数控系统圆弧数据采样插补算法
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
r = X 2 + Y 2 s s Ys Φs = arctg X s −Φ s Ye Φe = arctg X e Φ = Φ e
式
这 2 种方式的共同特点是误差都只在 1 个 方 向，显然，内接弦方式比切线方式要好得多。故 可 以预见，在割线方式，误差将更小，因为它的误差 分布是在 2 个方向上， 圆弧外和圆弧内。 现选择 “均 差”割线方式（图 3 ） ，即内外最大径向误差相等。 ∵ r － ε＝ (r＋ ε)cos(δ ／ 2) ∴ ε＝ ｒ [1 － cos(δ ／ 2 ） ］ ／ ［ １ ＋ cos （ δ ／ 2） ］ Taylor 展 式 ， 得 ：
2 2 其它起始象限和终止象限，取： m+ 2 4 这样的修正虽然改变了步长， 但对圆弧轨迹 m+ δ= Φ δ= Φ
可见，最大径向误差与圆弧半径 r 成反比， 而 与 逼 近 步 长 l 的 平 方 成 正 比 。 设 r＝ 0.1mm ， 取 不 同 的 l 值 ， 求 得 ε 的 值 如 下 表 1。
δ
r 图 １ 切 线 方 式
ε
2
几种逼近方式的比较
在圆弧插补时，一般可用 3 种方式，即切线
在 切 线 情 形 （ 图 1） ： ∵ r ＝ (r＋ ε )cos(δ ／ 2) ∴ ε ＝ [1 － cos(δ ／ 2 ） ］ ／ cos （ δ ／ 2 ）
方 式 、内 接 弦 方 式 或 割 线 方 式 的 线 段 对 圆 弧 进 行 逼近。 现以δ表示步距角， ε表示径向最大误差，
(2)
比 较 后 2 种 方 式 的 误 差 ， 将 式 （ 1） 展 开 成
略去高阶无穷小，可得： ε ≈ (1 ／ 8) δ rε 将 公 式 （ 2 ） 展 开 成 Taylor 展 式 ， 得 ：
1 δ 2 1 δ 4 ε = r − + ... 4 2 1024 2
Abstract: The arc data interpolation error by of secant, tangent and chord, and the smallest error by secant mode is analyzed in this paper. The relation between the maximum radial error and arc radius and approach step-length in the secant mode of arc data interpolation in CNC system is detailed. The start-step-angle, end-step angle, number of steps for start quadrant and for ending quadrant, and number of steps and step-angle for whole quadrants , in secant “equal-error” interpolation mode, is discussed. The corresponding some basic formulas and the interpolation arithmetic are given in this paper. Key Words: CNC Technique; Arc data interpolation; Secant “equal-error” interpolation mode;
２
(3)
整 数 倍 ， 故 α 一 般 不 为 0。 它 为 余 下 的 不 足 δ ／ 2 的部分。 设 第 i 点 （ i ＝ 1 ～ m＋ 1 ） 的 坐 标 为 (Xi , Yi ) ： Xi ＝ rｉ cos β ｉ Yi ＝ rｉ sin β ｉ
略去高阶无穷小，可得： ε ≈ (1 ／ 16) δ 2 r 法逼近，比内接弦法逼近的径向误差小。 (4) 比 较 式 （ 3 ） 和 式 （ 4） ，可见，用均差割线
在分析数控系统圆弧数据插补割线方式较切线内接弦插补方式误差更小的基础上讨论了数控系统圆弧数据插补割线方式中最大径向误差与圆弧半径和逼近步长的关系
兵工自动化 自动控制技术 Ｏ ． Ｉ ． Ａ ｕ ｔ ｏ ｍ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ 2002 年第 21 卷第 4 期 Auto-Control 2002, Vol. 21, No. 4
② 圆弧只在两个象限内 设：
Φ1 = π − Φs 2 Φ2 = Φe − π 2
求得：
Φ Φ m1 = 1 m2 = 2 δ δ α 1 ＝ φ 1 － m 1 δ α 2 ＝ φ 2 － ｍ 1 δ
将α1 和α2 分别作为起始步距角和终止步距角， m 1、 m 2 分 别 为 起 始 象 限 步 数 和 终 止 象 限 步 数 。
Radial error
1
引言
在数控系统中， 插补是指根据给定的数学函
r 表示圆弧半径，分析如下：
ε
数，诸如线性函数，圆弧函数或高次函数，在理 想的轨迹或轮廓上的已知点之间确定一些中间 点 的 一 种 方 法 。根 据 内 外 “ 均 差 ” 割 线 法 ， 对 圆 弧 函 数 进 行 插 补 ，可 求 出 若 干 逼 近 线 段 以 实 现 圆 弧 插 补 。由 于 逼 近 步 长 是 根 据 圆 弧 半 径 和 给 定 误 差来确定的，故逼近的径向误差将较小。
文 章 编 号 ： 1006 － 1576 （ 2002 ） 04 － 0018 － 04
数控系统圆弧数据采样插补算法
