新人教版九年级上册24.1.4圆周角同步练习

新人教版九年级上册24.1.4圆周角同步练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是（）
A．50°B．60°C．80°D．100°
2．已知⊙O的半径为10，圆心O到弦AB的距离为5，则弦AB所对的圆周角的度数是（）
A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°3．如图，AB为⊙O的直径，AC=2，BC=4，CD=BD=DE，则CE=（）
A．3﹣B．
C．D．
2
4．如图，△ABC看，∠BAC=90°，AC=12，AB=10，D是AC上一个动点，以AD为直径的⊙O交BD于E，则线段CE的最小值是（）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．下列命题：①圆周角等于圆心角的一半；②x=2是方程x－1=1的解；③平行四边形
4。

其中真命题的个数有【】
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
6．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为______．
7．如图，AB是半圆的直径，∠BAC=20°，D是AC的中点，则∠DAC的度数是
________．
8．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB=BC，若∠AOB=58°，则∠BDC=____度．
9．如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，∠A=50°，∠ABC=60°，则
∠ABD=_____．
10．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝4，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB、AC于E、F，连结EF，则线段EF长度的最小值为_____．
三、解答题
11．如图，CD为⊙O直径，以C点为圆心，CO为半径作弧，交⊙O于A、B两点，求证：AD=BD=BA．
12．如图，点B，C为⊙O上一动点，过点B作BE∥AC，交⊙O于点E，点D为射线BC上一动点，且AC平分∠BAD，连接CE．
（1）求证：AD∥EC；
（2）连接EA，若BC=6，则当CD= 时，四边形EBCA是矩形．
13．已知圆O的直径AB=12，点C是圆上一点，且∠ABC=30°，点P是弦BC上一动点，过点P作PD⊥OP交圆O于点D．
（1）如图1，当PD∥AB 时，求PD的长；
（2）如图2，当BP平分∠OPD时，求PC的长．
14．（1）如图，在⊙O中，AC∥OB，∠BAO=25°，求∠BOC的度数．
（2）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．
参考答案
1．D
【分析】
首先圆上取一点A ，连接AB ，AD ，根据圆的内接四边形的性质，即可得∠BAD+∠BCD=180°，即可求得∠BAD 的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案．
【详解】
圆上取一点A ，连接AB ，AD ，
∵点A 、B ，C ，D 在⊙O 上，∠BCD=130°
， ∴∠BAD=50°
， ∴∠BOD=100°
. 故选D ．
【点睛】
此题考查了圆周角的性质与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
2．D
【解析】
【分析】由图可知，OA=10，OD=5．根据特殊角的三角函数值求出∠AOB 的度数，再根据圆周定理求出∠C 的度数，再根据圆内接四边形的性质求出∠E 的度数即可．
【详解】由图可知，OA=10，OD=5，
在Rt △OAD 中，
∵OA=10，OD=5，，
∴tan ∠1=AD OD
=∴∠1=60°， 同理可得∠2=60°
， ∴∠AOB=∠1+∠2=60°
+60°=120°， ∴∠C=60°
，
∴∠E=180°-60°=120°,
即弦AB所对的圆周角的度数是60°或120°，
故选D．
【点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的对角互补、解直角三角形的应用
等，正确画出图形，熟练应用相关知识是解题的关键.
3．D
【分析】
先根据勾股定理计算直径作垂线DP和DQ，根据角平分线的性质得：DP=DQ，由全等可得AP=AQ，设未知数列等式，可得PC和BQ的长，再根据等腰三角形的性质得：∠DEC=∠DCE，根据外角性质得：∠ACE=∠ECB，则∠ACE=∠ECB=45°，作
辅助线后可得：△EFC是等腰直角三角形，设EF=FC=a，则a，AF=2-a，根据
△AFE∽△APD，列比例式可得a的值，求CE的长．
【详解】
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=2，BC=4，
∴，
∵CD=BD，
∴CD BD
=，
∴∠CAD=∠BAD，
过D作DP⊥AC于P，DQ⊥AB于Q，连接OD，
∴PD=DQ，
∴Rt△DPC≌Rt△DQB（HL），
∴CP=BQ，
易得△APD≌△AQD，
∴AP=AQ，
设PC=x，则AP=2+x，-x，
∴，
，
∴，OQ=1，
Rt△ODQ中，，
∵DE=DC，
∴∠DEC=∠DCE，
∵∠DEC=∠CAD+∠ACE，∠DCE=∠ECB+∠ACE，∴∠CAD+∠ACE=∠ECB+∠DCB，
∵DC BC
=，
∴∠CAD=∠DCB，
∴∠ACE=∠ECB，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠ECB=45°，
过E作EF⊥AP于F，
∴△EFC是等腰直角三角形，
设EF=FC=a，则a，AF=2-a，
∵EF∥PD，
∴△AFE ∽△APD ， ∴EF AF PD AP
＝， ∴2a
＝，
∴
∴（.
故选D ．
【点评】
本题是有关圆的计算问题，题意虽然简单，但有难度，考查了圆周角定理、勾股定理、三角形相似的判定和性质，作辅助线构建等腰直角△EFC 是关键．
4．D
【分析】
连接AE ，可得∠AED=∠BEA=90°，从而知点E 在以AB 为直径的⊙Q 上，继而知点Q 、E 、C 三点共线时CE 最小，根据勾股定理求得QC 的长，即可得线段CE 的最小值．
【详解】
如图，连接AE ，则∠AED=∠BEA=90°
，
∴点E 在以AB 为直径的⊙Q 上，
∵AB=10，
∴QA=QB=5，
当点Q 、E 、C 三点共线时，QE+CE=CQ （最短），
而QE 长度不变，故此时CE 最小，
∵AC=12，
∴，
∴CE=QC-QE=13-5=8.
故选D．
【点睛】
本题考查了圆周角定理和勾股定理的综合应用，解决本题的关键是确定E点运动的轨迹，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．
5．A。

