(理科高二)昆明第二十四中学2013——2014学年上学期期末试卷(含答案)

昆明第二十四中学2013——2014学年上学期期末试卷
高二数学试卷(理科)
命题教师：周 明 审题教师：云富泽 考试时间： 120 分钟 满分： 150 分
一、选择题（每小题5分，共12小题，共60分）
1．若直线过点(3,－3)且倾斜角为30°,则该直线的方程为（ ） A ．63-=
x y y B ．433+=
x y C ．433-=x y D ．23
3
+=x y 2．图中所示的是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A 、B 、C 是展开图上的三点，则在正方
体盒子中，∠ABC 的度数为 ( ) A ．90° B ．120° C ．60° D ．45°
3．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）
A ．π9
B ．π10
C ．π11
D ．π12
4．已知两点M （－2，0），N （2，0），点P 满足PN PM ⋅=12，则点P 的轨迹方程为（ ）
A ．116
22
=+y x B ．1622=+y x C ．822=-x y D ．822=+y x 5．点P 是等腰三角形ABC 所在平面外一点，PA ⊥平面ABC ，PA=8，在△ABC 中，底边BC=6， AB=5，则P 到BC 的距离为 ( )
A ．54
B ．3
C ．33
D ．32
6．长方体一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，若它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球 的表面积是 （ ）
A ．50π
B ．202π
C ．252π
D ．200π
7．已知P 为△ABC 所在平面α外一点，PA=PB=PC ，则P 点在平面α内的射影一定是△ABC
的 ( )
A ．内心
B ．外心
C ．垂心
D ．重心
8．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ） A ．
ππ221+ B ．ππ421+ C ．ππ21+ D ．π
π
241+ 9．圆2)4()3(2
2
=++-y x 关于直线0=+y x 的对称圆的标准方程是 ( ) A ．2)4()3(2
2
=-++y x B ．2)3()4(2
2=++-y x
C ．2)3()4(2
2
=-++y x
D ．2)4()3(2
2
=-+-y x
10．直线032=--y x 与圆9)3()2(2
2
=++-y x 交于E 、F 两点，则△EOF （O 是原点）的 面积为（ ） A ．
23 B ．4
3
C ．52
D ．556
11．直线l 通过点(1，3)且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积为6，则直线l 的方程( ) A ．063=-+y x B ．03=-y x C ．0103=-+y x D ．083=+-y x 12．圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线3 x + 4y －11=0的距离等于1的点有（ ） A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个
二． 填空题（每小题5分，共20分）
13．边长为a 正四面体的体积是 ．
14．球的两个平行截面面积分别为π5和π8，且在球心的同侧，这两个截面间的距离等于1，则球 的半径为 ．
15．P 为圆12
2
=+y x 上的动点，则点P 到直线01043=--y x 的距离的最小值为 ． 16．关于x 的方程3)2(42+-=-x k x ，有两解,则k 的取值范围是 ．
三、解答题：（6个小题，共70分）
17．（本小题满分10分）求过点(2,4)A 向圆42
2
=+y x 所引的切线方程．
A B C D P F
E 18．（本小题满分12分）已知ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，且PA=AB=2，E 、
F 是侧棱PD 、PC 的中点。

（1）求证：//EF 平面PAB ；
（2）求直线PC 与底面ABCD 所成角θ的正切值。

19．（本小题满分12分）已知点P （2，－1）. （1）求过P 点与原点距离为2的直线l 的方程；
（2）求过P 点与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？
（3）是否存在过P 点与原点距离为3的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分12分）一束光线l 自)3,3(-A 发出，射到x 轴上，被x 轴反射后与圆C ： 07442
2
=+--+y x y x 有公共点．
(1) 求反射光线通过圆心C 时，光线l 所在直线的方程； (2) 求在x 轴上，反射点M 的横坐标的取值范围．
21．（本小题满分12分）已知方程0422
2
=+--+m y x y x ． （Ⅰ）若此方程表示圆，求m 的取值范围；
（Ⅱ）若（Ⅰ）中的圆与直线042=-+y x 相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON （O 为坐标原点）求m 的值； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求以MN 为直径的圆的方程．
22．（本小题满分12分）已知四棱锥P —ABCD ，底面ABCD 是菱形，⊥︒=∠PD DAB ,60平面
ABCD ，PD=AD ，点E 为AB 中点，点F 为PD 中点． （1）证明：平面PED ⊥平面PAB ；
（2）求二面角P —AB —F 的平面角的余弦值．
高二上学期期末数学测试题(理科)参考答案
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案 C
A
D
B
A
A
B
A
B
D
A
C
13．
3123a ； 14． 3 15． 1 16． ]4
3,125( 17．(本小题满分10分)
解：显然2x =为所求切线之一；
另设4(2),420y k x kx y k -=--+-=
而
2423
2,,3410041
k
k x y k -==-+=+
2x ∴=或34100x y -+=为所求
18．(本小题满分12分)
证明：（1）
（2）连结AC ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以PCA ∠就为直线PC 与平面ABCD 所成的角θ。

