2013年走向高考·高考数学文理总复习(新人教B版课后练习+单元测试)1-2

1.(2011·南昌模拟)下列命题是真命题的为()
A．若1
x＝
1
y，则x＝y
B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则log a x＝log a y
D．若x<y，则x2<y2
[答案] A
[解析]当x2＝1时，x＝1或x＝－1，故B假；当x＝y＝－1时，log a x无意义，故C假；当x＝－2，y＝1时，满足x<y，但x2<y2
不成立，∴D假；当1
x＝
1
y时，x＝y成立，故选A.
2．(文)(2011·聊城模拟)下列命题中为假命题的是()
A．∀x∈R,2x－1>0
B．∀x∈N*，(x－1)2>0
C．∃x∈R，lg x<1
D．∃x∈R，tan x＝2
[答案] B
[解析]由指数函数值域知2x－1>0恒成立；当x＝1时，lg x＝0<1；∵直线y＝2与y＝tan x有交点，∴方程tan x＝2有解；∴A、C、D 都是真命题，当x＝1∈N*时，(x－1)2>0不成立，∴B为假命题．(理)(2011·山东实验中学模拟)下列命题中是真命题的为()
A．∀x∈R，x2<x＋1
B．∀x∈R，x2≥x＋1
C．∃x∈R，∀y∈R，xy2＝y2
D．∀x∈R，∃y∈R，x>y2
[答案] C
[解析]令f(x)＝x2－x－1，∵Δ>0，∴f(x)的图象与x轴有交点，∴f(x)的值有正有负，故A、B假；令x＝－1，则对任意y∈R都有x<y2，故D假．当x＝1时，∀y∈R，xy2＝y2，故C真．3．(2011·西安二检)命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()
A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0
B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0
C．存在x∈R，x3－x2＋1>0
D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0
[答案] C
[解析]依题意得，命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“存在x∈R，x3－x2＋1>0”，选C.
4．(2011·辽宁铁岭六校联合考试)与命题“若p，则q”的否命题真假相同的命题是()
A．若q，则p B．若綈p，则q
C．若綈q，则p D．若綈p，则綈q
[答案] A
[解析]原命题的否命题与原命题的逆命题是等价命题，真假相同，故选A.
5．(文)(2011·厦门模拟)已知命题p：所有有理数都是实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是()
A．(綈p)∨q B．p∧q
C．(綈p)∧(綈q) D．(綈p)∨(綈q)
[答案] D
[解析]由题知命题p为真命题，命题q为假命题，∴綈p为假命题，綈q为真命题，再由“或”命题一真为真，“且”命题一假为假知A、B、C都为假命题．
(理)(2011·广东省东莞市一模)已知命题p：∃x∈(－∞，0)，2x<3x；
命题q：∀x∈(0，π
2)，cos x<1，则下列命题为真命题的是()
A．p∧q B．p∨(綈q)
C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)
[答案] C
[解析]在x∈(－∞，0)上，y＝2x的图象恒在y＝3x的上方，所以不存在这样的x使得2x<3x成立，命题p为假命题，命题q为真命题，所以(綈p)∧q为真命题，故选C.
6．(文)(2011·湖南十二校第二次联考)下列命题中的真命题是()
A．∃x∈R，使得sin x cos x＝3 5
B．∃x∈(－∞，0)，2x>1 C．∀x∈R，x2≥x－1 D．∀x∈(0，π)，sin x>cos x [答案] C
[解析]由sin x cos x＝3
5，得sin2x＝
6
5>1，故A错误；结合指数
函数和三角函数的图象，可知B，D错误；因为x2－x＋1＝(x－1
2)
2
＋34
>0恒成立，所以C 正确． (理)(2011·山东潍坊一模)下列命题中是真命题的是( )
A ．若向量a ，b 满足a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0
B ．若a <b ，则1a >1b
C ．若b 2＝ac ，则a ，b ，c 成等比数列
D ．∃x ∈R ，使得sin x ＋cos x ＝43
成立 [答案] D
[解析] 对于A ，当a ⊥b 时，a ·b ＝0也成立，此时不一定是a ＝0或b ＝0；
对于B ，当a ＝0，b ＝1时，该命题就不成立；
对于C ，b 2＝ac 是a ，b ，c 成等比数列的必要不充分条件；
对于D ，因为sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[－2，2]，且43
∈[－2，2]，所以该命题正确．
7．(文)(2011·济南模拟)命题p ：∃x ∈R ，lg x ＝0，q ：∀x ∈R,2x >0，命题(綈p )∧q 的真假为________(填“真”或“假”)．
[答案] 假
[解析] ∵x ＝1时，lg x ＝0，∴p 真；
由指数函数值域知2x >0恒成立，∴q 真；
∴(綈p )∧q 为假．
(理)(2010·江南十校联考)若命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．
[答案] －22≤a ≤2 2
[解析] 因为“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则“∀x ∈
R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a2－4×2×9≤0，故－22≤a≤2 2.
