河南省信阳市罗山县2015-2016学年八年级(下)期末数学试卷(解析版)

河南省信阳市罗山县2015-2016学年八年级（下）期末数学试卷（解析版）
一、选择题
1．下列根式中，不能与合并的是（）
A．B．C．D．
2．如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（）
A．﹣1 B．﹣ +1 C． +1 D．
3．如果式子有意义，那么x的取值范围在数轴上表示出来，正确的是（）
A．B．C．
D．
4．若式子+（k﹣1）0有意义，则一次函数y=（k﹣1）x+1﹣k的图象可能是（）
A．B．C．D．
5．在端午节到来之前，学校食堂推荐了A，B，C三家粽子专卖店，对全校师生爱吃哪家店的粽子作调查，以决定最终向哪家店采购，下面的统计量中最值得关注的是（）
A．方差B．平均数C．中位数D．众数
6．为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区10户居民进行调查，下表是这10户居民2015年4月份用电量的调查结果：那么关于这10户居民月用电量，下列说法错误的是（）
居民（户） 1 2 3 4
月用电量（度/户）30 42 50 51
A．中位数是50 B．众数是51 C．极差是21 D．方差是42
7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若EF=，BD=4，则菱形ABCD的周长为（）
A．4 B．4C．4D．28
8．一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水中的速度为15km/h，水流速度为5km/h．轮船先从甲地逆水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地顺水航行返回到甲地，设轮船从甲地出发后所用时间为t（h），航行的路程为s（km），则s与t的函数图象大致是（）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题3分，共21分）
9．化简×=．
10．已知：（a+6）2+=0，则b2﹣2b+2a的值为．
11．九年级1班9名学生参加学校的植树活动，活动结束后，统计每人植树的情况，植了2棵树的有5人，植了4棵树的有3人，植了5棵树的有1人，那么平均每人植树棵．
12．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则▱ABCD的周长等于．
13．在▱ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，AC垂直于BC，且AB=10cm，AD=8cm，则OB=cm．14．直线y=kx+b与直线y=﹣2x+1平行，且经过点（﹣2，3），则k+b=．
15．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为．
三、解答题（共8题，75分）
16．先化简，再求值：（）÷，其中x=﹣2+．
17．某校团委举办了一次“中国梦，我的梦”演讲比赛，满分10分，学生得分均为整数，成绩达6分以上为合格，达到9
分以上（含9分）为优秀．这次竞赛中甲、乙两组学生成绩分布的条形统计图如下．
（1）补充完成下列的成绩统计分析表：
组别平均分中位数方差合格率优秀率
甲 6.7 3.41 90% 20%
乙7.5 80% 10%
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中游略偏上！”观察上表可知，小明是组学生；（填“甲”或“乙”）
（3）甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组．但乙组同学不同意甲组同学的说法，认为他们组的成绩要好于甲组．请你给出两条支持乙组同学观点的理由．
18．有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m远的一棵大树上，大树高14m，且巢离树顶部1m，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要多少时间才能赶回巢中？（画出符合题意的几何图形，并求解）
19．在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB．
20．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．
（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；
（2）若AD=10，DC=3，∠EBD=60°，则BE=时，四边形BFCE是菱形．
21．小慧和小聪沿图1中的景区公路游览，小慧乘坐车速为30km/h的电动汽车，早上7：00从宾馆出发，游玩后中午12：00回到宾馆．小聪骑自行车从飞瀑出发前往宾馆，速度为20km/h，中间不停留，途中遇见小慧时，小慧恰好游完一景点后乘车前往下一景点，上午10：00小聪到达宾馆，图2中的图象分别表示两人离宾馆的路程s（km）与时间t（h）的函数关系，试结合图中信息回答：
（1）小聪上午几点钟从飞瀑出发？
（2）试求线段AB，GH的交叉点B的坐标，并说明它的实际意义．
22．某食品加工厂需要一批食品包装盒，供应这种包装盒有两种方案可供选择：
方案一：从包装盒加工厂直接购买，购买所需的费y1与包装盒数x满足如图1所示的函数关系．
方案二：租赁机器自己加工，所需费用y2（包括租赁机器的费用和生产包装盒的费用）与包装盒数x满足如图2所示的函数关系．根据图象回答下列问题：
（1）方案一中每个包装盒的价格是多少元？
（2）方案二中租赁机器的费用是多少元？生产一个包装盒的费用是多少元？
