高考数学二轮复习三角函数与解三角形多选题测试试题及答案

高考数学二轮复习三角函数与解三角形多选题测试试题及答案
一、三角函数与解三角形多选题
1．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；
一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即S =S 为三角形的面积，a 、b 、c 为三角形的三边）.现有ABC 满足
sin :sin :sin 2:A B C =，且ABC 的面积ABC S =△，则下列结论正确的是
（ ）
A ．ABC 的周长为10+
B ．AB
C 的三个内角A 、C 、B 成等差数
列
C ．ABC 的外接圆半径为3
D ．ABC 的中线CD 的长为【答案】AB 【分析】
本题首先可根据sin :sin :sin 2:A B C =得出::2:3:a b c =
ABC
S =△以及S =A 正确，然后根据余弦定理求出1cos 2
C =
，则π
3C =，2A B C +=，B 正确，再然后根据
2sin c R C =
即可判断出C 错误，最后根据余弦定理求出cos 14B =，再根据cos 14
B =求出CD 长，D 错误. 【详解】
A 项：设ABC 的内角A 、
B 、
C 所对的边分别为a 、b 、c ，
因为sin :sin :sin 2:A B C =，所以由正弦定理可得::2:a b c =
设2a t =，3b t =，()0c t =>，
因为ABC
S =△，所以=
解得2t =，则4a =，6b =，c =
故ABC 的周长为10+A 正确；
B 项：因为2221636281
cos 22462
a b c C ab +-+-===⨯⨯，
所以π
3C =
，π2ππ233
A B C +=-=
=， 故ABC 的三个内角A 、C 、B 成等差数列，B 正确；
C 项：因为π3C =
，所以sin C =
由正弦定理得2
sin 3c R C =
==
，R =C 错误；
D 项：由余弦定理得222cos
214
a c
b B a
c +-===
，
在BCD △中4BC =，BD =
由余弦定理得2cos
14B ==
，解得CD =，D 错误， 故选：AB. 【点睛】
本题考查解三角形相关问题的求解，考查的公式有2sin c R C =、222
cos 2a c b B ac
+-=，考
查正弦定理边角互换的灵活应用，考查根据等差中项的性质证明数列是等差数列，考查计算能力，考查转化与化归思想，是难题.
2．已知函数()f x 的定义域为D ，若对于任意()()()a b c D f a f b f c ∈，，，，，分别为某个三角形的边长，则称()f x 为“三角形函数”，其中为“三角形函数”的函数是（ ） A ．()4sin f x x =- B ．()2
2sin 10cos 13f x x x =-++
C ．()tan 2
x
f x = D ．()sin 20,34f x x x ππ⎛⎫
⎡⎤
=+
+∈ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
【答案】AD 【分析】
结合三角形的性质有:两边之差小于第三边，得若()f x 为 “三角形函数”则
()()()max min min f x f x f x <-恒成立，即()()max min 2f x f x <恒成立即可，根据条件求
出函数的最大值和最小值，进行判断即可. 【详解】
解:①()4sin f x x =-，则()max 415f x =+=，()min 413f x =-= 则()()max min 2f x f x <恒成立,则A 满足条件
②()2
2532cos 10cos 112cos 22f x x x x ⎛⎫=++=+= ⎪⎝
⎭
当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，0cos 1x ≤≤∴当cos 0x =时，函数()f x 取得最小值()min 11f x =,当cos 1x =时，函数()f x 取得最大值，()max 23f x =
则()()max min 2f x f x <不恒成立，则B 不满足条件 ③()()()tan ,00,2
x
f x =∈-∞⋃+∞，则不满足条件()()max min 2f x f x <恒成立，故C 不是
④()sin 2233f x x π⎛⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭
0,4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，52,336x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，则
()max sin
231232
f x π
=+=+，()min 51
sin
232362
f x π=+=+ 则()min 2143f x =+，则()()max min 2f x f x <恒成立，故D 满足条件 故选AD 【点睛】
本题考查了三角形的性质及“三角形函数”的概念，根据条件转化为()()max min 2f x f x <恒成立是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度.