8．已知命题p：1
x2－x－2
>0，则綈p对应的x的集合为________．[答案]{x|－1≤x≤2}
[解析]由p：
1
x2－x－2
>0得p：x>2或x<－1，
所以綈p对应的x值的取值范围是{x|－1≤x≤2}．[点评]本题易形成错解：
∵p的否定綈p为1
x2－x－2
≤0，
即x2－x－2<0，解得1<x<2，
错因是忽视了隐含条件的限制作用．
9．(2010·安徽文)命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是____________．
[答案]对∀x∈R，都有x2＋2x＋5≠0.
10．(2010·马鞍山市质检)给出下列四个结论：
①命题“∃x∈R，x2－x>0”的否定是“∀x∈R，x2－x≤0”
②“若am2<bm2，则a<b”的逆命题为真；
③已知直线l1：ax＋2y－1＝0，l2：x＋by＋2＝0，则l1⊥l2的充
要条件是a
b＝－2；
④对于任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时，f′(x)>g′(x)．
其中正确结论的序号是________．(填上所有正确结论的序号)．[答案]①④
[解析]①显然正确．②中命题“若am2<bm2，则a<b”的逆命
题是“若a <b ，则am 2<bm 2”，当m ＝0时不成立，故为假命题；③
中l 1⊥l 2⇔a ＋2b ＝0，但a ＋2b ＝0与a b ＝－2不等价，∵当a ＝b ＝0
时，a b ＝－2不成立，故③错；④由条件知，f (x )为奇函数，在x >0时单调增，故x <0时单调增，从而x <0时，f ′(x )>0；g (x )为偶函数，x >0时单调增，从而x <0时单调减，
∴x <0时，g ′(x )<0，∴x <0时，f ′(x )>g ′(x )，故④正确.
11.(2011·北京模拟)下列命题中，真命题是( )
A ．∃x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12
B ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos x
C ．∃x ∈R ，x 2＋x ＝－1
D ．∀x ∈(0，＋∞)，e x >1＋x
[答案] D
[解析] ∵对任意x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝1，∴A 假；当x ＝π4时，sin x ＝cos x ，∴B 假；对于函数y ＝x 2＋x ＋1，∵Δ＝－3<0，∴y >0恒成立，∴C 假；对于函数y ＝e x －x －1，∵y ′＝e x －1，当x >0时，y ′>0，∴y ＝e x －x －1在(0，＋∞)上为增函数，∴y >e 0－0－1＝0，即e x >1＋x 恒成立，∴D 真．
12．(文)(2011·大连质检)下列命题中真命题的个数是( )
①∀x ∈R ，x 4>x 2；
②若p ∧q 是假命题，则p ，q 都是假命题；
③命题“∀x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是“∃x ∈R ，x 3－x 2＋1>0”．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
[答案] B
[解析] 当x ＝0时，x 4>x 2不成立，∴①假；②③显然为真，故选B.
