=+-a b a b 。

与向量b 模相等而方向相反的向量叫b 的反向量。

或者说从b 的终点向量a 的终点引出的向量为-a b
3.数乘向量 实数λ与向量a 的乘积是一个向量，记作λa ，它的模是λλ=a a 。

当0λ>时，λa 与a 方向相同；当0λ<时，λa 与a 方向相反。

数乘向量的运算法则是：
(1)
1=a a ,(1)-=-a a
(2)
()()λμλμ=a a
(3)
()λμλμ+=+a a a
(4)()λλλ+=+a b a b
2.向量共线的充要条件 非零向量,a b 共线的充要条件是存在实数λ,使得λ=a b
,=a b
,,,,共线
a b c d
例[P .132例1.(1) 1.] 已知A(1,3)--，B(4,0)，C(7,5)，求ABCD 的D 点坐标.
解 OD=OA AD=OA BC=(1,3)(74,50)=(2,2)++--+--，故D 点坐标为(2,2)（见
上图）.
例 向量a 的模
5=a ，方向60º向量b 的模4=b ，方向0º，求+a b 和a -b
解 ,60060〈〉=-=a b +a b 的模是
22cos(18054254cos 6061+=
=++⨯
⨯=a b a b
+a b 的方向是
222
22arccos 33.67
2θ++-==≈+b a b a b a b
a -
b 的模是
22cos 6054254cos 6021=
=+-⨯⨯=a -b a b
a -
b 的方向是 sin60180arcsin
180arcsin
109.11
21
θ'=-=-≈-a a b
三、平面向量的分解定理
如果1e ，2e 是同一平面内两个不共线的非0向量，那么这个平面内的任一向量a ,有且只有一对实数
1λ、2λ，1122λλ+使得a e e =。

