2012高考浙江理科数学试题及答案(高清版)

2012年普通高等学校招生全国统一考试
数学理工农医类(浙江卷)
本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
选择题部分(共50分)
参考公式：
球的表面积公式
S＝4πR2
球的体积公式
V＝4
3
πR3
其中R表示球的半径锥体的体积公式
V＝1
3 Sh
其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高柱体的体积公式
V＝Sh
其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高台体的体积公式
V＝1
3
h(S1＋
12
S S＋S2)
其中S1，S2分别表示台体的上、下底面积．
h表示台体的高
如果事件A，B互斥，那么
P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k 次的概率P n(k)＝C k n P k(1－P)n－k(k＝0,1,2，…，n)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{3,4,5}，则P∩(U Q)＝() A．{1,2,3,4,6} B．{1,2,3,4,5}
C．{1,2,5} D．{1,2}
2．已知i是虚数单位，则3i
1i
+
-
()
A．1－2i B．2－i C．2＋i D．1＋2i
3．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是()
5．设a，b是两个非零向量，()
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b
B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa
D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|
6．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()
A．60种B．63种C．65种D．66种
7．设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误的是() A．若d＜0，则数列{S n}有最大项
B．若数列{S n}有最大项，则d＜0
C．若数列{S n}是递增数列，则对任意n∈N*，均有S n＞0
D．若对任意n∈N*，均有S n＞0，则数列{S n}是递增数列
8．如图，F1，F2分别是双曲线C：
22
22
1
x y
a b
-=(a，b＞0)的左、右焦点，B是虚轴的端
点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M．若|MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是()
A B C D
9．设a＞0，b＞0，()
A．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＞b
B．若2a＋2a＝2b＋3b，则a＜b
C．若2a－2a＝2b－3b，则a＞b
D．若2a－2a＝2b－3b，则a＜b
10．已知矩形ABCD，AB＝1，BC=ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，()
A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直
B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直
C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直
非选择题部分(共100分)
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11．已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于__________ cm 3．
12若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是__________．
13．设公比为q (q ＞0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝__________．
14．若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝__________．
15．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB AC ⋅=u u u r u u u r