(理)(2011·汕头模拟)下列说法中，正确的是( )
A ．命题“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题是真命题
B ．命题“∃x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”
C ．命题“p ∨q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题
D ．已知x ∈R ，则“x >1”是“x >2”的充分不必要条件
[答案] B
[解析] 命题“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为“若a <b ，则am 2<bm 2”为假命题，∵m ＝0时，命题不成立；p ∨q 为真命题时，p 、q 至少一真，故C 假；x >1⇒/ x >2，但x >2⇒x >1，∴x >1是x >2的必要不充分条件，故D 假，B 显然为真．
13．(2011·宿州模拟)已知命题p ：∃x ∈[0，π2
]，cos2x ＋cos x －m ＝0为真命题，则实数m 的取值范围是( )
A ．[－98，－1]
B ．[－98
，2] C ．[－1,2]
D ．[－98
，＋∞) [答案] C
[解析] 依题意：cos2x ＋cos x －m ＝0在x ∈[0，π2
]上有解，即cos2x ＋cos x ＝m 在x ∈[0，π2
]上有解． 令f (x )＝cos2x ＋cos x ＝2cos 2x ＋cos x －1＝2(cos x ＋14)2－98
，由于x ∈[0，π2
]，所以cos x ∈[0,1]，于是f (x )∈[－1,2]，因此实数m 的取值范围是[－1,2]．
14．(文)(2011·长沙调研)下列结论：
①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则命题“p ∧(綈q )”是假命题；
②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充
要条件是a b ＝－3；
③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．(把你认为正确结论的序号都填上)
[答案] ①③
[解析] ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，
所以p ∧(綈q )为假命题，故①正确；
②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；
③正确．所以正确结论的序号为①③.
(理)(2011·金华模拟)给出下列三个结论：
①命题“∃x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0” ②函数f (x )＝x －sin x (x ∈R)有3个零点；
③对于任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时，f ′(x )>g ′(x )．
其中正确结论的序号是________．(填写所有正确结论的序号)
[答案]①③
[解析]①显然正确；由y＝x与y＝sin x的图象可知，函数f(x)＝x－sin x(x∈R)有1个零点，②不正确；对于③，由题设知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，又奇函数在关于原点对称区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称区间上单调性相反，∴x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0，
∴f′(x)>g′(x)，③正确．
15．(文)已知函数f(x)是R上的增函数，a、b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．”
(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；
(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．
[解析](1)逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0，真命题．
用反证法证明：
设a＋b<0，则a<－b，b<－a，
∵f(x)是R上的增函数，
∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，
∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，这与题设矛盾，所以逆命题为真．
(2)逆否命题：若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，
则a＋b<0，为真命题．
由于互为逆否命题同真假，故只需证原命题为真．
∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a，
又∵f(x)在R上是增函数，
∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．
∴f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，∴原命题真，故逆否命题为真． (理)(2010·聊城市模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝2x 相交于A 、B 两点．
(1)求证：“如果直线l 过点T (3,0)，那么OA →·OB →＝3”是真命题；
(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
[解析] (1)设过点T (3,0)的直线l 交抛物线y 2＝2x 于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝3，此时，直线l 与抛物线相交于点A (3，6)、B (3，－6)．
∴OA →·OB
→＝3. 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，其中k ≠0.
由⎩⎪⎨⎪⎧
y 2＝2x y ＝k (x －3)得，ky 2－2y －6k ＝0，则y 1y 2＝－6. 又∵x 1＝12y 21，x 2＝12
y 22， ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2
＝14
(y 1y 2)2＋y 1y 2＝3. 综上所述，命题“如果直线l 过点T (3,0)，那么OA →·OB
→＝3”是真命题．
(2)逆命题是：设直线l 交抛物线y 2＝2x 于A 、B 两点，如果OA →·OB
→＝3，那么直线过点T (3,0)．
该命题是假命题．
例如：取抛物线上的点A (2,2)，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1，此时OA →·OB →＝3，
直线AB 的方程为y ＝23
(x ＋1)，而T (3,0)不在直线AB 上． 16．(文)已知命题p ：在x ∈[1,2]时，不等式x 2＋ax －2>0恒成立；命题q ：函数f (x )＝log 13
(x 2－2ax ＋3a )是区间[1，＋∞)上的减函
数．若命题“p ∨q ”是真命题，求实数a 的取值范围．
[解析] ∵x ∈[1,2]时，不等式x 2＋ax －2>0恒成立
∴a >2－x 2x ＝2x －x 在x ∈[1,2]上恒成立
令g (x )＝2x －x ，则g (x )在[1,2]上是减函数，
∴g (x )max ＝g (1)＝1，
∴a >1.即若命题p 真，则a >1.
