人教版八年级数学上册 第十四章 整式的乘法与因式分解因式分解 讲义(无答案)

第十四章整式的乘法与因式分解
---因式分解
一、学习目的
1.理解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系
2.明确公因式概念和提取公因式的方法，能正确找出多项式的公因式，纯熟用提公因式法分解简单的多项式；理解平方差公式和完全平方公式的特点，能纯熟利用公式法因式分解;能综合使用提取公因式法和公式法分解因式，掌握两种方法分解因式的步骤
3.理解二次项系数为1的二次三项式ax2+bx+c用十字相乘法分解因式的条件，能较纯熟地运用十字相乘法分解因式
二、知识精讲
知识点1：提公因式法
⑴概念：多项式中各项都含有的公共的因式叫多项式的公因式，假如一个多项式的各项都含有公因式，可把这个公因式提出来，将多项式写成公因式与另一个公因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因数法。

⑵提公因式的详细方法：
〔1〕当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的一样字母，而且各字母的指数取次数最低的。

〔2〕假如多项式的第一项为哪一项负数，一般要提出“—〞号，使括号内的第一项的系数成为正数，提出“—〞时，多项式的各项都要变号。

【例1】以下分解因式正确的选项是〔〕
A、2x2−xy−x=2x(x−y−1)
B、−xy2+2xy−3y=−y(xy−2x−3)
C、x(x−y)−y(x−y)=(x−y)2
D、x2−x−3=x(x−1)−3
【例2】分解因式
〔1〕2x2y3−4x2y2+6x4y5=_________________________
(2)−1
6
m4n3+
1
9
m3n2−
1
3
m2n2z=__________________________
(3)4(a+b)−2(−a−b)(a+c)=_________________________
知识点2：用平方差公式分解因式
将整数乘法的平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2反过来，就得到了因式分解的平方差公式a2−b2=(a+b)(a−b).即两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数差的积.可以用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反。

【例1】将x3−4x分解因式的结果是〔〕
A、x(x2−4)
B、x(x+4)(x−4)
C、x(x+2)(x−2)
D、x(x−2)2
【例2】分解因式
〔1〕( a−b+c)2−(a−b−c)2=_______________________
(2) x4−1=_______________
(3)9x2−4y4=______________
(4)8x2−2y2=______________〔实数范围内因式分解〕
知识点3：完全平方公式的综合应用
把完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2，反过来，就得到了因式分解的完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2.即两个数的平方和加上〔或减去〕这两个数积的2倍，等于这两个数的和〔或差〕的平方，能应用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数〔或式〕的平方和的形式另一项为哪一项这两个数〔或式〕的积的2倍。

【例1】假设多项式x2+mx+4 能用完全平方公式分解因式，那么m的值可以〔〕
A、4
B、−4
C、±2
D、±4
【例2】分解因式
〔1〕4x2−12xy+9y2=___________________
(2)2a2+4ab+2b2=_______________
(3)(x2−2xy+y2)+(−m2−2mn−n2)=__________________
知识点4：x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解(十字相乘法)
由多项式乘法可知(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq，反过来可得
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).利用这个公式可直接对某些二次项系数是1的二次三项式分解因式。

这个公式的特点是：①二次项系数是1；②常数项是两个数的积；③一次项系数是这两个数的和.
说明：①掌握这种方法的关键是确定合适条件的两个数，即把常数项分解成两个数的积，且这两个数的和等于一次项系数，通常可以借助画十字穿插线的方法来确定，故称十字相乘法。