（3）请分别求出y1、y2与x的函数关系式．
（4）如果你是决策者，你认为应该选择哪种方案更省钱？并说明理由．
23．以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形．他们分别是正方形ABDI，BCFE，ACHG，试探究：
（1）如图中四边形ADEG是什么四边形？并说明理由．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？
2015-2016学年河南省信阳市罗山县八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列根式中，不能与合并的是（）
A．B．C．D．
【分析】将各式化为最简二次根式即可得到结果．
【解答】解：A、，本选项不合题意；
B、，本选项不合题意；
C、，本选项合题意；
D、，本选项不合题意；
故选C．
【点评】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．
2．如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（）
A．﹣1 B．﹣ +1 C． +1 D．
【分析】首先计算出直角三角形斜边的长，然后再确定a的值．
【解答】解：∵=，
∴a=﹣1，
故选：A．
【点评】此题主要考查了实数与数轴，关键是利用勾股定理计算出直角三角形斜边长．
3．如果式子有意义，那么x的取值范围在数轴上表示出来，正确的是（）
A．B．C．
D．
【分析】根据式子有意义和二次根式的概念，得到2x+6≥0，解不等式求出解集，根据数轴上表示不等式解集的要求选出正确选项即可．
【解答】解：由题意得，2x+6≥0，
解得，x≥﹣3，
故选：C．
【点评】本题考查度数二次根式的概念、一元一次不等式的解法以及解集在数轴上的表示方法，正确列出不等式是解题的关键，注意在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
4．若式子+（k﹣1）0有意义，则一次函数y=（k﹣1）x+1﹣k的图象可能是（）
A．B．C．D．
【分析】首先根据二次根式中的被开方数是非负数，以及a0=1（a≠0），判断出k的取值范围，然后判断出k﹣1、1﹣k 的正负，再根据一次函数的图象与系数的关系，判断出一次函数y=（k﹣1）x+1﹣k的图象可能是哪个即可．
【解答】解：∵式子+（k﹣1）0有意义，
∴
解得k＞1，
∴k﹣1＞0，1﹣k＜0，
∴一次函数y=（k﹣1）x+1﹣k的图象可能是：
．
故选：A．
【点评】（1）此题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1（a≠0）；②00≠1．
（3）此题还考查了二次根式有意义的条件，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．
5．在端午节到来之前，学校食堂推荐了A，B，C三家粽子专卖店，对全校师生爱吃哪家店的粽子作调查，以决定最终向哪家店采购，下面的统计量中最值得关注的是（）
A．方差B．平均数C．中位数D．众数
【分析】学校食堂最值得关注的应该是哪种粽子爱吃的人数最多，即众数．
【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故学校食堂最值得关注的应该是统计调查数据的众数．
故选D．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
6．为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区10户居民进行调查，下表是这10户居民2015年4月份用电量的调查结果：那么关于这10户居民月用电量，下列说法错误的是（）
居民（户） 1 2 3 4
月用电量（度/户）30 42 50 51
A．中位数是50 B．众数是51 C．极差是21 D．方差是42
【分析】根据表格中的数据，求出平均数，中位数，众数，极差与方差，即可做出判断．
【解答】解：10户居民2015年4月份用电量为30，42，42，50，50，50，51，51，51，51，
平均数为（30+42+42+50+50+50+51+51+51+51）=46.8，
中位数为50；
众数为51，
极差为51﹣30=21，
方差为 [（30﹣46.8）2+2（42﹣46.8）2+3（50﹣46.8）2+4（51﹣46.8）2]=42.96．
故选D．
【点评】本题考查了方差，中位数，众数，以及极差，熟练掌握各自的求法是解本题的关键．
7．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连接EF．若EF=，BD=4，则菱形ABCD的周长为（）
A．4 B．4C．4D．28
【分析】首先利用三角形的中位线定理得出AC，进一步利用菱形的性质和勾股定理求得边长，得出周长即可．
【解答】解：∵E，F分别是AB，BC边上的中点，EF=，
∴AC=2EF=2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=AC=，OB=BD=2，
∴AB==，
∴菱形ABCD的周长为4．
故选：C．
【点评】此题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，掌握菱形的性质是解决问题的关键．
8．一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水中的速度为15km/h，水流速度为5km/h．轮船先从甲地逆水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地顺水航行返回到甲地，设轮船从甲地出发后所用时间为t（h），航行的路程为s（km），则s与t的函数图象大致是（）