又∵函数f (x )＝log 13
(x 2－2ax ＋3a )是区间[1，＋∞)上的减函数，
∴u (x )＝x 2－2ax ＋3a 是[1，＋∞)上的增函数，且u (x )＝x 2－2ax ＋3a >0在[1，＋∞)上恒成立，
∴a ≤1，u (1)>0，∴－1<a ≤1，
即若命题q 真，则－1<a ≤1.
若命题“p ∨q ”是真命题，则a >－1.
(理)探求关于x 的方程x 2＋2mx ＋12－m ＝0两根都大于2的充要条件．
[解析] 设两根为x 1，x 2，则⎩⎨⎧ x 1>2x 2>2
，而 ⎩⎨⎧ x 1>2x 2>2，⇔⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0(x 1－2)(x 2－2)>0
(x 1－2)＋(x 2－2)>0
⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 4m 2－4(12－m )≥0(12－m )－2×(－2m )＋4>0－2m －4>0
⇔⎩⎨⎧ m ≥3或m ≤－4m >－163m <－2⇔－163
<m <－4. ∴方程两根都大于2的充要条件为－163
<m <－
4.
1．(2011·福州月考)下列有关命题的说法正确的是( )
A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为：“若x 2＝1，则x ≠1”
B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件
C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1<0”
D ．命题“若x ＝y ，则cos x ＝cos y ”的逆否命题为真命题
[答案] D
[解析] A 中，否命题应为若x 2≠1，则x ≠1；B 中，x ＝－1⇒x 2－5x －6＝0，反之则不成立，应为充分条件；C 中，命题的否定应为∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0.
2．(2011·浙江省台州市调研)给出下列命题，其中错误的是( )
A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”
B ．“x 2－3x －4＝0”是“x ＝4”的必要不充分条件
C ．若p ∧q 是假命题，则p ，q 都是假命题
D ．命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，都有
x2＋x＋1≥0
[答案] C
[解析]选项A根据逆否命题的写法，是正确的；选项B“x2－3x－4＝0”不能推出“x＝4”，但是“x＝4”能推出“x2－3x－4＝0”所以B正确；选项C中若p∧q是假命题，只需要其中一个是假命题即可，故选项C错误．根据特称命题与全称命题的否定，选项D正确．
3．(2010·北京延庆县模考)下列命题中的假命题是()
A．∀x>0且x≠1，都有x＋1
x>2
B．∀a∈R，直线ax＋y＝a恒过定点(1,0)
C．∃m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数D．∀φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数[答案] D
[解析]∵x＋1
x≥2等号在x＝1时成立，∴A真；将x＝1，y＝
0代入直线方程ax＋y＝a中成立，∴B真；令m－1＝1得m＝2，此
时f(x)＝x－1是幂函数，故C真；当φ＝π
2时，f(x)＝sin⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
2x＋
π
2＝cos2x
为偶函数，故D假．
4．已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0.”若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是()
A．{a|a≤－2或a＝1} B．{a|a≤－2或1≤a≤2}
C．{a|a≥1} D．{a|－2≤a≤1}
[答案] A
[解析]“p∧q”为真，即p、q同为真．对于命题p，∀x∈[1,2]，
x 2－a ≥0恒成立，只需12－a ≥0成立，即a ≤1；对于命题q ，∃x ∈R ，使x 2＋2ax ＋2－a ＝0成立，只需保证判别式Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，∴a ≤－2或a ≥1，∴选A.
