北邮数字信号处理dsp课件FIR_DF_design_1

H (2 - ) a(n)cos 2n - n a(n)cos n H ()
n 0 N 1 2
关于 偶对称
四类线性相位FIR滤波器（2）
二、h(n) 偶对称，N为偶数
H (e j ) e
N N 1 j 2 2
n b(n)cos 2 1
N 1 2 N 1 2 N 1 2
N 2
四类线性相位FIR滤波器（3）
三、h(n) 奇对称，N为奇数
H (e j ) e
N 1 j( ) 2
2 2
N 1
c(n)sin n
n 1
H () c(n)sin n
n 1
N 1 2
N 1 c(n) 2h n 2
H (0) 0, H ( ) 0
N 1 2 n 1
不适于高通、低通、带阻滤波器的设计
H (2 ) c(n)sin n(2 ) c(n)sin n
n 1 N 1 2
H ( )关于 奇对称
H ( )
四类线性相位FIR滤波器（4）
N 2
不适于低通、带阻滤波器的设计
1 H (2 ) d (n)sin (n )(2 ) 2 n 1 1 d (n)sin 2 n (n ) 2 n 1 1 1 d (n)sin (n ) d (n)sin (n ) H () H ( )关于 偶对称 2 n1 2 n 1
4
］
信号形状发生变化，产生所谓的相位失真
线性相位FIR滤波器的特性（2++）
相延时和群延时同时恒定（第一大类线性相位FIR滤波器）
H (e j ) H ()e j ( ) H ()e j
() ( ) p () g ( ) d ( ) d
* i * 1 i

亦为零点
② Za1
z i , z i *,
1 , zi
1 zi *
①
-1
③ Za2
b
1
1/b
④
零点分布规律（3）
线性相位FIR滤波器的零点（cont’d）：
1). 一般情况，zi
ri e ji ，有四个零点：
j i
zi ri e ji
zi * ri e
zi
线性相位FIR滤波器的特性（4）
仅群延时恒定（第二大类线性相位FIR滤波器）
H (e j ) H ()e j ( ) H ()e
j 2
( ) ( ) const. p ( ) 2 g ( ) d ( ) d
j 2
线性相位FIR滤波器的特性（5）
对称中心与N的关系
0
N 1 2
N 为偶数
7
0
N 1 2
6
N 为奇数
h(n) h[( N 1) n] n 0,1,...,( N 1)
当N为奇数时，有：
N 1 N 1 N 1 h h N 1 h 2 2 2
H (0 )e
结论：滤波器的相位影响着稳态响应的时间位置
若相延时恒定，即： ,

() const
则为恒延时滤波器
因 τp都不随 ω 变化，则θ(ω) 必是一条经过原点的直线（此时，群延 时亦恒定），有：
() H (e j ) H ()e j
N 1
h(n), 有限长且因果
加窗 hd (n) h( n )
要求：
线性相位 尽可能降低逼近误差(即满足幅频特性要求)
线性相位FIR滤波器的特性（1）
H (e j ) H (e j ) e j ( ) H ()e j ( w)
1 j 2e
j 3 4
H(ω) ≠ |H(ejω)| θ(ω) ≠ φ(ω)
2e
j