②ax2+bx+c中的x可以表示任意字母、单项式、多项式。

③完全平方公式是十字相乘法的特例。

【例1】因式分解：x3−x2−6x=__________
【例2】分解因式
（1）x2−7x+12=_____________
(2)m2+5m+6=______________
(3)x3−11x2+18x=______________
【题组训练】：
1.分解因式−2xy2+6x3y2−10xy时，合理地提取的公因式应为( )
A、−2xy2
B、2xy
C、−2xy
D、2x2y
2.多项式−6ab−18abx+24aby的一个因式是−6ab，那么另一个因式应为〔〕
A、−1−3x+4y
B、1+3x−4y
C、−1−3x−4y
D、1−3x−4y
3.将m2(a−2)+m(2−a)分解因式，正确的选项是〔〕
A、(a−2)(m2−m)
B、m(a−2)(m+1)
C、m(a−2)(m−1)
D、m(2−a)(m−1)
4.对于式子：①a2−2ab−b2;②y2+3y+9；③x2+4xy+2y2；
④4m2−4m+1.其中可用完全平方公式分解因式的是〔〕
A、①
B、①③
C、④
D、②④
5.把多项式(x−y)2−2(x−y)−8分解因式，正确的结果〔〕
A、(x−y+4)(x−y+2)
B、(x−y+4)(x−y−2)
C、(x−y−4)(x−y+2)
D、(x−y+4)(x−y−2)
6.假如多项式x2+px+12可以分解因式成两个一次因式的积，那么整数P的可取〔〕
A、4个
B、5个
C、6个
D、8个
7.分解因式x m+3−x m+1的结果是〔〕
A、x m(x3−x)
B、x m(x3−1)
C、x m+1(x2−x)
D、x m+1(x−1)(x+1)
8.4
7
(x+1)2y3 与−12(x+1)3y4的公因式是____________
9.若1−x n=(1+x2)(1+x)(1−x)，那么n=_________
10.假设a−2b=3，则2a−4b−5=________
11.(1) x2+6x+___=(x+3)2(2)x2+______+144=(_______+____________)2
(3)a2−1+b2−2ab=(a−b+1)()
(4)a2−4a+4=_______________
12.长方形的一边长是x+5，面积为x2+12x+35，那么另一边长是_________
13.假设x+5是二次三项式x2−kx−15的一个因式，那么这个二次三项式的另一个因式是_________
14.分解因式：
〔1〕−3a2bc2+12a3b2c2+9a2bc3 (2)(m+n)(p−q)+(m+n)(p+q) (3)−m2n(x−y)n+mn2(x−y)n+1 (4)1−0.04x2y4
(5)−9
4x2+25
16
y4 (6)1.222×9−1.332×4 (7)3m(x−y)−n(y−x)
(8)14(x−y)−7(y−x)2 (9)x2−4y2+2x−4y
15.分解因式：
〔1〕25x2−10x+1〔2〕9x2y2+12xy+4〔3〕−4x2+20x−25 (4)x2−3x−4 (5)x2y−2xy−3y (6)−4m3+16m2n−16mn2 (7)(x−4)4−2(x−y)2+1 (8)m2−2mn+n2−16
16.用简便方法计算：32013+6×32012−32014
17.求代数式x2+y2−6x+4y+20的最小值，并求此时x、y的值.
18.a、b、c分别是△ABC的三边，试证明：a2−b2−c2−2bc<0.
19.(2014−b)(2012−b)=2013，求(2014−b)2+(2012−b)2的值.
20.假设a、b、c是三角形三边，且满足关系式a2+b2+c2−ab−ac−bc=0.试判断这个三角形的形状.
21.观察：①(x−1)(x+1)=x2−1;②(x−1)(x2+x+1)=x3−1;
③(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1;④(x−1)(x4+x3+x2+x+1)=x5−
1.
(1).观察上式，试求：26+25+24+23+22+2+1的值.
(2).试确定22018+22017+22016+····+23+22+2+1的个位数字.
22.观察以下各式，你会发现什么规律？
3×5=15， 15=42−1;
5×7=35， 35=62−1
11×13=143， 143=122−1
第n个式子是什么？
23.阅读理解。

〔1〕计算后填空：
①〔x+1〕〔x+2〕= _____________ ②〔x+3〕〔x-1〕=_______________ 〔2〕归纳、猜测后填空：：〔x+a〕〔x+b〕=x2+〔＿＿＿＿＿〕x+＿＿＿＿＿〔3〕运用〔2〕的猜测结论，直接写出计算结果：〔x+2〕〔x+m〕=＿＿＿＿＿＿〔4〕根据你的理解，把以下多项式因式分解：
①x2-5x+6=＿＿＿＿＿＿＿＿＿；②x2-3x-10=＿＿＿＿＿＿＿＿＿。