【解析】根据圆周角定理，方程的解、平行四边形的性质及算术平方根的定义进行判断即可得到真命题的个数：
同（等）弧所对的圆周角等于圆心角的一半，必须是同（等）弧，故①是假命题；
将x=2代入方程左右两边相等，故②正确，是真命题；
平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故③错误，是假命题；
的算术平方根是2，故④错误，是假命题。

真命题有1个。

故选A。

6．4
【分析】
根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可．
【详解】
解：∵OD⊥BC，
∴BD=CD=1
2
BC=3，
∵OB=1
2
AB=5，
∴在Rt△OBD中，．
故答案为4．
【点睛】
本题考查垂径定理及其勾股定理，熟记定理并灵活应用是本题的解题关键．7．35°．
【解析】
试题解析：连接OC，OD，如图所示：
∵∠BAC与∠BOC所对的弧都为BC，∠BAC=20°，∴∠BOC=2∠BAC=40°，
∴∠AOC=140°，
又∵A D=DC，
∴∠COD=∠AOD=1
2
∠AOC=70°，
∵∠DAC与∠DOC所对的弧都为DC，
∴∠DAC=1
2
∠COD=35°．
考点：1．圆周角定理；2．圆心角、弧、弦的关系．8．29
【解析】
【分析】
由等弧所对的圆心角相等，可知∠BOC=∠AOB=58°，根据圆周角定理可知，∠BDC=1 2
∠BOC求解即可；
【详解】
解：连接OC，
∵AB=BC，
∴∠AOB=∠BOC=58°，
∴∠BDC=1
2
∠BOC=29°，
故答案为29．
【点睛】
本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，
属于中考常考题型．
9．20°．
【解析】
试题分析：∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD=90°．∵∠A=50°，
∴∠D=∠A=50°，
∴∠DBC=90°﹣50°=40°．
∵∠ABC=60°，
∴∠ABD=∠AABC﹣∠DBC=60°﹣40°=20°．
故答案为20°．
【考点】圆周角定理．
10
【分析】
由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段
EF=2EH=2OE•sin∠EOH=2OE•sin60°，当半径OE最短时，EF最短，连接OE，OF，过O 点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直径AD，由圆周角定理可知
∠EOH=1
2
∠EOF=∠BAC=60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知
EF=2EH，即可求出答案．
【详解】
由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，
∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=4，
∴，即此时圆的直径为，
由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，
∴在Rt△EOH中，EH=OE•sin∠=，
由垂径定理可知，
．
【点睛】
本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的综合运用．关键是根据运动变化，找出满足条件的最小圆，再解直角三角形．
11．见解析
【解析】
【分析】
利用CA=CB=CO可判断△OBC和△OAC都是等边三角形，则∠BCO=∠ACO=60°，
