人教新课标版数学高二人教A选修4-5试题 1-1-1不等式的基本性质

第一讲 不等式和绝对值不等式
第一节 不等式
第1课时 不等式的基本性质
一、选择题
1．若1a <1b
<0，则下列不等式正确的有 ( )． ①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④ac >bc .
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 答案 A
2．已知a ，b ，c ，d 为实数，且c ＞d ，则“a ＞b ”是“a －c ＞b －d ”的( )．
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ a －c ＞b －d c ＞d ⇒a ＞b ；而当a ＝c ＝2，b ＝d ＝1时，满足⎩⎪⎨⎪⎧
a ＞
b
c ＞
d ，但a －c ＞b －d 不成立，所以“a ＞b ”是“a －c ＞b －d ”的必要而不充分条件，选B.
答案 B
3．下列不等式成立的是
( )．
A ．log 32＜log 23＜log 25
B ．log 32＜log 25＜log 23
C ．log 23＜log 32＜log 25
D ．log 23＜log 25＜log 32 解析 ∵log 32＜log 33＝1，log 23＞log 22＝1.
∴log 32＜log 23.又∵log 23＜log 25，∴log 32＜log 23＜log 25.
答案 A
4．设a ，b ∈R ，若a －|b |＞0，则下列不等式正确的是
( )．
A ．b －a ＞0
B ．a 3＋b 3＜0
C ．a 2－b 2＜0
D ．b ＋a ＞0 解析 ∵a －|b |＞0，∴a ＞|b |＞0.
∴不论b 正或b 负均有a ＋b ＞0.
答案 D 二、填空题
5．已知12＜a ＜60,15＜b ＜36，则a －b 及a b
的取值范围分别是________． 答案 (－24,45)、⎝⎛⎭⎫13，4
6．设x ＝a 2b 2＋5，y ＝2ab －a 2－4a ，若x ＞y ，则实数a 、b 满足的条件是________．
答案 ab ≠1或a ≠－2
7．设x ∈R ，则x 21＋x 4与12
的大小关系是________． 答案 x 21＋x 4≤12
8．已知三个不等式：①ab ＞0；②c a ＞d b
；③bc ＞ad .以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成________个正确命题．
答案 3
三、解答题
9．已知a ，b ∈{正实数}且a ≠b ，比较a 2b ＋b 2a
与a ＋b 的大小． 解 ∵⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 2b －b ＋b 2a －a ＝a 2－b 2b ＋b 2－a 2a ＝(a 2－b 2)⎝⎛⎭⎫1b －1a ＝(a 2－b 2)(a －b )ab
， ∴当a ＞b ＞0
时，a 2＞b 2，∴(a 2－b 2)(a －b )ab ＞0. 当0＜a ＜b 时，a 2＜b 2，∴(a 2－b 2)ab
(a －b )＞0. ∴只要a ≠b ，总有a 2b ＋b 2a
＞a ＋b . 10．已知a ，b ∈R ，求证：a 2＋b 2≥ab ＋a ＋b －1.
证明 (a 2＋b 2)－(ab ＋a ＋b －1)
＝12
(2a 2＋2b 2－2ab －2a －2b ＋2) ＝12
[(a 2－2ab ＋b 2)＋(a 2－2a ＋1)＋(b 2－2b ＋1)] ＝12
[(a －b )2＋(a －1)2＋(b －1)2]≥0， ∴a 2＋b 2≥ab ＋a ＋b －1.
11．已知α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧
－1≤α＋β≤1 ①1≤α＋2β≤3 ② 试求α＋3β的取值范围．
解 设α＋3β＝λ(α＋β)＋v (α＋2β)
＝(λ＋v )α＋(λ＋2v )β.
比较α、β的系数，得⎩⎪⎨⎪⎧
λ＋v ＝1，λ＋2v ＝3， 从而解出λ＝－1，v ＝2.
分别由①、②得－1≤－α－β≤1,2≤2α＋4β≤6， 两式相加，得1≤α＋3β≤7.。