课件6：1.1.4 投影与直观图

题型三 由直观图还原平面图形 【例3】 一个四边形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的 等腰梯形，求原四边形的面积． 审题指导 本题是逆向思维的一道简单画图题，只需逆用斜二测画法即 可还原，同时注意线线平行关系的不变性．
[规范解答] 如图(1)是四边形的直观图，取 B′C′所在直线为 x′轴． 因为∠A′B′C′＝45°，所以取 B′A′所在直线为 y′轴． 过 D′作 D′E′∥A′B′，D′E′交 B′C′于 E′，则 B′E′＝A′D′＝1. 又因为梯形为等腰梯形，所以△E′D′C′为等腰直角三角形． 所以 E′C′＝ 2.
甲
解析 在面ABCD和面A1B1C1D1上的正投影是图乙(1)；在面ADD1A1和 面BCC1B1上的正投影是图乙(2)；在面ABB1A1和面DCC1D1上的正投影 是图乙(3)．
乙 答案 (1)、(2)、(3)
题型二 水平放置的平面图形的直观图 【例2】 用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图． [思路探索] 根据斜二测画法的规则，首先需要建立直角坐标系，确定点、 线段的位置，以便平移到新坐标系中，构造其直观图．
【规律方法】
画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点， 如顶点等，画出这些关键点的投影，再依次连接即可得此图形在该 平面上的投影，其基本方法就是依据投影的定义，借助于空间想象 来完成．
【变式1】 如图甲所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AA1、 C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体 的各个面上的正投影可能是图乙中的________．
建立直角坐标系 xOy，如上图(2)， 在 x、y 轴上分别取点 B、C，使 AB＝A′B′＝a，AC＝2A′C′＝2 2a， 过 C 作 CD∥Ox，且使 CD＝a，连接 AD、BC， 则▱ABCD 是直观图正方形 A′B′C′D′的原图形， 所以其面积 S＝AB·AC＝a·2 2a＝2 2a2.
4．水平放置的平面图形的直观图的画法 (1)表示空间图形的 平面图形 ，叫做空间图形的直观图． (2)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于 x 轴、y 轴或 z 轴的 线段在直观图中分别画成 平行 于 x′轴、y′轴或 z′轴的线段，平行于 x 轴和 z 轴的线段，在直观图中长度 不变 ，平行于 y 轴的线段，长度为原来 的 一半 ． (3)对于图形中与 x 轴、y 轴、z 轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来 解决，即过端点作坐标轴的 平行线 ，再借助于所作的 平行线 确定端点在 直观图中的位置．
2．平行投影的性质 当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影都具有下述性质： (1)直线或线段的平行投影仍是 直线 或 线段 ； (2)平行直线的平行投影是 平行 或 重合 的直线； (3)平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行 且 等长 ； (4)与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形 全等 ； (5)在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比 等于 这两条线段 的比．
1.1.4 投影与直观图
【课标要求】
1．了解中心投影与平行投影． 2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图． 3．用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图．
【核心扫描】
1．用斜二测画法画空间几何体的直观图，增强对空间几何体的 整体认识，从而能根据直观图结构，想象实物的形象．(重点) 2．掌握水平放置的平面图形直观图的画法．(难点)
3．中心投影 一个 点光源 把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在 这个平面上的中心投影． 想一想：平行投影和中心投影有什么区别？ 提示 平行投影和中心投影都是空间图形的基本画法，但二者又有区别： ①中心投影的投影线交于一点，平行投影的投影线互相平行． ②平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的 形状和大小完全相同；而中心投影则不同． ③画实际效果图时，一般用中心投影法，画立体几何中的图形时，一般用 平行投影法．
解 法一 (1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线 AO所在的直线为y轴．
(2)画对应的 x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°. 在 x′轴上截取 O′B′＝O′C′＝OB＝OC＝2 cm，在 y′轴上取 O′A′＝12OA，连接 A′B′，A′C′，则三角形 A′B′C′即为正三角形 ABC 的直观图，如图②所示．
再建立一个直角坐标系 xBy，如图(2)所示， 在 x 轴上截取线段 BC＝B′C′＝1＋ 2，在 y 轴上截取线段 BA＝2B′A′＝2. 过 A 作 AD∥BC，截取 AD＝A′D′＝1. 连接 CD，则四边形 ABCD 就是四边形 A′B′C′D′的实际图形． 四边形 ABCD 为直角梯形，上底 AD＝1，下底 BC＝1＋ 2，高 AB＝2， 所以 S 梯形 ABCD＝12AB·(AD＋BC)＝12×2×(1＋1＋ 2)＝2＋ 2.