1e ，2e 称为表示这一平面内所有向量的基底．
这就表明：平面内任一向量都可以用两个不共线的向量来表示． 13.2 向量的坐标运算和数量积
一、平面向量的坐标运算
1.平面向量的坐标
在直角坐标系中,设向量AB 的起点在坐标原点,终点A 的坐标为(,)A x y ,与x 轴和y 轴正方向相同
的单位向量分别为,i j ,则由平面向量的分解定理,向量AB 可以表示为
OA x y =+i j ， 记为(,)OA x y =. (,)x y 称为向量OA 坐标,x ,y 分别是向量OA 的x 坐标,y 坐标.
若向量
AB 的起点不在坐标原点，起点的坐标11(,)A x y ，终点的坐标
22(,)B x y ，则向量AB 表示
向量加法
向量减法
b -b
-a b
a
θ
'
x
)
x
y j
i
11(,)
A x y 22(,)
B x y 2121(,)
AB x x y y =--起点不在原点的向量坐标
a
为：
2121()()AB x x y y =-+-i j 或 2121(,)AB x x y y =-- 或 2121(--)x x y y =，a 2.数量积的定义 设a 、b 是两个非0向量,它们的夹角为,〈〉a b ,则a 与b 的数量积(也叫内积)为： cos =〈〉b b ,b a a a
数量积的几何意义是 数量积a b 等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影cos 〈〉b a,b 的乘积
数
量
积
的
运
算
法
则
(1)
=a b b a
(2)
((λλλ=(a)b a b)=a b)
(3)()()λ=a +b c ac +bc =a b
3.向量的坐标运算
设向量1122(,),(,)x y x y ==a b ，,k λ∈R
(1)加法运算 1212(,)x x y y +=++a b (2)减法运算 1212(,)x x y y -=--a b (3)数乘运算 1111(,)(,)k k x y kx ky ==a
(4)内积运算 11221212(,)(,)x y x y x x y y ==+a b
(5)共线向量
11
221122
(,)(,)x y x y x y x y λλ=⇔=⇔
=b a ,//a b 的充要条件是0⨯=a b （向量共线的充要条件是矢量积为零，也即对应坐标成比例）
(6)垂直向量
12120a b x x y y ⊥⇔+=，⊥a b 的充要条件是0=a b （向量垂直的充要条件是
数量积为零，也即对应坐标之积为0）
(7)向量(,)x y ，则向量a 可用直角坐标系中的向量OA 表示，a =OA ，
2OA x ==a 例 已知(3,2),(5,4)=-=-a b ,求+a b ,-a b ,a b . 解 (35,24)(2,2)+=--+=-a b
[3(5),24](8,6)-=----=-a b 3(5)(2)423=⨯-+-⨯=-a b
例 求过点N (2,1)且垂直于向量(1,2)=-a 的直线方程
解 在所求直线上任取一点(,)M x y (M 不与N 重合)，则(2,1)MN x y =--，0MN =a ，即 (2,1)(1,2)(2)2(1)20MN x y x y x y =---=--+⨯-=-=a
所求直线方程为1
2
y x =
例 求过点N (1,2)且平行于向量(3,2)=a 的直线方程
解 在所求直线上任取一点(,)M x y (M 不与N 重合)，则(1,2)NM x y =--，因//MN a ，故
所求直线方程为:12
32x y --=, 2(1)23
y x =-+ 例 已知向量(3,4)a =，向量b 与a 方向相反，并且||10b =，则b 等于(6,8)b =--
解 设(,)b
x y =，因向量b 与a 方向相反（一种平行），故
34
x y
=，即43x y = ①，
•34||||cos1801050a b x y a b =+==-=- ②
将①与②组成方程组：
4334=50x y x y =⎧⎨+- ⎩ ①②
，解得：6
8x y =-⎧⎨=-⎩，故(6,8)b =--
也可这样简单分析求解： 因
||5
a =，
||10
b =，
||
b 是
||
a 的二倍，
b
与
a
方向相反，故
2=2(3,4)=(6,8)b a =--⨯--
二、距离公式、中点公式和平移公式
1.距离公式 (d AB x ==
2.中点公式
1212,22
x x x y +==
3.平移公式
(1)平移 把平面内图形G 上的每一点按照同一方向移动相同的长度(即按向量a 平移),得到图形G ',我们把这一过程叫做图形G 的平移.
(2)平移公式 设(,)P x y 是图形G 上的任意一点，与它对应的向量(,)OP
x y =，把它按向量
(,)h k =a 平移后，在图形G '上的对应点为(,)P x y '''，这时(,)PP h k '==a ，(,)OP x y '''=，
由图得
OP OP PP OP ''=+=+a
用坐标表示为: (,)(,)(,)(,)x y x y h k x h y k ''=+=++,
由此得x x h y y k
'=+⎧⎨'=+⎩
上面公式表示图形中的每一点(,)P x y 按向量(,)h k =a 平移
后,新坐标为(,)P x h y k '++.
例 若点(2,4)A 按(8,9)=-a 平移的坐标为A '；求A '的坐标； 若点(2,4)A 按b 平移至
(10,20)B ',求b
解 286,4913x y ''=-=-=+= 故A '的坐标为(-6,13)；
设(,)h k =b ,则1028h =-=，20416k =-=，故(8,16)=b
【练习】
（1） 已知C(3,5)，BC=(3,3)
--AB=(4,2)-，求的A 点坐标.
OA=OC CB BA=OC BC AB
=(3,5)(3,3)(4,2)=(10,6)
++------- 解
（2）如果向量(3,2)=-a
，(1,2)=-b ，求(2)()•a +b a -b
2=2(3,2)=(6,4),
2=(6,4)+(1,2)=(5,2)=(3,2)(1,2)=(4,4)
(2)()=(5,2)(4,4)=28
-- -------- •--- ，
解a a +b a b a +b a b
(AB x =0
x
y j
i
(,)
P x y (,)
h k =a (,)
P x h y k '++x
y
C
B A
第十四章 直线和圆
本章知识：
◆ 线段中点公式、平移公式
◆ 直线的倾斜角和斜率的概念、直线的斜率 ◆ 直线方程、直线方程解决有关问题
◆ 两条直线平行于垂直的条件以及点到直线的距离公式 ◆ 曲线和方程的关系，两条曲线的交点 14.1直线
一、直线的倾角和和斜率
