时标上三阶中立型微分方程的振动准则

时标上三阶中立型微分方程的振动准则
汪皎月;黄俊明
【摘要】研究一类时标上三阶中立型微分方程[a(t)(y△△(t))γ]△+f(t,x(t))=0,t≥t0的振动性.给出了该类方程振动的充分条件,丰富已有结果.
【期刊名称】《凯里学院学报》
【年(卷),期】2018(036)003
【总页数】4页(P1-4)
【关键词】Riccati变换;时标;中立型微分方程;振动性
【作者】汪皎月;黄俊明
【作者单位】凯里学院,贵州凯里556011;凯里学院,贵州凯里556011
【正文语种】中文
1 引言
近年来, 关于三阶微分方程的振动性[1 - 2]和时标上三阶中立型微分方程的振动性都有研究[3 - 7]. 基于已有研究，本文研究时标上三阶中立型时滞微分方程
[a(t)(yΔΔ(t))γ]Δ+f(t,x(δ(t)))=0, t∈Τ
(1)
的振动性, 其中,假设条件:
(H1) γ是两正奇数比; Τ=[0,+∞)Τ, N={1,2,…,n}, δ(t),τi(t):Τ→Τ,
τi(t)<t,i∈N,δ(t)<t;
(H2) a(t),pi(t),i∈N是定义在Τ上正实值rd - 连续函数;
(H3) f(t,x):R×R→R是一个连续函数, 且有uf(t,u)>0,u≠0. 存在常数K>0, 一个连续函数函数q(t):R→R+, 使得|f(t,u)|≥Kq(t)|uγ|.
基本假设: (A1)假设假设存在常数p0和数列使得
方程(1)的解x是振动的, 如果x既不是最终为正, 也不是最终为负. 否则称为非振动的; 方程(1)是振动的, 如果它的所有解是振动的.
为了证明研究结果, 需要以下引理.
引理1 假设x(t)是方程(1)的最终正解, 且假设
(2)
则y(t)只有两种性质之一，即对某个t1, 当t≥t1时, 有
(ⅰ) y(t)>0, yΔ(t)<0, yΔΔ(t)>0;
(ⅱ) y(t)>0, yΔ(t)>0, yΔΔ(t)>0.
引理2 假设x(t)是方程(1)的最终正解, 且y(t)具有性质(ⅰ). 如果
(3)
则
引理1、2的证明与文献[5]中引理1、3的证明过程类似, 故省略.
引理3[8] 设u(t)>0, uΔ(t)>0, uΔΔ(t)>0, uΔΔΔ<0,t∈[t0,∞)T, 则
其中, 这里的Taylor单项式定义为
h0(t)=1,hn+1(t)=hn(u)Δu,n≥0,t∈T.
引理4[9] 若x(t)是Δ可微的且最终为正或者最终为负, 则
(xγ(t))Δ=γ[hxσ+(1-h)x]γ-1xΔ(t)dh.
引理5[10] 如果
(1) 其中I=[t1,+∞)T,t1>0;
(2) u(t)>0,uΔ(t)>0,uΔΔ(t)≤0,t∈I,
则∀k∈(0,1),∃tk∈I, 有
引理6[11] 假设A>0, B>0, α>0. 则对任意的x∈R, 都有
(4)
2 主要结果与证明
定理1 假设(A1), (2), (3)成立, 若对于任意T≥0, 且存在有
(5)
其中,
则方程(1)振动或者
证明设x是方程(1)的一个非振动解, 不失一般性, 假设x最终为正解. 且(2)成立, 由引理1得到y(t)只有两种性质(ⅰ), (ⅱ)之一.
若y(t)有性质(ⅰ), 且(3)成立, 由引理2得
若y(t)有性质(ⅱ), 由可知,
则y(t)≥y(τi(t))≥x(τi(t)), i∈N,所以有即
(6)
定义函数ω:
(7)
对ω求导, 由(1)和(7), 得到
φ(t)φΔ(t)+
(8)
当γ≥1时, 有引理4可得(xγ(t))Δ≥γ[hx+(1-h)x]γ-1xΔ(t)dh=γxγ-1xΔ(t). 于是有[(yΔ(t))γ]Δ≥γ(yΔ(t))γ-1yΔΔ(t).