想一想：空间几何体的直观图一定唯一吗？
提示 不一定唯一．作直观图时，由于选轴不同，所画直观图就不 一定相同．
【名师点睛】
1．中心投影与平行投影 空间图形经过中心投影后，平行线可能变成了相交的直线，如照片中由近到 远，物体之间的距离越来越近，最后相交于一点．中心投影后的图形与原图 形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最像原来 的物体，所以在绘画时，经常使用这种方法．平行投影，即所有投影线互相 平行，或投影中心在无限远处，当投影线和投影面成适当的角度或改变图形 相对于投影面的位置时，一个空间图形在投影面上的平行投影(平面图形)可 以形象地表示这个空间图形．
[思路探索] 先根据平行投影的定义知投影线垂直于投影面，从而确定四边形 BFD′E四个顶点在各投影面的位置，再把各投影点连线成图． 解析 ①四边形 BFD′E 的四个顶点 B、F、D′、E 在底面 AB-CD 内的投影分别是 点 B、C、D、A，故投影是正方形，正确． ②设正方体的边长为 2，则 AE＝1，取 D′D 的中点 G，则四边形 BFD′E 在面 A′D′DA 内的投影是四边形 AGD′E，由 AE∥D′G，且 AE＝D′G，知四边形 AGD′E 是平行 不是菱形，对于③，由②知是两 对边长分别相等的平行四边形，从而③正确． 答案 ①③
(2)过 D 点作 DE⊥x 轴，垂足为 E，在 x′轴上取 A′B′＝AB＝4 cm， A′E′＝AE＝AD·cos 30°＝32 3 cm，DE＝AD·sin 30°＝32 cm. 过 E′作 E′D′∥y′轴，使 E′D′＝12ED， 再过点 D′作 D′C′∥x′轴，且使 D′C′＝CD＝2 cm. (3)连接 A′D′，B′C′，并擦去 x′轴与 y′轴及其他一些辅助线， 则四边形 A′B′C′D′就是所求作的梯形 ABCD 的直观图．
误区警示 作图不规范致误 【示例】 画出如图四边形OABC的直观图(图中数据已经给出)．
[错解] 以 O 为原点，OB 所在的直线为 x 轴建立直角坐标系 xOy，如图(1)， 作∠C′O′B′＝45°，其中 O′B′是水平的，O′B′＝4，O′D′＝3，O′C′＝1，过 D′ 作∠B′D′A′＝90°，使 A′D′＝1，顺次连接 O′A′，A′B′，B′C′，所得四边形 O′A′B′C′ 即为四边形 OABC 的直观图，如图(2)．
2．用斜二测画法画直观图应注意的问题 用斜二测画法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形的直观图的画 法，而画水平放置的平面图形的关键是确定多边形的顶点．因为多边形顶 点的位置一旦确定，依次连接这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边 形水平放置时，直观图的画法就可归结为确定点的位置的画法．
3．斜二测画法的作图技巧
【自学导引】
1．平行投影 已知图形 F，直线 l 与平面 α 相交．过 F 上任意一点 M 作直线 MM′ 平行 于 l，交平面 α 于点 M′，则点 M′叫做点 M 在平面 α 内关于直线 l 的 平行投影 (或象)．如果图形 F 上的所有点在平 面 α 内关于直线 l 的平行投影构成图形 F′，则 F′叫做图形 F 在 α 内关于直线 l 的 平行投影 ．
【题后反思】
(1)解答此类题目的关键是首先要能够将水平放置的平面图形的直观图还原
为原来的实际图形，其依据就是逆用斜二测画法，也就是使平行于 x 轴的线
段的长度不变，而平行于 y 轴的线段长度变为原来的 2 倍．其次要求出原图
形中的高，也就是在原来实际图形中的高线，在直观图中变为与水平直线
成 45°角且长度变为原来的一半的线段，即若设原实际图形的高为 h，直观
【追本溯源】
直观图与实际图形比较，某些量(如长度、角度、面积等)在视觉上 可能有些改变，但必须认为它们仍是原图中的那些量，同时，如两 线间的平行关系、两三角形的全等、相似关系、线段的中点位置等， 在直观图中仍保持不变，解题时不能被直观图所迷惑.