3．已知函数()()cos 2f x A x b ϕ=++(0A >，0ϕπ<<)的部分图像如图所示，则（ ）
A ．2A =
B ．点7,112π⎛⎫
⎪⎝⎭
是()f x 图像的一个对称中心 C ．6
π=
ϕ D ．直线3
x π
=
是()f x 图像的一条对称轴
【答案】ABD
【分析】
由图知函数最大值为3,最小值为1-,且函数图像与y 轴的交点为()0,2,进而待定系数得
()2cos 213f x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭,再整体换元讨论B,D 选项即可.
【详解】
因为0A >，所以31A b A b +=⎧⎨-+=-⎩，解得2
1
A b =⎧⎨=⎩，故A 正确；
()02cos 12f ϕ=+=，则1cos 2
ϕ=
.又0ϕπ<<，所以3π
ϕ=，故C 错误；
()2cos 213f x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，
令23
x k π
π+
=，k ∈Z ，解得62πk π
x =-+
，k ∈Z ， 所以()f x 图像的对称轴方程为6
2
π
k πx =-+， 令1k =，则3
x π
=，D 正确；
令23
2
x k π
π
π+
=
+，k ∈Z ，解得12
2
k x π
π
=
+
，k ∈Z ， 令1k =，则712x π=且7112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭
，故B 正确.
故选：ABD 【点睛】
本题考查三角函数图像求解析式，三角函数的对称轴，对称中心等，考查运算求解能力，是中档题.解题的过程中，需要注意形如()()sin 0y A x B A ωϕ=++>，
()()cos 0y A x B A ωϕ=++>，max min ,y A B y A B =+=-+，ϕ的求解通常采用待定系
数法求解.
4．设M 、N 是函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象与直线2y =的交点，若M 、N 两点距离的最小值为6，1
,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭
是该函数图象上的一个点，则下列说法正确的是（ ）
A ．该函数图象的一个对称中心是()7,0
B ．该函数图象的对称轴方程是1
32
x k =-
+，Z k ∈
C ．()f x 在71,23⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦
上单调递增
D ．()2cos 36x f x π
π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
【答案】ABD 【分析】
根据函数()f x 的基本性质求出函数()f x 的解析式，可判断D 选项的正误，利用余弦型函数的对称性可判断AB 选项的正误，利用余弦型函数的单调性可判断C 选项的正误. 【详解】
因为M 、N 是函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象与直线2y =的交点，
若M 、N 两点距离的最小值为6，则函数()f x 的最小正周期为6T =，
23
T ππω∴=
=， 所以，()2sin 3x f x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，
将点P 的坐标代入函数()f x 的解析式，可得12sin 226f πϕ⎛⎫⎛
⎫-
=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则sin 16πϕ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭.
0ϕπ<<，56
6
6π
π
πϕ∴-
<-
<
，则62
ππϕ-=，23π
ϕ∴=，
()22sin 2sin 2cos 3336236f x x x x π
πππππ
π⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+
=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，D 选项正确；
对于A 选项，()7572cos 2cos 0362f πππ⎛⎫
=+== ⎪⎝⎭
，A 选项正确； 对于B 选项，由
()36x k k Z ππ
π+
=∈，解得()1
32
x k k Z =-+∈， 所以，函数()f x 的图象的对称轴方程是1
32
x k =-+，k Z ∈，B 选项正确；
对于C 选项，当71,23x ⎡⎤
∈--⎢⎥⎣⎦
时，3618x ππππ-≤+≤， 所以，函数()f x 在区间71,23⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦
上不单调，C 选项错误. 故选：ABD. 【点睛】
方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成()sin y A ωx φ=+或
()cos y A x ωϕ=+形式，再求()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+的单调区间，只
需把x ωϕ+看作一个整体代入sin y x =或cos y x =的相应单调区间内即可，注意要先把
ω化为正数．
5．已知函数()2sin 26f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，则（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为π B ．()f x 的图像关于直线6
x π
=
对称
C ．()f x 的图象关于点,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 D ．()f x 在区间(0,)π上有两个零点
【答案】ABD 【分析】
借助于()2sin 26f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图像及y =sin x 的性质，对ABCD 四个选项一一验证： 对于A ：利用2T π
ω
=
求周期；
对于B ：利用图像观察，也可以根据()26
f π
=判断；
对于C ：利用图像观察，也可以根据()13
f π
=否定结论；
对于D ：利用图像观察，可以得到()f x 在区间(0,)π上有两个零点. 【详解】
对于A ：函数()y f x =的周期222
T π
π
πω
=
=
=故A 正确；
对于B ：∵ ()2sin 226
6
6f π
π
π⎛⎫
=⨯
+
= ⎪⎝
⎭，∴()f x 的图像关于直线6
x π
=对称，故B 正确；
对于C ：∵ 5()2sin 22sin 13
3
66
f π
π
ππ⎛⎫
⎛⎫
=⨯
+
== ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，故()f x 的图像不经过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
也不是其对称中心，故C 错误； 对于C ：由图像显然可以观察出，()f x 在区间(0,)π上有两个零点.也可以令
()()00f x x π=<<，即2sin 206x π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，解得：512x π=或1112π，故()f x 在区间
(0,)π上有两个零点，故D 正确.