A．B．C．D．
【分析】根据逆流行驶用的时间长，顺流行驶用的时间短，中间停留路程没变化，可得答案．
【解答】解：逆流行驶用的时间长，中间停留路程没变化，顺流行驶用的时间短，故C符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了函数图象，逆流行驶用的时间长，中间停留路程没变化，顺流行驶用的时间短．
二、填空题（每小题3分，共21分）
9．化简×=3．
【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算．
【解答】解：原式===3，
故答案为：3．
【点评】主要考查了二次根式的乘法运算．二次根式的运算法则：乘法法则=．
10．已知：（a+6）2+=0，则b2﹣2b+2a的值为﹣9．
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：∵（a+6）2+=0，
∴a+6=0，b2﹣2b﹣3=0，
∴a=﹣6，b2﹣2b=3，
∴b2﹣2b+2a=3﹣12=﹣9，
故答案为：﹣9．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
11．九年级1班9名学生参加学校的植树活动，活动结束后，统计每人植树的情况，植了2棵树的有5人，植了4棵树的有3人，植了5棵树的有1人，那么平均每人植树3棵．
【分析】直接利用加权平均数的计算公式进行计算即可．
【解答】解：平均每人植树=3棵，
故答案为：3．
【点评】本题考查了加权平均数的计算，解题的关键是牢记加权平均数的计算公式，难度不大．
12．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则▱ABCD的周长等于20．
【分析】根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE=∠AEB，继而可得AB=AE，然后根据已知可求得结果．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE∥BC，AD=BC，AB=CD，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴AE+DE=AD=BC=6，
∴AE+2=6，
∴AE=4，
∴AB=CD=4，
∴▱ABCD的周长=4+4+6+6=20，
故答案为：20．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出∠ABE=∠AEB．13．在▱ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，AC垂直于BC，且AB=10cm，AD=8cm，则OB=cm．
【分析】根据平行四边形的性质得到BC=AD=8cm，根据勾股定理求出AC，得出OC，再由勾股定理求出OB即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=8cm，OB=OD，OA=OC，
∵AC⊥BC，
∴AC===6（cm），
∴OC=AC=3cm，
∴OB===（cm）；
故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，由勾股定理求出AC得出OC是解决问题的关键．
14．直线y=kx+b与直线y=﹣2x+1平行，且经过点（﹣2，3），则k+b=﹣3．
【分析】根据两直线平行可得出k=﹣2，再根据直线y=kx+b过点（﹣2，3）利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出关于b的一元一次方程，解方程即可求出b值，将k、b相加即可得出结论．
【解答】解：∵直线y=kx+b与直线y=﹣2x+1平行，
∴k=﹣2．
又∵直线y=kx+b过点（﹣2，3），
∴3=﹣2×（﹣2）+b，解得：b=﹣1．
∴k+b=﹣2﹣1=﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了两直线相交或平行问题已经一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出k和b的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据两直线平行找出一次函数一次项系数k是关键．
15．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为 4.8．
【分析】由折叠的性质得出EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，由ASA证明△ODP≌△OEG，得出OP=OG，PD=GE，设AP=EP=x，则PD=GE=6﹣x，DG=x，求出CG、BG，根据勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=∠C=90°，AD=BC=6，CD=AB=8，
根据题意得：△ABP≌△EBP，
∴EP=AP，∠E=∠A=90°，BE=AB=8，
在△ODP和△OEG中，
，
∴△ODP≌△OEG（ASA），
∴OP=OG，PD=GE，
∴DG=EP，
设AP=EP=x，则PD=GE=6﹣x，DG=x，
∴CG=8﹣x，BG=8﹣（6﹣x）=2+x，
根据勾股定理得：BC2+CG2=BG2，
即62+（8﹣x）2=（x+2）2，
解得：x=4.8，
∴AP=4.8；
故答案为：4.8．
【点评】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