思维突破 坐标轴上的点O，B，C画得正确，点A的直观位置画错了，应该 依据点A到y轴的距离不变，到x轴的距离减半的方法确定A′的位置． [正解] 如图所示，作∠C′O′B′＝45°， 其中 O′B′是水平的，O′B′＝4，O′D′＝3，O′C′＝1， 过点 D′作∠B′D′A′＝135°，使 A′D′＝1，顺次连接 O′A′，A′B′，B′C′， 所得四边形即为四边形 OABC 的直观图．
【规律方法】 (1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是 关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，便于画点； 原图中的共线点，在直观图中仍是共线点；原图中的共点线，在直观 图中仍是共点线；原图中的平行线，在直观图中仍是平行线．要注意 选取适当的坐标原点，能使整个作图变得简便． (2)从本题解读可知，坐标系选取的不同，可得到不同的直观图．
【题型探究】
题型一 中心投影和平行投影的应用 【例1】 在正方体ABCD A′B′C′D′中，E、F分别是A′A、C′C的中点，则下列判断正确 的是________． ①四边形BFD′E在底面ABCD内的投影是正方形； ②四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影是菱形； ③四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影与在面ABB′A′内的投影是全等的平行四边形．
图的高为
h′，则
h′＝
2 4h
倍．
(2)用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积
的 42倍．
【变式3】 一个四边形的直观图是边长为a的正方形，试求原图形的面积． 解 在直观图正方形 A′B′C′D′中，分别以 A′B′、A′C′所在直线为 x′轴、y′ 轴，如下图(1)，则由 A′B′＝a 知 A′C′＝ 2a.
(1)在已知图中建立直角坐标系，理论上是在任何位置建立坐标系都行，但 实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量用原有直线为坐标轴或图形 的对称直线为坐标轴或图形的对称点为原点或利用原有垂直正交的直线为坐 标轴等．
(2)在原图中与x轴或y轴平行的线段在直观图中依然与x′轴或y′轴平行，原图 中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连接，画端点时作坐标轴 的平行线为辅助线．原图中的曲线段可以通过取一些关键点，利用上述方法 作出直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出．
法二 (1)如图③所示，以BC边所在的直线为y轴，以BC边上的高AO所在 的直线为x轴．
(2)画对应的 x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°. 在 x′轴上截取 O′A′＝OA，在 y′轴上截取 O′B′＝O′C′＝12OC＝1 cm， 连接 A′B′，A′C′，则三角形 A′B′C′即为正三角形 ABC 的直观图． 如图④所示．
【变式2】 如右图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm， ∠DAB＝30°，AD＝3 cm，试画出它的直观图．
解 (1)在梯形 ABCD 中，以边 AB 所在的直线为 x 轴，点 A 为原点， 建立平面直角坐标系 xAy，画出对应的 x′轴，y′轴，使∠x′A′y′＝45°.