(9)
把(6)和(9)式代入到(8)式中, 注意到性质(ⅱ), 有
yΔ(t)≤yΔ(σ(t)), yΔΔ(t)≥yΔΔ(σ(t)),
得
(10)
当0<γ<1时, 由引理4得
(xγ(t))Δ≥γ[hxσ+(1-h)xσ]γ-1xΔ(t)dh=γxγ-1(σ(t))xΔ(t).
于是有
[(yΔ(t))γ]Δ≥γ(yΔ(σ(t)))γ-1yΔΔ(t).
类似地, 可得到(10)式.
运用不等式:
得到
(11)
由(10)和(11)得到
(12)
由引理3，取u(t)=y(t)，有所以有由引理5, 取u(t)=yΔ(t), 有故有
(13)
在引理6中, 取
有
(14)
由(12), (13)和(14)得,
(15)
其中,
在(15)中用s替换t, 再两边对s从T到t积分得到
≤w(T)-w(t)≤w(T),
易知与(5)矛盾. 证毕.
取φ(t)=1,φ(t)=0时, 得到以下结论.
推论1 假设(A1), (2), (3)成立, 若对于任意的T>0, 有
则方程(1)振动或者
定理2 假设(A2), (2), (3)成立, 若对于任意T>0, 且存在有
Δt=∞,
(16)
其中,
则方程(1)振动或者
证明设x是方程(1)的一个非振动解, 不失一般性, 假设x最终为正解. 由引理1得
到y(t)只有两种性质(ⅰ), (ⅱ)之一.
若y(t)有性质(ⅰ), 且(3)成立, 由引理2得
若y(t)有性质(ⅱ), 定义函数(7), 由定理1的证明可得(8)成立,由pi(t)≤0, i∈N,得到y(t)≤x(t)，又有(11)和(13)成立, 所以
φ(t)Ψ(t),其中,
与定理1的证明类似可得
Δs≤w(T),
易知, 与(16)矛盾. 证毕.
取φ(t)=1,φ(t)=0时, 得到以下推论.
推论2 假设(A2), (2), (3)成立, 若对于任意的T>0, 有
则方程(1)振动或者
参考文献：
[1] 屈英, 孙博.三阶非线性中立型微分方程的振动性[J].数学的实践与认识,2011, 41(6): 244 - 248.
[2] 汪皎月，于淑惠.三阶中立型微分方程的振动准则[J].西南大学学报(自然科学版),2014, 36(7)：63 - 67.
[3] 杨军, 张玉静, 侯成涛.时标上一类三阶非线性中立型动力方程的振动性与渐近性[J].数学的实践与认识,2007, 37(18): 188 - 193.
[4] 王俊俊,赵伟杰.时标上一类三阶非线性中立型时滞动力方程的振动性[J].甘肃科学学报,2012, 24(2): 9 - 11.
[5] 尚仲平. 时标上三阶中立型动力方程的振动性与渐近性[J].河北大学学报(自然科学版),2013, 33(4): 342 - 346.
[6] 郭丽娟, 马福强, 王俊俊.时标上一类三阶中立型衰减动力方程的振动性[J].平顶山学院学报,2013, 28(5): 24 - 26.
[7] 张晓建, 杨甲山.时标上三阶时滞动力方程的振动性和渐近性[J].华东师范大学学报(自然科学版),2014(3): 51 - 59.
[8] 张少艳, 王其如.一类三阶非线性时标动态方程的振动性[J].中山大学学报(自然科学版),2012, 51(4): 50 - 55.
[9] BOHNER M, PETERSON A. Dynamic Equations on Time Scales, an Introduction Applications[M]. Boston: Birkhauser, 2001.
[10] SAHINEAR Y. Oscillation of second order delay differential equations on time scales[J]. Nonlinear Analysis, TMA, 2005, 63(5): e1075 - e1080. [11] AGARWAL R P, BOHNER M, LI W T. Nonoscillation and Oscillation: Theory for Functional Differential Equations[M]. New York: Marcel Dekker, 2004.。