北京市通州区2019届高三上学期期末考试数学文试题(word版)

通州区高三年级摸底考试
数学（文）试卷
2019年1月
本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页，共150分．考试时间长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷 （选择题 共40分）
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）在每小题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项.
1．已知集合{}
2
4A x x =<，{}0,1,2B =，则A
B =
（A ）φ （B ）{}0 （C ）{}0,1
（D ）{}0,1,2
2．在复平面内，复数21i
i
-对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限
（D ）第四象限
3．已知圆的方程为2
2
20x y x +-=，则圆心坐标为 （A ）()0,1 （B ）()0,1- （C ）()1,0
（D ）()1,0-
4．设函数()22,0,
log ,0,
x x f x x x ⎧=⎨>⎩≤则()1f f -=⎡⎤⎣⎦
（A ）1- （B ）1 （C ）2-
（D ）2
5．一个几何体的三视图如图所示，该几何
体的体积是 （A
）16+（B ）12+（C ）8 （D ）4
6．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （A ）5122- （B ）50
22- （C
）5121- （D ）5021-
7．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则“2cos a b C =”是“ABC ∆是等腰三角形”的
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条件
8．已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线2
4y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是 （A （B ）2 （C ）
115
（D ）3
正（主）视图 侧（左）视图
俯视图
第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
9. 在等差数列{}n a 中，若11a =，前5项的和525S =，则2013a = ．
10．已知,x y 满足约束条件24,24,0,0,
x y x y x y +⎧⎪+⎪
⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥则z x y =+的最大值为 ．
11．若10x +>，则1
1
x x +
+的最小值为 ． 12．在边长为1的等边ABC ∆中，D 为BC 边上一动点，则AB AD ⋅的取值范围是 ． 13．奇函数()f x 的定义域为[]2,2-，若()f x 在[]0,2上单调递减，且
()()10f m f m ++<，则实数m 的取值范围是 ．
14．对任意两个实数12,x x ，定义()11212212,,
,,.
x x x max x x x x x ⎧=⎨
<⎩≥若()22f x x =-，
()g x x =-，则()()(),max f x g x 的最小值为 ．
三、解答题（共6小题，共80分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）
已知函数()2
1sin cos cos 2
f x x x x =+-
． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在ππ,82⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
的最大值和最小值． 16.（本小题满分14分）
如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CC 1⊥底面ABC ， AC =BC =2
，AB =CC 1=4，M 是棱CC 1上一点． （Ⅰ）求证：BC ⊥AM ；
（Ⅱ）若M ，N 分别为CC 1，AB 的中点，求证：
CN //平面AB 1M ． 17．（本小题满分13分）
N M
B 1
A 1
C 1
C
B
A
某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数据，获得重量数据茎叶图（如右）. （Ⅰ）根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对稳定； （Ⅱ）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取两件样品重量之差不超过2克的概率．
18.（本小题满分14分）
已知椭圆的中心在原点O ，短半轴的端点到其右焦点()2,0F
过焦点F 作直线l ，交椭圆于,A B 两点． （Ⅰ）求这个椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若椭圆上有一点C ，使四边形AOBC 恰好为平行四边形，求直线l 的斜率．
19.（本小题满分13分）
已知函数()()322,.f x x ax bx a a b R =+++∈ （Ⅰ）若函数()f x 在1x =处有极值为10，求b 的值；
（Ⅱ）若对于任意的[)4,a ∈-+∞，()f x 在[]0,2x ∈上单调递增，求b 的最小值．
20.（本小题满分13分）
现有一组互不相同且从小到大排列的数据012345,,,,,a a a a a a ，其中00a =． 记012345T a a a a a a =+++++，,5n n x =