三、解答题（共8题，75分）
16．先化简，再求值：（）÷，其中x=﹣2+．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式=÷
=÷
=
=
=﹣，
当x=﹣2+时，原式=﹣=﹣=﹣．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
17．某校团委举办了一次“中国梦，我的梦”演讲比赛，满分10分，学生得分均为整数，成绩达6分以上为合格，达到9
分以上（含9分）为优秀．这次竞赛中甲、乙两组学生成绩分布的条形统计图如下．
（1）补充完成下列的成绩统计分析表：
组别平均分中位数方差合格率优秀率
甲 6.7 6 3.41 90% 20%
乙7.17.5 1.6980% 10%
（2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中游略偏上！”观察上表可知，小明是甲组学生；（填“甲”或“乙”）
（3）甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组．但乙组同学不同意甲组同学的说法，认为他们组的成绩要好于甲组．请你给出两条支持乙组同学观点的理由．
【分析】（1）先根据条形统计图写出甲乙两组的成绩，然后分别计算甲的中位数，乙的平均数和方差；
（2）比较两组的中位数进行判断；
（3）通过乙组的平均数、中位数或方差进行说明．
【解答】解：（1）甲组：3，6，6，6，6，6，7，8，9，10，中位数为6；
乙组：5，5，6，7，7，8，8，8，8，9，平均数=7.1，S乙2=1.69；
（2）因为甲组的中位数为6，所以7分在甲组排名属中游略偏上；
故答案为6，7.1，1.69；甲；
（3）乙组的平均数高于甲组；乙组的中位数高于甲组，所以乙组的成绩要好于甲组．
【点评】本题考查了条形统计图：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了中位数和方差．
18．有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m远的一棵大树上，大树高14m，且巢离树顶部1m，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要多少时间才能赶回巢中？（画出符合题意的几何图形，并求解）
【分析】根据题意，构建直角三角形，利用勾股定理解答．
【解答】解：如图，由题意知AB=3m，CD=14﹣1=13（m），BD=24m．
过A作AE⊥CD于E．则CE=13﹣3=10（m），AE=24m，
在Rt△AEC中，
AC2=CE2+AE2=102+242．
故AC=26m，
则26÷5=5.2（s），
答：它至少需要5.2s才能赶回巢中．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
19．在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB．
【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；
（2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，可得答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∵BE∥DF，BE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴四边形BFDE是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠DFA=∠FAB．
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
BC===5，
∴AD=BC=DF=5，
∴∠DAF=∠DFA，
∴∠DAF=∠FAB，
即AF平分∠DAB．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键．
20．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．
（1）求证：四边形BFCE是平行四边形；
（2）若AD=10，DC=3，∠EBD=60°，则BE=4时，四边形BFCE是菱形．
【分析】（1）由AE=DF，∠A=∠D，AB=DC，易证得△AEC≌△DFB，即可得BF=EC，∠ACE=∠DBF，且EC∥BF，即可判定四边形BFCE是平行四边形；
（2）当四边形BFCE是菱形时，BE=CE，根据菱形的性质即可得到结果．
【解答】（1）证明：∵AB=DC，
∴AC=DB，
在△AEC和△DFB中
，
∴△AEC≌△DFB（SAS），
∴BF=EC，∠ACE=∠DBF
∴EC∥BF，
∴四边形BFCE是平行四边形；
（2）当四边形BFCE是菱形时，BE=CE，
∵AD=10，DC=3，AB=CD=3，
∴BC=10﹣3﹣3=4，
∵∠EBD=60°，
∴BE=BC=4，
∴当BE=4 时，四边形BFCE是菱形，
故答案为：4．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
21．小慧和小聪沿图1中的景区公路游览，小慧乘坐车速为30km/h的电动汽车，早上7：00从宾馆出发，游玩后中午12：00回到宾馆．小聪骑自行车从飞瀑出发前往宾馆，速度为20km/h，中间不停留，途中遇见小慧时，小慧恰好游完一景点后乘车前往下一景点，上午10：00小聪到达宾馆，图2中的图象分别表示两人离宾馆的路程s（km）与时间t（h）的函数关系，试结合图中信息回答：
（1）小聪上午几点钟从飞瀑出发？