1.直线的倾角 一条直线l 向上的方向与x 轴正方 向所成的最小正角叫做这条直线的倾角,如图1
2.2中 的α,显然,
α的的取值范围是0180
α≤<.
2.直线的斜率 当直线的倾角不是90º时,直线的 斜率是直线倾角的正切,常用k 表示,即
tan (90)k αα=≠
3.过两点的直线斜率公式 过两点111(,)P x y ,222(,)P x y 的直线的斜率公式为:2112
2112
tan y y y y k
x x x x α--==
=
--
4.直线的截距 在平面直角坐标系中,直线与
y 轴的交点的纵坐标叫做直线在y 轴上的截距(或称纵截
距), ,直线与x 轴的交点的横坐标叫做直线在x 轴上的截距(或称横截距).二者统称为直线的截距.如图12.1中直线在
y 轴上的截距为b ,直线在x 轴上的截距为a .
二、直线方程
（一）直线方程的几种形式 1.点斜式 00()y y k x x -=-，如斜率为2k =-,过点(1,4)的直线方程为42(1)y x -=-- 2.斜截式 y kx b =+, 如斜率为2k =-,y 轴上的截距为6的直线方程为26y x =-+
3.二點式
112112y y y y x x x x --=-- 1212(,)x x y y ≠≠，如442
112
y x --=--. []12(1,4),(2,2)P P 4.截距式
1x y a b
+= (00a b ≠ ≠，)，（从上图得000y b x a a --=
--，
bx ay ab
+=，
1x y
a b
+=） 如过点（0，–3）、（5，0）的直线方程为
153
x y -=
5.一般形式 0(,0)Ax By C A B ++=不同时为，如260x y +-=
6..参数式 11,x x at y y +bt =+= .11(,)x y 是直线上的一个点，直线的斜率是/k b a =
7.法线式 x cosθ+y sinθ-p = 0. 其中p 为原点到直线的距离，θ为法线与x 轴正方向的夹角
8.向量式
（二）特殊位置的直线方程 y b =,0y =,x a =,0x =
例 求下列直线方程 （1）过点(3,5)，斜率为1
3
；（2）横截距为5，纵截距库为4；（3）过点(5,3)(3,6)-和 解（1）
1
5(3)3y x -=-，3120x y -+=
（2）154
x y +=，45200x y +-=
（3）336553
y x --=
+--，38390x y -+= 14.2点、直线间的关系
设两条直线12,l l 的方程为和点0P 分别为
11112222:0;:0l y k x b A x B y C l y k x b A x B y C =+++==+++=或 或 ；000(,)P x y
一、两条直线平行
直线12,l l 平行的充要条件是倾角相同或斜率相等,表为
111
121212222
//A B C l l k k b b A B C ⇔=≠=≠且或
例 求过点(0,1)且与直线
23y x =+的平行的直线方程.
解 过点(0,1)且与直线23y x =+的平行的直线方程的直线方程的斜率为2,由直线的点斜式方程得过点(0,1)且与直线23y x =+的平行的直线方程为:12y x -=,即21y x =+.
直线12,l l 重合的充要条件是倾角相同与纵截距相等,表为
121212
l l k k b b ⇔==与重合且1
2
A A 111
222A B C A B C ==或
二、两条直线垂直
直线12,l l 垂直的充要条件是斜率互为负倒数,表为
12121,l l k k ⊥⇔=-或12120A A B B +=
例[P117例5(2)] 已知(3,1)M -,(3,5)N -,求线段MN 的垂直平分线方程
解法一
=解得：20x y -+=
解法二 线段MN 所在直线的斜率是
133
=---，故线段MN 的垂直平分线的斜率是1，线段MN
(P '12.3
图的垂直平分线经过线段MN 的中点，线段MN 的中点的坐标是3315
(,)22
--+，即(0,2)，故由点斜式方
程得线段MN 的垂直平分线方程为：
2y x -=，即20x y -+=.
例 求点(2,4)P 关于直线l :420x y -+=的对称点的坐标.
解 直线的斜率为4
41A k B =-=-=-,
直线1l 的斜率为114
k =-,1
tan 4
a b θ==,4b a =.
2PP '==
图12.3) 222222(4)17a b a a a +=+==,得:1217a =
,484
b = 点P '的坐标为:48121412
(,)
(2,4)(2,4)(,4)17171717
P x y P b a P P ''''=-+=-
+=- 三、夹角
把1l 按逆逆时针方向旋转到与2l 重合时所转的角叫做1l 到2l 的角, 把2l 按逆逆时针方向旋 转到与1l 重合时所转的角叫做2l 到1l 的角. 1l 到2l 的角与2l 到1l 的角中小于或等于90º的正角叫1l 与2l 的
夹角θ.
21θαα=-,
2121
212121
tan tan tan tan()1tan tan 1k k
k k ααθαααα--=-=
=++
因为090θ<≤,所以必须tan 0θ>,故2121
arctan
1k k k k θ-=+
若1l 与2l 的夹角为90º,则12l l ⊥.
例 求(1)
123y x =-+与2 1.5y x =-的夹角,(2) 10.53y x =+与20.5 1.5y x =--的夹角 解 (1)1
2k =-，21k =
，212121
arctan
arctan arctan 371.57
11(2)1
k k k k θ---===≈++-⨯
(2)10.5k =，20.5k =-，
21210.50.51
arctan
arctan arctan 53.13
11(0.5)0.50.75
k k k k θ---===≈++
-⨯
四、点到直线的距离、两平行在线间的距离
点000(,)P x y 到直线
0Ax By C ++=的距离为:d =
.(A 、B 不同时为0或都不
为0)；
两平行直线(1l :10Ax By C ++=；2l :20Ax By C ++=)
间的距离：d =
例 求点P(-1，2)分别到(1)2x+y-10=0，(2)3x=2的距离．(3) 求2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离. 解：(1)
根据点到直线的距离公式，得d
=
=
=
(2)直线3x=2即23x =
,25(1)33
d =--=
(3)
53
d =
=
=
例 求直线340x y --=关于点(2,1)P -对称的直线l 的方程.
解 方法一：
由于直线l 与直线平行，故设直线l 方程为30x y b -
+=。