5．(2010·合肥市)下列命题：
①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3成立；
②若log 2x ＋log x 2≥2，则x >1；
③命题“若a >b >0且c <0，则c a >c b ”的逆否命题；
④若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥1，命题q ：∃x ∈R ，x 2－2x －1≤0，则命题p ∧(綈q )是真命题．其中真命题有( )
A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．②③④
[答案] A
[解析] ∵x 2＋2x －4x ＋3＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋1>0恒成立，故①真；由log 2x ＋log x 2≥2知，x >0且x ≠1，若0<x <1，则log 2x <0，log x 2<0，显然原不等式不成立，故x >1，∴②真；
∵a >b >0，∴0<1a <1b ，又c <0，∴c a >c b ，∴命题“若a >b >0且c <0，
则c a >c b ”为真命题，因此其逆否命题为真，故选A.
6．(2011·南昌模拟)给出以下三个命题：
①若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0；②在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ；③在一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，若b 2－4ac <0，则方程有实数根．其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( )
A ．①
B ．②
C ．③
D ．②③
[答案] B
[解析] 对命题①，其原命题和逆否命题为真，但逆命题和否命题为假；对命题②，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为真；对命题③，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为假．
7．(2011·常德模拟)已知命题“如果|a |≤1，那么关于x 的不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集为∅”，它的逆命题、否命题、逆否命题及原命题中是假命题的共有________个．
[答案] 2
[解析] 由|a |≤1，得－1≤a ≤1，
且Δ＝(a ＋2)2＋4(a 2－4)
＝5(a ＋25)2－45
－12 ≤5(1＋25)2－645
<0， ∴原命题为真，逆否命题亦为真．
反之，如a ＝－2时，所给不等式的解集即为空集，
但a ∉[－1,1]，所以逆命题为假，故否命题亦为假．
8．(2010·河北正定中学模拟)已知动圆C 过点A (－2，0)，且与圆M ：(x －2)2＋y 2＝64相内切．
(1)求动圆C 的圆心C 的轨迹方程；
(2)设直线l ：y ＝kx ＋m (其中k ，m ∈Z)与(1)中所求轨迹交于不同
两点B ，D ，与双曲线x 24－y 212
＝1交于不同两点E ，F ，问是否存在直线l ，使得向量DF
→＋BE →＝0，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．
[解析] (1)圆M ：(x －2)2＋y 2＝64的圆心M 的坐标为(2,0)，半径R ＝8.
∵|AM |＝4<R ，∴点A (－2,0)在圆M 内．
设动圆C 的半径为r ，圆心为C (x ，y )，依题意得r ＝|CA |，且|CM |＝R －r ，
即|CM |＋|CA |＝8>|AM |.
∴圆心C 的轨迹是中心在原点，以A 、M 两点为焦点，长轴长
为8的椭圆，设其方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，则a ＝4，
c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝12.
∴所求动圆的圆心C 的轨迹方程为x 216＋y 212
＝1. (2)由⎩⎨⎧ y ＝kx ＋m
x 216＋y 212＝1
，消去y 化简整理得：(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2
－48＝0， 设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2
Δ1＝(8km )2－4(3＋4k 2)(4m 2－48)>0①
由⎩⎨⎧ y ＝kx ＋m
x 24－y 212＝1
消去y 化简整理得：(3－k 2)x 2－2kmx －m 2－12
＝0. 设E (x 3，y 3)，F (x 4，y 4)，则x 3＋x 4＝2km 3－k 2
， Δ2＝(－2km )2＋4(3－k 2)(m 2＋12)>0②
∵DF →＝(x 4－x 2，y 4－y 2)、BE →＝(x 3－x 1，y 3－y 1
)， 且DF
→＋BE →＝0， ∴(x 4－x 2)＋(x 3－x 1)＝0，
即x 1＋x 2＝x 3＋x 4，∴－8km 3＋4k 2＝2km 3－k 2
，
∴km＝0或－4
3＋4k2＝
1
3－k2
.解得k＝0或m＝0.
当k＝0时，由①、②得－23<m<23，
∵m∈Z，∴m的值为－3，－2，－1,0,1,2,3；
当m＝0时，由①、②得－3<k<3，
∵k∈Z，∴k＝－1,0,1.∴满足条件的直线共有9条．。