（2）试求线段AB，GH的交叉点B的坐标，并说明它的实际意义．
【分析】（1）根据题意和函数图象可以求得小聪上午几点钟从飞瀑出发；
（2）根据图象可以求得GH对应的函数解析式，从而可以得到点B的坐标即它代表的实际意义．
【解答】解：（1）由函数图象可得，
小聪从飞瀑到宾馆用的时间为：50÷20=2.5小时，
又∵小聪上午10：00小聪到达宾馆，
∴小聪出发的时间为；10﹣2.5=7.5，
即小聪上午7：30从飞瀑出发；
（2）设GH对应的函数解析式为y=kx+b，
∵点G（0.5，50），点H（3，0）在GH上，
则，
解得，，
即GH对应的函数解析式为y=﹣20x+60，
将y=30代入y=﹣20x+60得，x=1.5，
1.5﹣0.5=1（小时）
即点B的坐标是（1.5，30），它的实际意义是小聪和小慧在小聪从飞瀑出发1小时时在景点草甸相遇．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
22．某食品加工厂需要一批食品包装盒，供应这种包装盒有两种方案可供选择：
方案一：从包装盒加工厂直接购买，购买所需的费y1与包装盒数x满足如图1所示的函数关系．
方案二：租赁机器自己加工，所需费用y2（包括租赁机器的费用和生产包装盒的费用）与包装盒数x满足如图2所示的函数关系．根据图象回答下列问题：
（1）方案一中每个包装盒的价格是多少元？
（2）方案二中租赁机器的费用是多少元？生产一个包装盒的费用是多少元？
（3）请分别求出y1、y2与x的函数关系式．
（4）如果你是决策者，你认为应该选择哪种方案更省钱？并说明理由．
【分析】（1）根据图象1可知100个盒子共花费500元，据此可以求出盒子的单价；
（2）根据图2可以知道租赁机器花费20000元，根据图象所经过的点的坐标求出盒子的单价即可；（3）根据图象经过的点的坐标用待定系数法求得函数的解析式即可；
（4）求出当x的值为多少时，两种方案同样省钱，并据此分类讨论最省钱的方案即可．
【解答】解：（1）500÷100=5，
∴方案一的盒子单价为5元；
（2）根据函数的图象可以知道租赁机器的费用为20000元，
盒子的单价为（30000﹣20000）÷4000=2.5，
故盒子的单价为2.5元；
（3）设图象一的函数解析式为：y1=k1x，
由图象知函数经过点（100，500），
∴500=100k1，
解得k1=5，
∴函数的解析式为y1=5x；
设图象二的函数关系式为y2=k2x+b
由图象知道函数的图象经过点（0，20000）和（4000，30000）
∴，
解得：，
∴函数的解析式为y2=2.5x+20000；
（4）令5x=2.5x+20000，
解得x=8000，
∴当x=8000时，两种方案同样省钱；
当x＜8000时，选择方案一；
当x＞8000时，选择方案二．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．
23．以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形．他们分别是正方形ABDI，BCFE，ACHG，试探究：
（1）如图中四边形ADEG是什么四边形？并说明理由．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得△BDE≌△BAC，所以全等三角形的对应边DE=AG．然后利用正方形对角线的性质、周角的定义推知∠EDA+∠DAG=180°，易证ED∥GA；最后由“一组对边平行且相等”的判定定理证得结论；
（2）根据“矩形的内角都是直角”易证∠DAG=90°．然后由周角的定义求得∠BAC=135°；
（3）由“正方形的内角都是直角，四条边都相等”易证∠DAG=90°，且AG=AD．由□ABDI和□ACHG的性质证得，AC= AB．
【解答】解：（1）图中四边形ADEG是平行四边形．理由如下：
∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，
∴AC=AG，AB=BD，BC=BE，∠GAC=∠EBC=∠DBA=90°．
∴∠ABC=∠EBD（同为∠EBA的余角）．
在△BDE和△BAC中，
，
∴△BDE≌△BAC（SAS），
∴DE=AC=AG，∠BAC=∠BDE．
∵AD是正方形ABDI的对角线，
∴∠BDA=∠BAD=45°．
∵∠EDA=∠BDE﹣∠BDA=∠BDE﹣45°，
∠DAG=360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD
=360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°
=225°﹣∠BAC
∴∠EDA+∠DAG=∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC=180°
∴DE∥AG，
∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．
（2）当四边形ADEG是矩形时，∠DAG=90°．
则∠BAC=360°﹣∠BAD﹣∠DAG﹣∠GAC=360°﹣45°﹣90°﹣90°=135°，
即当∠BAC=135°时，平行四边形ADEG是矩形；
（3）当四边形ADEG是正方形时，∠DAG=90°，且AG=AD．
由（2）知，当∠DAG=90°时，∠BAC=135°．
∵四边形ABDI是正方形，
∴AD=AB．
又∵四边形ACHG是正方形，
∴AC=AG，
∴AC=AB．
∴当∠BAC=135°且AC=AB时，四边形ADEG是正方形．
【点评】本题综合考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识点．解题时，注意利用隐含在题干中的已知条件：周角是360°．。