因点P 到两直线的距离相等，故：
=
，解得：110b =-，24b =-（不合题意，舍去）。

故所求直线l 的方程为3100x y --=。

方法二：
设直线
l 上任一点的坐标为(,)x y ，它在直线340x y --=上的对称点的坐标为11(,)x y ，
则
122
x x
+=，1
12y y +=-，由此解得14x x =-，12y y =-- 因点
11(,)x y 在直线340x y --=上
，故
3(4)(2)40
x y -----=，即
3100x y --=
所以，所求直线l 的方程为3100x y --=
14.3 曲线与方程、圆 一、 曲线和方程的关系
一曲线
C 上的点(,)A x y 的坐标,x y 都是一个二元方程(,)0f x y =的解,而二元方程
(,)0f x y =的解,x y 为坐标的点(,)A x y 都在曲线上,则称方程(,)0f x y =为曲线C 的方程.
如与坐标原点距离为5的点的集合是一个圆心在原点半径为5的圆,而满足方程22
25x y +=的所有(,)x y 都在圆心在原点半径为5的圆上,所以方程2225x y +=是圆心在原点半径为5的圆的方程.
二、曲线的交点
设两曲线12,C C 的方程分别为12(,)0(,)0f x y f x y ==与,如果12,C C 有交点(,)A x y ,那么交点
的坐标,x y 就是
12(,)0(,)0f x y f x y ==与的一组实数解, 12(,)0(,)0f x y f x y ==与有多少个实
21)5
=
21)5
=
数解,
12,C C 就有多少个交点；若没有实数解,
12,C C 就没有交点.
如2225x y +=与22
(1)(1)25x y -+-=的解是
1134x y =-⎧⎨=⎩和22
4
3x y =⎧⎨=-⎩, 因此它们的的交点是(3,4)-和(4,3)-.
三、圆
（一）定义
平面内与定点距离等于定长的点的轨迹是圆，定点是圆心，定长是半径。