__________．
16．定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝__________．
17．设a ∈R ，若x ＞0时均有［(a －1)x －1］(x 2－ax －1)≥0，则a ＝__________．
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2
cos 3
A =，sin
B
C ． (1)求tan C 的值；
(2)若a =ABC 的面积．
19．已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出此3球所得分数之和．
(1)求X 的分布列；
(2)求X 的数学期望E (X )．
20．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为∠BAD ＝120°，且P A ⊥
平面ABCD ，PA =，M ，N 分别为PB ，PD 的中点．
(1)证明：MN ∥平面ABCD ；
(2)过点A 作AQ ⊥PC ，垂足为点Q ，求二面角A －MN －Q 的平面角的余弦值．
21．如图，椭圆C
：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率为1
2
，其左焦点到点P (2,1)的距离
为10，不过原点．．．．O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)求△ABP 面积取最大值时直线l 的方程．
22．已知a ＞0，b ∈R ，函数f (x )＝4ax 3－2bx －a ＋b ． (1)证明：当0≤x ≤1时，
①函数f (x )的最大值为|2a －b |＋a ； ②f (x )＋|2a －b |＋a ≥0；
(2)若－1≤f (x )≤1对x ∈［0,1］恒成立，求a ＋b 的取值范围．
【自选模块】
3．“数学史与不等式选讲”模块(10分)
已知a ∈R ，设关于x 的不等式|2x －a |＋|x ＋3|≥2x ＋4的解集为A ． (1)若a ＝1，求A ；
(2)若A ＝R ，求a 的取值范围．
4．“矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块(10分)
在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：2cos 3sin x t y t αα
⎧⎪⎨⎪⎩＝＋，
＝＋(t 为参数)与曲线C ：
2cos sin x y θθ
⎧⎨
⎩＝，
＝(θ为参数)相交于不同两点A ，B ． (1)若π
3
α=，求线段AB 中点M 的坐标；
(2)若|P A |·|PB |＝|OP |2，其中P (2，3)，求直线l 的斜率．
1． B 由已知得，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝{x |－1≤x ≤3}，所以R B ＝{x |x ＜－1，或
x
＞3}．
所以A ∩(
R B )＝{x |3＜x ＜4}．
2．D ∵
23i (3i)(1i)3+3i+i+i 24i
12i 1i (1i)(1i)22
++++====+--+， ∴选D ．
3． A l 1与l 2平行的充要条件为a (a ＋1)＝2×1且a ×4≠1×(－1)，可解得a ＝1或a ＝－2，故a ＝1是l 1∥l 2的充分不必要条件．
4． A y ＝cos2x ＋1图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得y 1＝cos x ＋1，再向左平移1个单位长度得y 2＝cos(x ＋1)＋1，再向下平移1个单位长度得y 3＝cos(x ＋1)，故相应的图象为A 项．
5． C 由|a ＋b |＝|a |－|b |两边平方可得，|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝|a |2－2|a ||b |＋|b |2，即a ·b ＝－|a ||b |，所以cos 〈a ，b 〉＝－1，即a 与b 反向，根据向量共线定理，知存在实数λ，使得b ＝λa ．
6． D 和为偶数共有3种情况，取4个数均为偶数的取法有4
4C 1＝(种)，取2奇数2
偶数的取法有2245C C 60⋅=(种)，取4个数均为奇数的取法有4
5C 5=(种)，故不同的取法共
有1＋60＋5＝66(种)．
7． C 若{S n }为递增数列，则当n ≥2时，S n －S n －1＝a n ＞0，即n ≥2时，a n 均为正数，而a 1是正数、负数或是零均有可能，故对任意n ∈N *，不一定S n 始终大于0．
8． B 由题意知F 1(－c,0)，B (0，b )，
所以1F B b k c =
，直线F 1B 的方程为b
y x b c