()011
n n y a a a T
=+++()0,1,2,3,4,5n =，
作函数()y f x =，使其图象为逐点依次连接点()(),0,1,2,3,4,5n n n P x y n =的折线． （Ⅰ）求()0f 和()1f 的值；
（Ⅱ）设直线1n n P P -的斜率为()1,2,3,4,5n k n =，判断12345,,,,k k k k k 的大小关系； （Ⅲ）证明：当()0,1x ∈时，()f x x <．
2 1 2 4 4
3 1 1 1 1 0 2 5
7 1 0 8 9
甲 乙
通州区2019 — 2019学年度第一学期期末试卷答案
高三数学（文科） 2019.1
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
9． 4025 10． 8
3 11． 1
12．1,12⎡⎤⎢⎥
⎣⎦ 13．1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦ 14． 1-
三、解答题 15．解：（Ⅰ）由已知，得
()11
sin 2cos222
f x x x =+ ……………………2分
224x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭， ……………………4分 所以 22
T π
π=
=，
即 ()f x 的最小正周期为π； ……………………6分
（Ⅱ）因为 8
2x π
π
-
≤≤
，所以 5024
4
x π
π
≤+
≤
． ……………… 7分 于是，当24
2
x π
π
+=
时，即8
x π
=
时，()f x
取得最大值
2
；…… 10分 当524
4x π
π+=
时，即2
x π
=时，()f x 取得最小值12-．……………13分
16．证明：
（Ⅰ）因为 三棱柱ABC -A 1B 1C 1中CC 1⊥平面ABC ，
所以 CC 1⊥BC ． …………………………………………1分 因为 AC =BC =2
，AB =
所以 由勾股定理的逆定理知BC ⊥AC ． ……………………………2分 又因为AC ∩CC 1=C ，
所以 BC ⊥平面ACC 1A 1． ……………………4分 因为 AM ⊂平面ACC 1A 1，
所以 BC ⊥AM ． ……………………6分
（Ⅱ）过N 作NP ∥BB 1交AB 1于P ，连结MP ，则NP ∥CC 1． ………………8分
因为 M ,N 分别为CC 1, AB 中点， 所以 112
CM CC =
，112
NP BB =
． …………9分
因为 BB 1=CC 1，
所以 NP =CM ． ……………………10分 所以 四边形MCNP 是平行四边形．…………11分
所以 CN //MP ． ……………………12分 因为 CN ⊄平面AB 1M ，MP ⊂平面AB 1M ， ……………………13分 所以 CN //平面AB 1 M ． ……………………14分
17．解：（Ⅰ）设甲、乙两个车间产品重量的均值分别为X 甲 、X 乙，方差分别为2
s 甲 、2
s 乙，
P
N M
B 1
A 1
C 1
C
B
A
则122114113111111107
1136
X +++++=
=甲， ……………………1分
1241101121151081091136
X +++++==乙， ……………………2分
()()()2222
11221131141131131136s ⎡=-+-+-⎣
甲
()()()222
111113111113107113⎤+-+-+-⎦
21=， ……………………4分
()()()2222
11241131101131121136s ⎡=-+-+-⎣
乙
()(
)(
)2
2
2
115113108
113109
113
⎤+-+-+-⎦
29.33=， ……………………6分
由于 22
s s <甲乙，所以 甲车间的产品的重量相对稳定；……………………7分
（Ⅱ）从乙车间６件样品中随机抽取两件，结果共有15个：
()()()()()124,110,124,112,124,115,124,108,124,109, ()()()()()110,112,110,115,110,108,110,109,112,115,
()()()()()112,108,112,109,115,108,115,109,108,109． ………………9分
设所抽取两件样品重量之差不超过２克的事件为A ，则事件A 共有4个结果：
()()()()110,112,110,108,110,109,108,109． (11)
分
所以 ()4
15
P A =
． ………………13分
18．解: （Ⅰ）由已知，可设椭圆方程为()22
2210x y a b a b
+=>>，…………………… 1分
则 a =2c =． …………………………………………2分
所以 b == …………………………………3分
所以 椭圆方程为
22
1106
x y +=． …………………………………………4分 （Ⅱ）若直线l x ⊥轴，则平行四边形AOBC 中，点C 与点O 关于直线l 对称，此
时点C 坐标为()2,0c ．因为2c a > ，所以点C 在椭圆外，所以直线l 与x 轴不垂直． …………………………………………6分 于是，设直线l 的方程为()2y k x =-，点()11,A x y ，()22,B x y ， …7分
则()22
1,1062,x y y k x ⎧+=⎪
⎨⎪=-⎩
整理得，()2222352020300k x k x k +-+-= … 8分 2
122
2035k x x k +=+， ………………………………………… 9分
所以 122
1235k
y y k
+=-
+． ……………………………………… 10分 因为 四边形AOBC 为平行四边形，
所以 OA OB OC +=， ……………………………………… 11分