如方程2
225x y +=是圆
心在原点，半径为5的圆的圆的方程. （二）、圆的方程 1. 圆的标准方程
圆心为(,)C a b ，半径为r 的圆的标准方程为：
222()()x a y b r -+-= 如2225x y +=与22
(1)(1)25x y -+-=分 别表示圆心坐标为(0,0)和(1,1)，半径为5的圆
的标准方程
例 求过点(1,1)A -与点(3,1)B ，圆心在y
轴上的圆的标准方程
解 线段AB 的中点的坐标是
3122x +==,1(1)02
y +-==
线段
AB 所在的直线1l 的斜率是11(1)
131
k --=
=-
与1l 垂直的直线2l 的斜率是21
1
1k k =-=- 2l 的方程是:(2)y x =--,
所求圆的圆心为y 轴与(2)y x =--的交点,即(0,2)o ,该点与点(1,1)A -的距离的平方为2221(12)10r =+--=,所以,所求圆的方程为22(2)10x y +-=
2.圆的一般方程
圆的一般方程是个二元二次方程：2
20x
y Dx Ey F ++++=
其特征是22,x y 的系数相同,不等于0，没有xy 项,而且22
40D E F +->，用配方法可把圆的一
般方程化为标准方程
22221
()()(4)224
D E x y
D E F +
++=+- 此时的圆是以(,)22D E C --为圆心,为半径的圆 例 将圆的一般方程化22
4210x x y y -++-=化为标准方程
解 22222222
4214(2)21(2)110x x y y x x y y -++-=-+-+++----=
22(2)(1)6x y -++=
（三）圆的确定
确定圆的标准方程的三个参数是,,a b r , 确定圆的一般方程的三个参数是,,D E F 四、圆与直线的关系 设00(,)P x y 是圆2
22x y r +=上的任意一点,过点P 的切线垂直于OP ，由于OP 的斜率
00
y x ,为故点
的切线的斜率是0
x y -
,由直线的点斜式方程可知过点00(,)P x y 0
000
()x y y x x y -=-
- 化简，并注意00(,)P x y 是圆上的一点，200x y r +=
可得:
200x x y y r +=
这就是过圆上一点00(,)P x y 的切线方程
例 求过圆222
5x y +=上点(3,4)P 的切线方程
解 由2
00x x y y r +=所求圆的切线方程是:3425x y +=,即34250x y +-=
例 判断直线270x y -+=与圆22
(1)(1)20x y -++=的位置关系
解 由270x y -+=得：27y x =+，将27y x =+代入22
(1)(1)20x y -++=得
22
(1)(28)20x x -++=
222212122143264200,530450,690
3,1
x x x x x x x x x x y y -++++-=++=++===-==
所以，直线270x y -
+=与圆22(1)(1)20x y -++=有一交点，故直线270x y -+=与圆
22(1)(1)20x y -++=相切。

说明：①直线方程与圆方程联解有两个相同的解，则直线与圆相切； ②直线方程与圆方程联解有两个不同的解，则直线与圆相交；
③直线方程与圆方程联解无解，则直线与圆相离。

第十五章 圆锥曲线 本章知识： ◆ 椭圆的概念
◆ 椭圆标准方程与性质 ◆ 双曲线的概念
◆ 双曲线的标准方程与性质 ◆ 抛物线的概念
◆ 抛物线的标准方程与性质 15.1椭圆
第一定义:平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数()
2122F F a a >的点的轨迹叫做椭圆。

两个定点叫做椭圆的焦点,两个定点间的距离21F F 叫焦距。

第二定义
平面内与一个定点F 和一条定直线的距离的比等于一个常数()10<<e e
的动点的轨迹叫做椭圆，这个常数e 叫椭圆的离心率 ，定点F 叫椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线。