=+， 双曲线的渐近线方程为b
y x a
=±．
由,b y x b c b y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，解得Q (ac c a -，bc c a -)
由,b y x b c b y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，解得P (ac a c -+，bc a c +)
设PQ 中点坐标N (x 0，y 0)，则2021(
)2ac ac a c
x c a a c b
=-=-+ 2
01()2bc bc c y c a a c b =+=-+．
即N (22a c b
，2
c b )
又因MN ⊥F 1B ，∴11MN F B c
k k b
=-=-．
所以直线MN 的方程为：222()c c a c
y x b b b
-=-- 令y ＝0得3
2c x b
=．
由|MF 2|＝|F 1F 2|得：3
2c b
－c ＝2c ，即c 2＝3b 2．
故a 2
＝c 2
－b 2
＝2b 2
，22
23
2
c e a ==
，所以2e =．
9． A 考查函数y ＝2x ＋2x 为单调递增函数，若2a ＋2a ＝2b ＋2b ，则a ＝b ，若2a ＋2a
＝2b ＋3b ，则a ＞b ．
10． B 当AC ＝1时，由DC ＝1
，AD =ACD 为直角，DC ⊥AC ，
又因为DC ⊥BC ，所以DC ⊥面ABC ． 所以DC ⊥AB ． 11．答案：1
解析：由图可知三棱锥底面积13
1322
S =⨯⨯=(cm 2)，三棱锥的高h ＝2 cm ，根据三棱锥体积公式，113
21332V Sh =
=⨯⨯=(cm 3)． 12．答案：1
120
解析：当i ＝1时，T ＝11＝1，当i ＝2时，12T =，当i ＝3时，1
1
236
T ==，当i ＝4
时，116424T ==，当i ＝5时，1
1
245120
T ==，当i ＝6时，结束循环，输出1120T =．
13．答案：3
2
解析：由已知S 4－S 2＝3a 4－3a 2，即a 4＋a 3＝3a 4－3a 2，即2a 4－a 3－3a 2＝0，两边同除以a 2得，2q 2－q －3＝0，即3
2
q =
或q ＝－1(舍)． 14．答案：10
解析：x 5＝［(1＋x )－1］5，故a 3为［(1＋x )－1］5的展开式中(1＋x )3的系数，由二项展开式的通项公式得T r ＋1＝5C r
(1＋x )r ·(－1)5－
r
令r ＝3，得T 4＝3
5C (1＋x )3·(－1)2＝10(1＋x )3．故a 3＝10．
15．答案：－16
解析：AB u u u r ·AC u u u r ＝(AM u u u u r ＋MB u u u r )·(AM u u u u r ＋MC u u u u r )＝2AM uuuu r ＋AM u u u u r ·
MC u u u u r ＋AM u u u u r ·MB u u u r
＋MB u u u r ·
MC u u u u r ＝|AM u u u u r |2＋(MB u u u r ＋MC u u u u r )·AM u u u u r ＋|MB u u u r ||MC u u u
u r |cosπ＝9－25＝－16． 16．答案：9
4
解析：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线y ＝x
=，所以y ＝x 2＋a 到y ＝x 的
，而与y ＝x
的直线有两条，分别是y ＝x ＋2与y ＝x －2，而抛
物线y ＝x 2＋a 开口向上，所以y ＝x 2＋a 与y ＝x ＋2相切，可求得9
4
a =．
17．答案：3
2
解析：因为x ＞0， 所以由不等式可得：(a －1－
1x )(x －a －1
x
)≥0
即［a －(1＋
1x )］［a －(x －1x )］≤0 设f (x )＝1＋1x ．g (x )＝x －1
x ，则上式为(a －f (x ))(a －g (x ))≤0．(*)
因g ′(x )＝1＋21x ＞0，f ′(x )＝－21
x
＜0，
所以f (x )在(0，＋∞)上单调减，g (x )在(0，＋∞)上单调增． 令f (x )＝g (x )，即1＋
1x ＝x －1
x
， 也就是x 2－x －2＝0，解得x ＝－1(舍)，x ＝2
即当0＜x ＜2时，f (x )＞g (x )，不等式(*)的解为g (x )≤a ≤f (x ) 当x ≥2时，f (x )≤g (x )不等式(*)的解为f (x )≤a ≤g (x )． 要使不等式恒成立，则a ＝f (z )＝g (2)＝32
． 18．解：(1)因为0＜A ＜π，cos A ＝23
，
得sin 3
A ==
，
C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C
2