故选：ABD 【点睛】
三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，即()sin y A x B ωϕ=++的结构：
（1）画出图像，利用图像分析性质；
（2）用t x ωϕ=+借助于sin y x =或cos y x =的性质解题.
6．已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，则下列正确的是（ ）
A ．2()2sin 23
f x x π⎛⎫=+
⎪⎝
⎭
B ．(2021)1f π=
C ．函数|()|y f x =为偶函数
D ．,066x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫∀∈++-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
R 【答案】AD 【分析】
先利用图象得到2A =，T π=，求得2ω=，再结合12
x π
=-
时取得最大值求得ϕ，得到
解析式，再利用解析式，结合奇偶性、对称性对选项逐一判断即可. 【详解】
由图象可知，2A =，5212122T πππ=+=，即2T ππω
==,2ω=， 由12
x π
=-
时，()2sin 2212f x =πϕ⎡⎤⎛⎫
=⨯-
+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，得22,122=k k Z ππϕπ⎛⎫⨯-++∈ ⎪⎝⎭， 即22,3=k k Z πϕπ+∈，而0ϕπ<<，故2=3πϕ，故2()2sin 23f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，A 正确；
22(2021)2sin 22021=2sin =333f ππππ⎛
⎫=⨯+ ⎪
⎝⎭
，故B 错误； 由2()2sin 23
y f x x π⎛
⎫==+
⎪⎝
⎭知，222sin 2=2sin 233x x ππ⎛
⎫⎛
⎫-++
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
不是恒成立，
故函数|()|y f x =不是偶函数，故C 错误； 由6
x π
=
时，22sin 22sin 0663f =ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故06π⎛⎫
⎪⎝⎭
，是2()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭的对称中心，故
,066x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫
∀∈++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，故D 正确. 故选：AD. 【点睛】 方法点睛：
三角函数模型()sin()f x A x b ωϕ=++求解析式时，先通过图象看最值求A ，b ，再利用特殊点（对称点、对称轴等）得到周期，求ω，最后利用五点特殊点求初相ϕ即可.
7．函数()sin()f x x ωϕ=+的部分图像如图中实线所示，图中的M 、N 是圆C 与()f x 图像的两个交点，其中M 在y 轴上，C 是()f x 图像与x 轴的交点，则下列说法中正确的是（ ）
A ．函数()y f x =的一个周期为56
B ．函数()f x 的图像关于点
4
,03
成中心对称
C ．函数()f x 在11,26⎛⎫
-- ⎪⎝
⎭上单调递增 D ．圆C 的面积为
3136
π
【答案】BD
【分析】
根据图象，结合三角函数的对称性、周期性、值域以及圆的中心对称性，可得,,C M N 的坐标，进而可得()f x 的最小正周期、对称中心、单调减区间，及圆的半径，故可判断选项的正误. 【详解】
由图知：1(,0)3
C ，(0,)2M ，2(,)32
N ， ∴()f x 中
111()2362T =--=，即1T =；对称中心为1,0,23k k Z ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
；单调减区间为
17
,,1212k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；圆的半径r ==，则圆的面积为3136π； 综上，知：AC 错误，而BD 正确. 故选：BD. 【点睛】
本题考查了三角函数的性质，结合了圆的中心对称性质判断三角函数的周期、对称中心、单调区间及求圆的面积，属于难题.