4
相延时与群延时（也适用于IIR）：
相延时： p ( ) 群延时： g ( )
1
ri e
1 j i
( zi *)1 ri e ji
② Za1 ①
1
2). r=1，单位圆上的零点：
z i e j i
zi e ji
-1 ③ Za2
3). 位于实轴上的零点：b、1/b 4) . zi=±1：
b
1
1/b
④
zi * zi zi * zi
n 0
N 1
5.2.2小节完成相同证明，即 h(n) h[( N 1) n] H ()e j
线性相位FIR滤波器的特性（3）
对称中心与N的关系
0
0
N 1 2
7
N 1 2
6
N 为偶数
N 为奇数
h(n) h[( N 1) n] n 0,1,...,( N 1)
(2) 易具有线性相位特性
线性相位 h(n)满足奇/偶对称性 h(n ) h[( N 1) n ]
n 0,1,...,( N 1)
(3) 幅频特性较差
衰减速度远低于同阶的IIR滤波器；
(4) 易于实现（稳定性可得到较好的保障）
IIR DF 稳定性问题（有限字长）； 幅频特性较好； 相频特性较差；
N 1 2
该类滤波器也被称之为 恒延时滤波器
H ()e
j 2
h(n) h[( N 1) n] n 0,1,...,( N 1)
5.2.3小节所完成的证明 h(n) h[( N 1) n] H ()e
FIR数字滤波器的设计
FIR数字滤波器
FIR滤波器的单位冲激响应：
h(n), n 0,1, 2,..., N 1
FIR滤波器的I/O关系：
N 1
y ( n ) h( m) x ( n m)
m 0
FIR滤波器的系统传递函数：
H ( z ) h(n) z n z ( N 1) h(n) z ( N 1) z n z ( N 1) h(n ) z ( N 1)n
N 1 2
H ()e j h(n) h[( N 1) n] n 0,1,...,( N 1)
式5.12、 5.13 所完成的证明
H ( )e
j
h(n)sin( n ) 0 h(n) h[( N 1) n]
N 1 h 0 2
线性相位FIR滤波器的特性（6）
一般形式：
H (e j ) H ()e j (0 )
0 2 N 1 2 h( n ) h( N 1 n )
0 0 N 1 2 h(n) h( N 1 n)
零点分布规律（2）
线性相位FIR滤波器的零点（cont’d）：
h(n) h( N 1 n) H ( z) z ( N 1) H ( z 1 )
H ( z ) z ( N 1) H ( z 1 ) 若zi为零点 zi1亦为零点 h(n)通常为实数 z 和 z
N 2 N 2 N 2
零点分布规律（1）
FIR滤波器的零、极点：
( N 1) n h ( n ) z n 0 N 1 N 1 n 0
H ( z ) h(n ) z n
z N 1
仅在z=0处，有一个（N-1）阶的极点，故滤波器稳定； 有（N-1）个零点；如果 h(n) 为实数，则零点共轭成对出现。
四、h(n) 奇对称，N为偶数
H (e j ) e
j( 2 2
N 1
N w) 2
1 1 d (n)sin(n ) H () d (n)sin(n ) 2 2 n 1 n 1
N 2
N d (n) 2h n 2
H (0) 0
d ( ) d
( )
如果τp(ω)
或τg(ω)是不随 ω 变化的常量，那么称之为恒延时滤波器
线性相位FIR滤波器的特性（2）
相延时的物理含义：
DTFT h(n) H (e j ) H ()e j ( )
输入： e j0nu(n)
j0n (0 ) j (0 ) j0n 稳态输出： H (e j0 )e j0n H ( ) e e H ( ) e 0 0 (0 ) j0 n 0
1 1
第三类线性相位滤波器： 在+1及-1处必存在零点 第四类线性相位滤波器： 在+1处必存在零点
窗口法
思路:
理想数字滤波器
H d (e )
jபைடு நூலகம்
n
jn h ( n ) e d

hd (n)，无限长且非因果
目标FIR数字滤波器
H (e ) h(n)e jn
j n 0
1 H (2 - ) b(n)cos n 2 - 2 n 1 1 a(n)cos 2 n n 2 n 0 1 1 a(n)cos n a(n)cos n H ( ) 关于 奇对称 2 2 n 0 n 0
n 0 n 0 n 0 N 1 N 1 N 1
h(n ) z
n 0
N 1
( N 1) n
z ( N 1)
在Z平面上有N-1个零点；在原点处有一个（N-1）阶极点
序列长度为N，滤波器阶数为(N-1)
FIR 的特点
(1) 稳定性
单位冲激响应, 有限长因果序列 绝对可和，必稳定； 收敛域为圆的外部，含单位圆（极点在单位圆内部）；
线性相位滤波器（恒延时滤波器）
线性相位滤波器不会导致相位失真
线性相位FIR滤波器的特性（2+）
若相延时不恒定（即非线性相位滤波器），相位对波形的影响（教材范例）
1 1 y(t ) [sin(t ) sin(3t ) sin(5t ) ] 3 5
y p (t )
4
1 1 [sin(t - ) sin(3t - ) sin(5t - ) ］ 2 3 2 5 2 4 /2 1 /2 1 /2 = [sin (t ) sin 3(t ) sin 5(t ) 3 3 5 5
n 1
0
1 H () b(n)cos n 2 n 1
N 2
N b(n) 2h n 2
N 2
N 1 2
7
N 为偶数
1 H ( ) b(n) cos n 0 不适于高通和带阻滤波器 2 n 1
四类线性相位FIR滤波器（1）
一、h(n) 偶对称，N为奇数
0
N 1 2
6
N 为奇数
H (e j ) e
N 1 N 1 j 2 2 n 0
a(n)cos n
H () a(n)cos n
n 0 N 1 2 n 0
N 1 2
N 1 h 2 , n 0 a ( n) N 1 2h n , n 0 2