sin 3C C +．
所以tan C =．
(2)
由tan C =
sin C =
，cos C =．
于是sin B C ==
．
由a =sin sin a c
A C
=
，得c = 设△ABC 的面积为S
，则1csin 2S a B ==．
19．解：(1)由题意得X 取3,4,5,6，且
P (X ＝3)＝35
39C 5C 42
=
， P (X ＝4)＝12
45
39C C 10C 21⋅=
， P (X ＝5)＝2145
3
9C C 5C 14
⋅=， P (X ＝6)＝34
39C 1C 21
=．
所以X 的分布列为
(2)由(1)知E (X )＝3·P (X ＝3)＋4·P (X ＝4)＋5·P (X ＝5)＋6·P (X ＝6)＝
13
3
． 20． (1)证明：因为M ，N 分别是PB ，PD 的中点， 所以MN 是△PBD 的中位线． 所以MN ∥BD ．
又因为MN
平面ABCD ， 所以MN ∥平面ABCD ．
(2)解：方法一：连结AC 交BD 于O ，以O 为原点，OC ，OD 所在直线为x ，y 轴，建立空间直角坐标系O －xyz ，如图所示．
在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，得AC ＝AB ＝2336BD AB ==． 又因为P A ⊥平面ABCD ， 所以P A ⊥AC ．
在直角△P AC 中，23AC =26PA =AQ ⊥PC ，得QC ＝2，PQ ＝4， 由此知各点坐标如下，
A (3-0,0)，
B (0，－3,0)，
C 30,0)，
D (0,3,0)，P (3-，0,6)，M (33
2
-，6，N (332
6)，Q 3
026)．
设m ＝(x ，y ，z )为平面AMN 的法向量．
由33(6)22AM =-u u u u r ，，33
(6)22
AN =u u u r ，，， 知33
60223360.22
x y z x y z -+=⎪⎪⎪++=⎪⎩， 取z ＝－1，得m ＝(220，－1)．
设n ＝(x ，y ，z )为平面QMN 的法向量．
由5336
()623
QM =--u u u u r ，， 5336()623QN =-u u u r ，，知5336
0,6235336
0.6
23
x y z x y z ⎧--+=⎪⎪⎨
⎪-++
=⎪⎩
取z ＝5，得n ＝(220,5)． 于是cos 〈m ，n 〉＝
33
||||33
⋅=
⋅m n m n ．
所以二面角A -MN -Q
的平面角的余弦值为
33
． 方法二：在菱形ABCD 中，∠BAD=120°，得AC=AB=BC=CD=DA ，BD= AB ．
又因为P A ⊥平面ABCD ，
所以P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，P A ⊥AD ． 所以PB =PC =PD ． 所以△PBC ≌△PDC ．
而M ，N 分别是PB ，PD 的中点， 所以MQ =NQ ，且AM =
12PB =1
2
PD =AN ． 取线段MN 的中点E ，连结AE ，EQ ，
则AE ⊥MN ，QE ⊥MN ，
所以∠AEQ 为二面角A －MN －Q 的平面角．
由AB =
PA = 故在△AMN 中，AM =AN =3，MN =
1
2
BD =3，得
2
AE =
． 在直角△P AC 中，AQ ⊥PC
，得AQ =QC =2，PQ =4，
在△PBC 中，2225
cos 26
PB PC BC BPC PB PC +-∠=
=⋅，得
MQ ==
在等腰△MQN 中，MQ =NQ
MN =3，得
2
QE ==
． 在△AEQ
中，2
AE =
，2QE =
，AQ =
222
cos 2AE QE AQ AEQ AE QE +-∠==
⋅． 所以二面角A －MN －Q
的平面角的余弦值为
33
． 21．解：(1)设椭圆左焦点为F (－c,0)，则由题意得
1
,
2
c a ==⎪⎩得1,2,c a =⎧⎨=⎩
所以椭圆方程为22
143
x y +=． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M ．
当直线AB 与x 轴垂直时，直线AB 的方程为x ＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，
由22
,
3412
y kx m x y =+⎧⎨
+=⎩消去y ，整理得 (3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，①
则∆＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＞0，
1222
122
8,34412.34km x x k
m x x k ⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