∠BOC=∠AOC=60°，根据圆周角定理得∠ADB=60°，即∠ACD=∠BCD=∠ADB，所以==，然后根据圆心角、弧、弦的关系易得AD=BD=BA．
AD BD AB
【详解】
证明：∵CA=CB=CO，
∴OB=BC=OC=OA=AC，
∴△OBC和△OAC都是等边三角形，
∴∠BCO=∠ACO=60°，∠BOC=∠AOC=60°，
∴∠AOB=120°，
∴∠ADB=60°，
∴∠ACD=∠BCD=∠ADB，
∴AD BD AB
==，
∴AD=BD=BA．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等边三角形的判定与性质．
12．（1）见解析；（2）6
【分析】
（1）欲证明AD∥EC，只要证明∠ACE=∠DAC即可；
（2）当四边形ACBE是矩形时，∠ACB=90°，根据等腰三角形的性质即可解决问题；【详解】
（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∵∠E=∠BAC，
∴∠E=∠DAC
∵BE∥AC，
∴∠E=∠ACE，
∴∠ACE=∠DAC，
∴AD∥EC．
（2）当四边形ACBE是矩形时，∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠ACD=90°，
∵∠BAC=∠DAC，
∴∠ABD=∠D，
∴AB=AD，
∴BC=CD=6，
故答案为6．
【点睛】
本题考查圆周角定理、矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
13
．（1）PD=3
【解析】
【分析】
（1）先判断出∠POB=90°，进而求出OP＝OB•tan30°＝最后用勾股定理即可得出结
论；
（2）先求出OH ＝
12
OB ＝3，BH ＝OB •cos30°＝，进而求出CH ＝BH ＝，即可得出结论．
【详解】
解：如图1，连接OD .
∵直径AB=12
∴OB=OD=6
∵PD ⊥OP
∴∠DPO=90°
∵PD ∥AB
∴∠DPO+∠POB=180°
∴∠POB=90°
又∵∠ABC=30°
，OB=6
∴·tan 30OP OB =︒=
∵在Rt △POD 中，PO 2+PD 2=OD 2
∴2226PD +=,
∴PD =
（2）如图2，过点O 作OH ⊥BC ，垂足为H
∵OH ⊥BC
∴∠OHB=∠OHP=90°
∵∠ABC=30°
，OB=6
∴132
OH OB ==，·cos30BH OB =︒= ∵在⊙O 中，OH ⊥BC
∴CH BH ==
∵BP 平分∠OPD ∴∠BPO=12
∠DPO=45°， ∴PH=OH•cot45°=3
∴PC=CH -PH=3．
【点睛】
此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，锐角三角函数，利用锐角三角函数求出线段是解本题的关键．
14．（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】
试题分析：
（1）本题利用半径相等和平行线的性质，圆周角定理得出结论即可；（2）本题利用等角的余角相等得出角相等，得出三角形全等即可.
试题解析：
（1）∵OA=OB，
∴∠B=∠BAO=25°，
∵AC∥OB，
∴∠BAC=∠B=25°，
∴∠BOC=2∠BAC=50°．（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，
∵EF⊥DF，
∴∠EFD=90°，
∴∠EFB+∠CFD=90°，
∵∠EFB+∠BEF=90°，
∴∠BEF=∠CFD，
在△BEF和△CFD中，
，
∴△BEF≌△CFD（ASA），
∴BF=CD．。