8．已知函数()
()tan (0)6
ωωπ
=->f x x ，则下列说法正确的是（ ） A ．若()f x 的最小正周期是2π，则1
2
ω=
B ．当1ω=时，()f x 的对称中心的坐标为()
π0()
6π+∈Z k k ， C ．当2ω=时，π2π()()125
-<f f D ．若()f x 在区间()
π
3π，上单调递增，则203
ω<≤ 【答案】AD 【分析】
根据正切函数的性质，采用整体换元法依次讨论各选项即可得答案. 【详解】
解:对于A 选项，当()f x 的最小正周期是2π，即：2T ππω==，则1
2
ω=，故A 选项正确；
对于B 选项，当1ω=时，()
()tan 6f x x π
=-，所以令,6
2
k x k Z π
π
-
=
∈，解得：,6
2
k x k Z π
π=
+
∈，所以函数的对称中心的坐标为()
0()62k k π
π+∈Z ，，故B 选项错误； 对于C 选项，当2ω=时，()
()tan 26f x x π
=-，
()()()()
ππ10tan 2tan tan 12126330f πππ⎡⎤-=⨯--=-=-⎢⎥⎣⎦
，
()()()2π2π1911tan 2tan tan 5563030f πππ=⨯-==-，由于tan y x =在,02π⎛⎫
- ⎪⎝⎭单调递增，故()()π2π125
f f ->，故C 选项错误； 对于D 选项，令,2
6
2
k x k k Z π
π
π
πωπ-
+<-
<
+∈，解得：233k k x ππππ
ωωωω
-
+<<+ 所以函数的单调递增区间为：2,,33k k k Z ππππωωωω⎛⎫-
++∈ ⎪⎝⎭
，因为()f x 在区间()
π3π，
上单调递增，所以33
,23k k Z k πππ
ωωπππ
ωω
⎧-+≤⎪⎪∈⎨
⎪+≥⎪⎩，解得：213,3k k k Z ω-+≤≤+∈，另一方面，233T ππππω=
≥-=，32ω≤，所以2332k +≤，即56
k ≤，又因为0>ω，所以0k =，故2
03
ω<≤，故D 选项正确.
故选：AD 【点睛】
本题考查正切函数的性质，解题的关键在于整体换元法的灵活应用，考查运算求解能力，是中档题.其中D 选项的解决先需根据正切函数单调性得2
13,3
k k k Z ω-+≤≤+∈，再结合233
T ππππω=
≥-=和0>ω得0k =，进而得答案.
二、数列多选题
9．已知等差数列{}n a 中，59a a =，公差0d >，则使得前n 项和n S 取得最小值的正整数n 的值是（ ） A ．5 B ．6
C ．7
D ．8
【答案】BC 【分析】
分析出数列{}n a 为单调递增数列，且70a =，由此可得出结论. 【详解】
在等差数列{}n a 中，59a a =，公差0d >，则数列{}n a 为递增数列，可得59a a <，
59a a ∴=-，可得5975202a a a a +==>，570a a ∴<=，
所以，数列{}n a 的前6项均为负数，且70a =， 因此，当6n =或7时，n S 最小.
故选：BC.
【点睛】
方法点睛：本题考查等差数列前n 项和最大值的方法如下： （1）利用n S 是关于n 的二次函数，利用二次函数的基本性质可求得结果； （2）解不等式0n a ≥，解出满足此不等式的最大的n 即可找到使得n S 最小.
10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =-
B ．122a =
C ．3430a a +=
D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值
【答案】AC
【分析】
先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-，进而计算即可得答案.
【详解】
解：设等差数列{}n a 的公差为d ，
则52318312a a d d =+=+=，解得2d =-.
所以120a =，342530a a a a +=+=，11110201020a a d =+=-⨯=， 所以当且仅当10n =或11时，n S 取得最大值.
故选：AC
【点睛】
本题考查等差数列的基本计算，前n 项和n S 的最值问题，是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况： （1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定；
（2）当10,0a d <>时，n S 有最小值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定；。