所以 点C 的坐标为2222012,3535k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， ……………………………12分 所以 2
2
222201235351106
k k k k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=， ……………………………13分
解得2
1k =，
所以1k =±． ………………………………14分
19．解：（Ⅰ）()2
32f x x ax b '=++， ………………………………1分
于是，根据题设有
()()
2
1320
1110f a b f a b a '=++==+++=⎧⎨⎩ 解得411a b =⎧⎨=-⎩ 或 33a b =-⎧⎨=⎩
……………………3分
当4
11
a b =⎧⎨
=-⎩时，()23811f x x x '=+-，641320∆=+> ，所以函数有
极值点； ………………………………………………………………4分
当33
a b =-⎧⎨=⎩时，()()2310f x x '=-≥，所以函数无极值点． …………5分 所以 11b =-． …… …………………………………………………… 6分
（Ⅱ）法一：()2320f x x ax b '=++≥对任意[]4,a ∈-∞，[]0,2x ∈都成立，………7分
所以()2230F a xa x b =++≥对任意[]4,a ∈-∞，[]0,2x ∈都成立．8分 因为 0x ≥,
所以 ()F a 在[]4,a ∈-∞上为单调递增函数或为常数函数， ………9分 所以 ()()2min 4830F a F x x b =-=-++≥对任意[]0,2x ∈都成立， 即 (
)
2
max
38b x x
≥-+. ……………………………………11分
又2
241616383333x x x ⎛
⎫-+=--+≤ ⎪⎝⎭
，
所以 当43x =时，()2
max 16383
x x -+=， ……………………………12分
所以 16
3
b ≥
， 所以 b 的最小值为
16
3
． ………………………………13分 法二：()2
320f x x ax b '=++≥对任意[]4,a ∈-∞，[]0,2x ∈都成立，…………… 7分
即2
32b x ax ≥--对任意[]4,a ∈-∞，[]0,2x ∈都成立，
即(
)
2
max
32b x ax ≥--． …………………………………………8分
令()2
22
32333a a F x x ax x ⎛
⎫=--=-++ ⎪⎝
⎭，…………………………… 9分
当0a ≥时，()()max 00F x F ==，于是0b ≥；………………………10分
当40a -≤<时，()2
max
33
a a
F x F ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，于是，23a b ≥ ．……11分
又2max
1633a ⎛⎫= ⎪
⎝⎭，所以16
3b ≥． ………………………………12分 综上，b 的最小值为
16
3
． ………………………………13分 20．（Ⅰ）解：()0
012345
00a f a a a a a a =
=+++++， ……………………………… 2分
()012345
012345
11a a a a a a f a a a a a a +++++=
=+++++； ………………………………4分
（Ⅱ）解：115
n n n n n n y y k a x x T
---=
=-，1,2,3,4,5n =． ……………………………… 6分
因为 012345a a a a a a <<<<<，
所以 12345k k k k k <<<<． ………………………………8分
（Ⅲ）证：由于()f x 的图象是连接各点()(),0,1
,2,3,4,5n n n P x y n =的折线，要证明()f x x <()01x <<，只需证明()n n f x x <()1,2,3,4n =．…………9分
事实上，当()1,n n x x x -∈时，
()()()
()()1111
n n n n n n f x f x f x x x f x x x -----=
⋅-+-
()()1
111n n n n n n n n x x x x f x f x x x x x ------=
+--
1
111
n n n n n n n n x x x x x x x x x x ------<
+--
x =．
下面证明()n n f x x <． 法一：对任何n ()1,2,3,4n =，
数学试卷
()()()121255n n a a a n n a a a ++
+=+-++
+⎡⎤⎣⎦………………10分
()()()
12125n n n a a a n a a a =++++-+++
()()125n n n a a a n na ≤++++-……………………………………11分
()125n n n a a a n a =++
++-⎡⎤⎣⎦
()1215n n n a a a a a nT +<++
+++
+= …………………………12分
所以 ()125
n
n n a a a n
f x x T
++
+=
<
=．…………………………13分 法二：对任何n ()1,2,3,4n =，
当1n k <时，
()()()10211n n n y y y y y y y -=-+-+
+-
()121
5
5
n n n
k k k x =
+++<
=；………………………………………10分 当1n k ≥时，
()55n n y y y y =--
()()()121541n n n n y y y y y y +++=--+-+
+-⎡⎤⎣⎦
()1251
15n n k k k ++=-
+++ ()115.55n n
n x <--==
综上，()n n f x x <． ………………………………………13分。