二、椭圆的标准方程、图形和性质
2
2221(0,)x y x a b a b +=>>焦点在轴上
2
22
21(0,)y y x a b b a
+=>>焦点在轴上
()()()()1212,0,00,0,A a A a B b B b --顶点、、、
()()()()12120,0,,0,0A a A a B b B b --顶点、、、
()()12,0,0F c F c -焦点、 ()()120,0,F c F c -焦点、
22
,a a a a x x e c e c =-===
准线
22
,a a a a y y
e c e c =-===
准线
12121212222,1
F F c
A A MF MF a
B B b x a y b
c e a a x y ==+===≤≤===<椭圆的焦距长轴长短轴长范围离心率对称性：轴、轴和坐标原点对称
三、椭圆的确定
只要知道a 、b 和焦点轴就能写出椭圆方程。

c a b e c a b e c e c a =
==、可由、确定，、、、他们的关系是
15.2双曲线 第一定义
平面内与两个定点21,F F 的距离之差的绝对值等于常数()
1222a a F F <的点的轨迹叫做双
x =
曲线。

两个定点叫做双曲线的焦点,两个定点间的距离122F F c =叫双曲线的焦距。

第二定义
平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比等于一个常数()1>e e 的动点的轨迹叫做双曲线，这个常数e 叫双曲线的离心率 ，定点F 叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线。

渐近线
22222
22222221,,11y x b b b
x y y x y x a b a a a y b b x y x y x a a a b y x b y x a b a ⎛-==±==- ⎝
==--=-==±但无限增大时，与直线无限接近但不想交
为双曲线的两条渐近线
的两条渐近线为
2
222
1()x y x a b -=焦点在轴上 22
221()y y x a b -=焦点在轴上 ()()12,0,0A a A a -顶点、
()()120,0,A a A a -顶点、
()()12,0,0F c F c -焦点、
()()120,0,F c F c -焦点、
22
,a a a a x x e c e c =-===
准线
22,a a a a y y e c e c =-===
准线
a
x a x a x -<>>或即范围： 22
a
y a y a y -<>>或即范围： 22
222121212122 221
F F c c a b A A MF MF a B B b c e a a x y ==+=-======>双曲线的焦距长轴长短轴长离心率对称性：轴、轴和坐标原点对称
x
,)
x y b x
a
=-b x a 2
2
双曲线的确定
只要知道a 、b 和焦点轴就能写出双曲线的方程。

22
22
c a b a b e c a b e c e c a b a +===+、可由、确定，、、、他们的关系是
15.3抛物线 一、定义
平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的动点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫抛物线的焦点，定直线l 叫抛物线的准线。

二、抛物线的标准方程与性质
三、抛物线的确定
对于顶点在原点，对称轴是坐标轴的抛物线来说，知道p 和抛物线的开口方向就可确定抛物线方程。

第十六章 立体几何
本章知识：
◆ 平面的基本性质
◆ 空间两条直线的位置关系以及异面直线所成角的概念 ◆ 空间直线与平面的位置关系，直线与平面垂直的概念 ◆ 点到平面的具体
◆ 直线和平面平行、垂直的判定定理和性质定理 ◆ 多面体和旋转体的概念和性质 16.1平面 平面
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面上。

注意：ααα⊂⇒∈∈∈∈l B A L B L A ,,,1它简明准确的表达为可以使用集合的符号把关于公理 公理1为判定直线在平面内的依据，进一步可以判定图形共面 公理1说明平面具有无限延展性
公理2 如果两个相异平面有一个公共点，那么他们有且只有一条通过这个点的公共直线
公理3 经过不在同一条直线上的三个点，可以确定一条平面
推理1 经过一条直线和这条直线外一点，可以确定一条平面
推理2 经过两条相交的直线，可以确定一个平面
推理3 经过两条平行直线，可以确定一个平面
16.2空间直线
16.3直线与平面的位置关系
四、三垂线定理的逆定理
逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么也和这条垂线的射影垂直。

16.4多面体和旋转体
一、多面体。