即PC A ∠=θ
又因为正方形ABCD 的边长为2，所以AC=22，
所以22
tan tan 222PA PCA AC θ==
==
19．(本小题满分12分)
解：（1）过P 点的直线l 与原点距离为2，而P 点坐标为（2，－1），可见，过P （2，－1）垂直于x 轴的直线满足条件.
此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.
若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k （x －2）， 即k x －y －2k －1＝0.
由已知，得｜－2k －1｜k 2＋1
＝2，解得k ＝3
4 .
此时l 的方程为2x －4y －10＝0.
综上，可得直线l 的方程为x ＝2或2x －4y －10＝0.
（2）作图可证过P 点与原点O 距离最大的佳绩是过P 点且与PO 垂直的直线，由l ⊥OP ，得k 1k OP
⇒⎭⎬⎫中点是中点是PC F PD E ⇒⎭⎬⎫
CD AB CD EF ////PAB EF PAB AB PAB EF AB
EF 平面平面平面////⇒⎪⎭
⎪
⎬⎫⊂⊄A
B C D
P
F
E
＝－1，所以k 1＝
1
k OP
＝2. 由直线方程的点斜式得y ＋1＝2（x －2）， 即2x －y －5＝0.
即直线2x －y －5＝0是过P 点且与原点O 距离最大的直线，最大距离为｜－5｜
5 ＝ 5 .
（3）由（2）可知，过P 点不存在到原点距离超达 5 的直线，因此不存在过点P 点且到原点距离为3的直线.
20．(本小题满分12分)
解：圆C 的方程可化为(x －2)2
＋(y －2)2
＝1.
(1)圆心C 关于x 轴的对称点为C ′(2，－2)，过点A ，C ′的直线的方程x ＋y ＝0即为光线l 所在直线的方程．
(2)A 关于x 轴的对称点为A ′(－3，－3)， 设过点A ′的直线为y ＋3＝k (x ＋3)．
当该直线与圆C 相切时，有|2k －2＋3k －3|1＋k
2
＝1，解得k ＝43或k ＝3
4， 所以过点A ′的圆C 的两条切线分别为y ＋3＝43(x ＋3)，y ＋3＝3
4
(x ＋3)．
令y ＝0，得x 1＝－3
4
，x 2＝1，
所以在x 轴上反射点M 的横坐标的取值范围是[－3
4
，1]．
21．(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）0422
2=+--+m y x y x D=-2，E=-4，F=m
F E D 422-+=20-m 40>， 5<m
（Ⅱ）⎩⎨⎧=+--+=-+0
420
422
2m y x y x y x y x 24-=代入得 081652
=++-m y y
51621=+y y ，5
821m
y y +=
∵OM ⊥ON 得出：02121=+y y x x
∴016)(852121=++-y y y y
∴5
8
=m
（Ⅲ）设圆心为),(b a
5
82,5421121=+==+=
y y b x x a 半径55
4=r
圆的方程5
16
)5
8()5
4
(2
2
=-+-y x
22．(本小题满分12分)
解法一:(1)证明:连接BD
为等边三角形.
是AB中点，
面ABCD，AB面ABCD，
面PED，PD面PED，面PED。

面PAB，面PAB.
(2)解:平面PED，PE面PED，
连接EF，PED，
为二面角P-AB-F的平面角.
设AD=2，那么PF=FD=1，DE=.
在
即二面角P-AB-F的平面角的余弦值为
解法二:如图连结DE，则DE⊥DC，则可以以D为坐标原点，DE，DC，DP所在直线分别为x、y，z
轴建立空间直角坐标系，设菱形ABCD的长为a，则:，
则P(0，0，)，F(0，0，)，A()，B()，()，
()，(0，，0)
设平面的法向量为，平面的法向量为
，令，可得
，令，可得
显然，二面角P-AB-F的平面角是锐角与大小相等，
即二面角P-AB-F的平面角的余弦值为。