所以线段AB 的中点M (2434km k -
+，2
334m
k +)，
因为M 在直线OP 上，所以22
323434m km
k k -=
++， 得m ＝0(舍去)或3
2
k =-．
此时方程①为3x 2－3mx ＋m 2－3＝0，则
∆＝3(12－m 2)＞0，12212,3.3x x m m x x +=⎧⎪
⎨-=⎪⎩
所以|AB |
|x 1－x 2|
设点P 到直线AB 距离为d ，则
d =
=
． 设△ABP 的面积为S ，则
1||26
S AB d =⋅=，
其中m ∈
(-0)∪
(0,．
令u (m )＝(12－m 2)(m －4)2，m
∈［-
，，
u ′(m )＝－4(m －4)(m 2－2m －6)＝－4(m －4)·(m －1
m －1
． 所以当且仅当m ＝1
u (m )取到最大值． 故当且仅当m ＝1
S 取到最大值． 综上，所求直线l 方程为3x ＋2y
＋2＝0． 22． (1)证明：①f ′(x )＝12ax 2－2b ＝12a (x 2－
6b
a
)． 当b ≤0时，有f ′(x )≥0，此时f (x )在［0，＋∞)上单调递增． 当b ＞0时，f ′(x )＝12a (x ＋
6b a )(x －6b a
)，
此时f (x )在［0，
6b a ］上单调递减，在［6b a
，＋∞)上单调递增． 所以当0≤x ≤1时，
f (x )max ＝max{f (0)，f (1)}＝max{－a ＋b,3a －b }＝3,2,
,2a b b a a b b a
-≤⎧⎨
-+>⎩＝|2a －b |＋a ．
②由于0≤x ≤1，故
当b ≤2a 时，f (x )＋|2a －b |＋a ＝f (x )＋3a －b ＝4ax 3－2bx ＋2a ≥4ax 3－4ax ＋2a ＝2a (2x 3
－2x ＋1)．
当b ＞2a 时，
f (x )＋|2a －b |＋a ＝f (x )－a ＋b ＝4ax 3＋2b (1－x )－2a ＞4ax 3＋4a (1－x )－2a ＝2a (2x 3－2x ＋1)．
设g (x )＝2x 3－2x ＋1,0≤x ≤1，则
g ′(x )＝6x 2－2＝6(x
－3)(x
＋3
)， 于是
所以，g (x )所以，当0≤x ≤1时，2x 3－2x ＋1＞0，
故f (x
)＋|2a －b |＋a ≥2a (2x 3－2x ＋1)≥0．
(2)由①知，当0≤x ≤1时，f (x )max ＝|2a －b |＋a ， 所以|2a －b |＋a ≤1．
若|2a －b |＋a ≤1，则由②知f (x )≥－(|2a －b |＋a )≥－1．
所以－1≤f (x )≤1对任意0≤x ≤1恒成立的充要条件是|2|1,0,a b a a -+≤⎧⎨>⎩即20,
31,
a b a b a -≥⎧⎪
-≤⎨⎪>⎩或20,1,0.a b b a a -<⎧⎪
-≤⎨⎪>⎩
在直角坐标系aOb 中，不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，其中不包括线段BC ．
作一组平行直线a +b =t (t ∈R )， 得－1＜a +b ≤3，
所以a +b 的取值范围是(－1,3］．
【自选模块】
3．解：(1)当x≤－3时，原不等式化为－3x－2≥2x＋4，得x≤－3．
当－3＜x≤1
2
时，原不等式化为4－x≥2x＋4，得－3＜x≤0．
当
1
2
x>时，原不等式化为3x＋2≥2x＋4，得x≥2．
综上，A＝{x|x≤0或x≥2}
(2)当x≤－2时，|2x－a|＋|x＋3|≥0≥2x＋4成立．当x＞－2时，
|2x－a|＋x＋3＝|2x－a|＋|x＋3|≥2x＋4，
得x≥a＋1或
1
3
a
x
-≤，
所以a＋1≤－2或
1
1
3
a
a
-
+≤，得a≤－2．
综上，a的取值范围为a≤－2．
4．解：设直线l上的点A，B对应参数分别为t1，t2．将曲线C的参数方程化为普通方
程
2
4
x
＋y2＝1．
(1)当
π
3
α=时，设点M对应参数为t0．
直线l
方程为
1
2,
2
x t
y
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
(t为参数)，
代入曲线C的普通方程
2
4
x
＋y2＝1，得13t2＋56t＋48＝0，
则12
28
213
t t
t
+
==-，所以，点M的坐标为(
12
13
，
13
-)．(2)
将
=2+cos
sin
x t
y t
α
α
⎧⎪
⎨
⎪⎩
，
代入曲线C的普通方程
2
4
x
＋y2＝1，得(cos2α＋4sin2α)t2＋
(α＋4cosα)t＋12＝0，
因为|P A|·|PB|＝|t1t2|＝
22
12
cos4sin
αα
+
，|OP|2＝7，
所以
22
12
7
cos
α
=
+
，得2
5
tan
16
α=．
由于∆＝
32cosα(α－cosα)＞
0，
故tanα=．
所以直线l。