2019-2020学年吉林省长春市市第一外国语学校高三数学理联考试题含解析

2019-2020学年吉林省长春市市第一外国语学校高三数
学理联考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选
项中，只有是一个符合题目要求的
1. 某几何体的三视图如图所示，其中三角形的三边长与圆的直径均为2，则该几何体的体积为（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
【分析】通过三视图判断组合体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可．【解答】解：由题意可知组合体上部是底面半径为1，母线长为2的圆锥，下部是半径为
1的球，
所以圆锥的高为：，
所以组合体的体积为： =．
故选A．
【点评】本题考查三视图与组合体的关系，判断组合体的是由那些简单几何体构成是解题的关键，考查计算能力与空间想象能力．
2. 已知函数且则（）
A. 0
B. 1
C.
4 D.
参考答案：
A
略
3. 直线被圆所截得的弦长为（）
A．B．1 C．D．2
参考答案：
C
4. 对一个容器为的总体抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层
抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，则（）
参考答案：
D
5. 数列为各项为正数的等比数列，且已知函数，则
A、﹣6
B、﹣21
C、﹣12
D、21参考答案：
B
略
6. 2010年，我国南方省市遭遇旱涝灾害，为防洪抗旱，某地区大面积植树造林，如图，在区域内植树，第一棵树在点，第二棵树在点，第三棵树在点，第四棵树在点，接着按图中箭头方向，每隔一个单位种一颗树，那么，第2011棵树所在的点的坐标是（）
A. ；
B. ；
C.；
D.
参考答案：
A
略
7. 已知，函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心是
A．B．C．D．
参考答案：
C
，.又.显然，所
以.则，令，则，当时，，故C项正确.
8. 函数的大致图象为（）
A． B．
C． D．
参考答案：
A
9. “”是“直线与直线平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要参考答案：
B
10. 已知三棱锥的三视图如图所示，则它的体积为（）
A、
B、
C、
D、
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数f（x）=mx2+x+m+2在（﹣∞，2）上是增函数，则实数m的取值范围是．参考答案：
[﹣，0]
考点：二次函数的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：讨论m=0时满足题意；m≠0时，利用对称轴与区间端点的关系得到关于m的不等式解之．
解答：解：①m=0时，函数为f（x）=x+2，在（﹣∞，2）是增函数满足题意；
②m≠0时，要使已知函数在（﹣∞，2）上是增函数，只要，解得，∴实数m的取值范围是[，0]；
故答案为：[﹣，0]．
点评：本题考查了已知二次函数在某个区间的单调性，求参数问题；主要结合对称轴与区间端点的位置解得．
12. 算法流程图如图所示，则输出的值是 .
参考答案：
5
【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数基本知识.【知识内容】方程与代数/算法初步/程序框图.
【试题分析】执行第一次，，不满足判断条件，继续循环；
，不满足判断条件，继续循环；，不满足判断条件，继续循环；，不满足判断条件，继续循环；
，满足判断条件，输出k，故答案为5.
13. 设是复数，(其中表示的共轭复数)，已知的实部是-1，则的虚部为___
参考答案：
1
14.
参考答案：
略
15. 若的展开式的各项系数绝对值之和为1024，则展开式中项的系数为
_________.
参考答案：
-15
16. 已知实数x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最大值为．
参考答案：
2
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．
【解答】解：由z=x﹣3y得y=，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：
平移直线y=，
由图象可知当直线y=经过点C时，直线y=的截距最小，
此时z最大，
由，得，即C（5，1）．
代入目标函数z=x﹣3y，
得z=5﹣3×1=2，
故答案为：2．
17. 设二项式的展开式中常数项为A，则A＝．
参考答案：
【知识点】二项式定理.J3
【答案解析】－10 解析：二项式的展开式的通项公式为
．
令=0，解得r=3，故展开式的常数项为- =-10，
故答案为-10．
【思路点拨】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）
在数列中，已知,数列的前项和为，数列的前项和为，且满足，，其中为正整数.
(1)求数列的通项公式；
(2)问是否存在正整数，使成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对，若不存在，请说明理由.
参考答案：
(1) 因为，所以当时，，两式相减得
，又也适合，
当时，，两式相减得，
所以数列的奇数项成公差为2的等差，偶数项也成公差为2的等差
又，可解得
因为，所以
又，所以数列成公比为的等比数列所以
(2) 因为，所以
由得
化简得：
,
故，符合条件的有序实数对为
19. 设命题P：关于x的不等式（a＞0且a≠1）的解集为{x|﹣a＜x＜2a}；命题Q：y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R．如果P或Q为真，P且Q为假，求a的取值范围．
参考答案：
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】计算题．
【分析】根据题意得命题p、q有且仅有一个为真命题，分别讨论“p真q假”与“p假q 真”将两部分合并，即可得出实数a的取值范围．
解：对于不等式其解得情况如下：
当a＞1时，即为x2﹣ax﹣2a2＞0，解得x＜﹣a，或x＞2a
当0＜a＜1时即为x2﹣ax﹣2a2＜0，解得﹣a＜x＜2a
当命题Q：y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R 为真命题时，
易知a≠0，∴a＞0，且△=1﹣4a2＜0，即a＞
∵P或Q为真，P且Q为假
∴P，Q中一真一假，
若P真Q假，则有0＜a＜1且a≤，∴0＜a≤
若P假Q真，则有 a＞1且 a＞，∴a＞1
综上所述，P或Q为真，P且Q为假，
a的取值范围是0＜a≤，或a＞1．
【点评】本题考查含参数的不等式的解法，对数函数性质，复合命题真假的判断，以及逻辑思维能力．本题的关键是转化为时P，Q真假的条件．注意分类讨论．
20. 已知函数.
（1）求函数的最小值；
（2）若，都有，求证.
参考答案：
解：（1），定义域为，
，令，得，列表如下：
由上表可知函数的最小值即为极小值.
（2），都有，
所以在上恒成立.
令，
则，
当时，，令，
则，所以在上单调递增，
又，，
所以，存在使得，即，∴.
故当时，，此时，当时，，此时．
故函数在上递增，在上递减，
从而．令，，则．
所以在上单调递增，所以，∴．
21. 如图4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝，AF⊥PC于点F，FE∥CD，
交PD于点E.
（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角D－AF－E的余弦值.
参考答案：
22. （本题满分12分）已知函数
，且当时，的最小值为.
（Ⅰ）求的值，并求
的单调递增区间； （Ⅱ）先将函数的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得图象向右平移
个单位长度，得到函数的图象，求方程在区间
上所有根之和. 参考答案：
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；复合三角函数的单调性．C3 C4 C7
【答案解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）
解析：（Ⅰ）函数………2分
，故………4分则由
解得函数的单调递增区间为………6分
（Ⅱ）由已知得，又由得………9分
则有进而解得
故所有根之和为………12分
【思路点拨】（Ⅰ）利用三角函数中的恒等变换应用，可求得f（x）=2sin（2x+）
+a+1，x∈[0，]时f（x）的最小值为2，可求得a，利用正弦函数的单调性可求f（x）的单调增区间；（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，可求得g（x）=2sin（4x
﹣）+1，依题意，g（x）=2得sin（4x﹣）=，x∈[0，]，可求得x=或，从而可得答案．。