专题4.8：切比雪夫多项式的研究与拓展

专题4.8：切比雪夫多项式的研究与拓展
【课本溯源】
由倍角公式1cos 22cos 2
-=x x ，可知x 2cos 可以表示为x cos 的二次多项式. 再如： x
x x x x x x x x x x x sin )cos (sin 2cos )1cos 2(sin 2sin cos 2cos )2cos(3cos 2--=-=+=x x x x x x cos 3cos 4cos )cos 1(2cos cos 2323-=---=，可见x 3cos 可以表示为x cos 的三次多项式. 一般地，存在一个n 次多项式)(t P n ，使得),(cos cos x P nx n =这些多项式)(t P n 称为切比雪夫（P. L. Tschebyscheff ）多项式.
（1）请尝试求出)(4t P ，即用一个x cos 的四次多项式来表示x 4cos
（2）利用结论：x x x cos 3cos 43cos 3-=，求出 18sin 的值（ 18290183⨯-=⨯）
本例是一道阅读题，给出切比雪夫多项式的定义，由定义可知：任意一个nx cos 都可以表示为x cos 的n 次多项式.第（1）问利用二倍角公式和完全平方公式即可解决：1)1cos 2(212cos 24cos 222--=-=x x x 1cos 8cos 824+-=x x .
第（2）问根据所给提示 18290183⨯-=⨯，自然想到对x 进行赋值，令
18=x 18cos 18sin 2)182sin()18290cos(18cos 318cos 4183cos 3=⨯=⨯-=-=⨯化简后可得：3)18sin 1(418sin 2318cos 422--==- ，解得：41518sin -=
【探究拓展】
探究1：观察下列等式：观察下列等式：
①1-cos 22cos 2αα=;
② 42cos 48cos 8cos 1ααα=-+;
③ 642cos632cos 48cos 18cos 1αααα=-+-;
④ 8642
cos8128cos 256cos 160cos 32cos 1ααααα=-+-+;
⑤ 108642cos10cos 1280cos 1120cos cos cos 1m n p αααααα=-+++-.
可以推测，_________=+-p n m .962=+-p n m
探究2：3()31f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()0f x ≥成立，则a =
拓展1：已知△ABC 的三边长为有理数
（1）求证cosA 是有理数；
（2）对任意正整数n ，求证cosnA 也是有理数.
解：因为A cos 是有理数，由1-cos 22cos 2
A A =可知A 2cos 是有理数， ,sin sin -cos cos )1(cos A nA A nA A n =+（这个式子中出现了倍角的正弦的关系，能否转化为余弦的关系？）
由,sin sin cos cos )1-(cos A nA A nA A n +=A nA A n A nA cos cos )1-(cos sin sin -=，
故1)A -cos(n -cos cos )1(cos A nA A n =+，可知A n )1(cos +的有理性由nA cos 和A n )1cos(-的有理性决定，因为A cos ，A 2cos 是有理数，从而A 3cos 是有理数，同理可得 ,6cos ,5cos ,4cos A A A ，A n )1-(cos ，
nA cos 为有理数，命题得证.
拓展2：已知三次函数f (x ) = 4x 3＋ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )
（1）若()f x 是奇函数，3b =-，过点()2,6-作()y f x =图象的切线l ，求切线l 的方程；
（2）若函数()f x 在1x =处取极大值，求a 的取值范围；
（3）如果f (x )是奇函数，过点（2，10）作三条y = f (x )图象的切线l ，求实数b 的取值范围；
（4）当－1≤x ≤1时 f (x )满足－1≤f (x )≤1，求a ，b ，c 的所有可能的取值．
解：（1）因为()f x 是奇函数，3b =-，所以由()()f x f x -=-，得0a c ==，
所以()()3243,123f x x x f x x '=-=-．
设切点为()3,43P t t t -，则切线l 的方程为：()()()3243123y t t t x t --=--，
因为切线l 过点()2,6-，所以()()
()326431232t t t t ---=--，
解得0t =或3t =．
所以切线l 有两条，它们分别为30x y +=或1052160x y --=．
（2）2()122f x x ax b '=++
(1)1220f a b '=++=，所以122b a =--， 所以2()122122f x x ax a '=+--=(1)(12122)x x a -++ 所以由122112
a +->得到12a <-．
（3）因为f (x )是奇函数，所以由f (－x ) = －f (x )得a = c = 0，设切点为P (t ，4t 3＋bt )，则切线l 的方程为y －(4t 3＋bt ) = (12t 2＋b )(x －t )，由于切线l 过点（2，10），所以
10－(4t 3＋bt ) = (12t 2＋b )(2－t )，整理得b = 4t 3－12t 2＋5，
令g (t ) = 4t 3－12t 2＋5－b ，则g ′(t ) = 12t 2－24t = 12t (t －2)，
所以g (t )在(－∞，0)上是增函数，在(0，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，要使切线l 有三条，当且仅当g (t ) = 0有三个实数根，g (t ) = 0有三个实数根当且仅当
g (0)＞0，且g (2)＜0，解得－11＜t ＜5．
（4）由题意，当x = ±1，±12
时，均有－1≤f (x )≤1，故 －1≤4＋a ＋b ＋c ≤1， ① －1≤－4＋a －b ＋c ≤1，
即－1≤4－a ＋b －c ≤1， ②
－1≤12＋a 4＋b 2＋c ≤1， ③ －1≤－12＋a 4－b 2
＋c ≤1， 即－1≤12－a 4＋b 2
－c ≤1， ④ ①＋②得－2≤8＋2b ≤2，从而b ≤－3；
③＋④得－2≤1＋2b ≤2，从而b ≥－3．
代入①②③④得a ＋c = 0，a 4
＋c = 0，从而a = c = 0． 下面证明：f (x ) = 4x 3－3x 满足条件．
事实上，f ′(x ) = 12x 2－3 = 3(2x ＋1)(2x －1)，所以f (x )在[－1， －12]上单调递增，在[－12， 12
]上单调递减，在[12，1]上单调递增，而f (－1) = －1，f (－12) = 1，f (12
) = －1，f (1) = 1，所以当－1≤x ≤1时 f (x )满足－1≤f (x )≤1．
【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。