熊俊良 （中国兵器工业第 58 研究所 数控产品事业部，四川 绵阳 621000） 摘要：在分析数控系统圆弧数据插补割线方式较切线、内接弦插补方式误差更小的基础上，讨论了数控 系统圆弧数据插补割线方式中最大径向误差与圆弧半径和逼近步长的关系。并讨论了圆弧分象限“均差”割 线方式插补时，圆弧的起始步距角和终止步距角、起始象限步数和终止限步数；以及在整象限内的步数和步 距角。给出了相应的基本公式和插补算法。 关键词：数控技术；圆弧数据插补；均差割线法；径向误差 中 图 分 类 号 ： O241.3 文献标识码：A
・ 18・
兵工自动化 自动控制技术 Ｏ ． Ｉ ． Ａ ｕ ｔ ｏ ｍ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ 2002 年第 21 卷第 4 期 Auto-Control 2002, Vol. 21, No. 4
The Arithmetic of Arc Data Sampling Interpolation for CNC System
XIONG Jun-liang (Dept. of CNC Products, No. 58 Research Institute of China Ordnance Industries, Miangyang 621000, China)
坐标增量值为： △ Xｉ +1 ＝ Xｉ +1 － Xｉ △ Yｉ +1 ＝ Yi+1 － Yｉ 逼近线的起点和终点仍然分别是圆弧的起 点 和 终 点 。故 逼 近 线 的 第 一 段 和 最 后 一 段 的 计 算 方法和上述的讨论有所不同。一般取：
Φ m= δ (Φ − m δ ) α= 2 π Φ1 = − Φ s 2 π Φ2 = Φe − 2
（ Ｘ ｉ＋ １， Ｙ ｉ＋１）
ε ε
ε
δ
r 图 2 内 接 弦 方 式
δ βｉ
ｒ
（Ｘ ｉ， Ｙ ｉ）
ε
在 内 接 弦 情 形 （ 图 2） ： ∵ r－ ε ＝ rcos(δ ／ 2) ∴ ε ＝ [1 － cos(δ ／ 2 ） ］ ｒ
ε
图4
均差割线方式
(1)
3.1 逼 近 数 据 的 推 算 为讨论方便，不失一般性，首先作一些规定 。 圆 弧 在 X－ Y 平 面 ， 且 圆 心 在 坐 标 原 （ 见 图 4） 点 （ 0， 0） ， 逆 时 针 圆 弧 ， 起 点 在 第 一 象 限 。设 圆 弧 起 点 为 （ Xs， Ys ） ， 终 点 为 （ Xe， Ye ） 。计算 起 始 角 φ s， 终 止 角 φ e， 圆 心 角 φ 。 规 定 角 的 取 值 范 围 均 为 0～ 2π ：
收 稿 日 期 ： 2001 － 09 － 24 ； 修 回 日 期 ： 2001 － 10 － 29 作 者 简 介 ： 熊 俊 良 （ 1941－ ） ， 男 ， 重 庆 人 ， 1967 年 成 都 电 讯 工 程 学 院 研 究 生 毕 业 ， 中 国 兵 器 工 业 第 58 研 究 所 高 级 工 程 师 ， 从 事 数控软件研究。
Ι2 ε= 16 r
将 m0 和 δ 1 分 别 作 为 该 象 限 内 的 步 数 和 步 距角。 对圆弧的起点和终点，前述的算法比较简 单，但并不是最好的算法。在起点和终点，应使 过 该 点 的 逼 近 线 段 与 圆 弧 相 切 。为 此 ， 对 相 应 的 δ进行修正： 圆弧只在一个象限内，取：
③ 圆弧在 3 个以上的象限内 起 始 象 限 和 终 止 象 限 ， 仍 用 类 似 于 式 （ 2） 的算法。对于其余的整象限，则计算：
π m0 = 2δ π δ1 = 2m 0
β 1＝ φ s＋ α 故 ： X1 ＝ r1 cos β 1 Y1 ＝ r1 sin β １ 坐 标 增 量 值 为 ： △ X１ ＝ X１ － Xs △ Y1 ＝ Y１ － Ys 在 终 点 ： △ Xe ＝ Xe － Xm ＋ 1 △ Ye ＝ Ye － Ym ＋ 1 由 误 差 公 式 （ 5） 得 ：
1 δ 2 1 δ 4 ε = r − + ... 4! 2 2! 2
令 逼 近 步 长 为 l， 由 均 差 法 计 算 得 δ 和 线 段 起 （ 终 ） 点 半 径 r1 分 别 为 ： δ ＝ 2arccos[(16r2 － l 2 ) ／ (16r2 ＋ l 2 )] r1 ＝ (16r2 ＋ l 2 ) ／ 16r 径向误差： ε ＝ l 2 ／ 16r 令： m＝ [Φ ／ δ ］ α ＝ （ Φ － mδ ） ／ 2 显 见 ， m 为 插 补 段 数 。一 般 ， φ 并 不 是 δ 的 (5)
在 第 i ＋ 1 点 （ Xi+1 , Yi+1 ） ，令： β i+1 ＝ β ｉ ＋ α 则有： Xi+1 ＝ r1 cos β i+1, Y＝ r1 sin β ｉ +1 。
・ 19・
3
圆弧数据采样插补算法
兵工自动化 自动控制技术 Ｏ ． Ｉ ． Ａ ｕ ｔ ｏ ｍ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ 2002 年第 21 卷第 4 期 Auto-Control 2002, Vol. 21, No. 4
表 1
l (mm) ε (mm) 0.013 1.1 × 10 -4
步长与误差关系表
0.04 0.001 0.13 0.01 0． 4 0.1
从 表 1 可 见 ， 对 于 r＝ 0.1mm ， 在 步 长 低 于 0.04mm 时 ， 径 向 误 差 是 比 较 小 的 。 而 步 长 太 大 时 ， 误 差 就 可 观 了 。因 此 在 设 计 时 ， 应 根 据 运 行 的误差和圆弧半径来确定逼近步长的。 采用分象限插补的办法为以保证在圆弧过 象限时，正好是两逼近线段的交点，分别作如下 的考虑： ① 圆弧只在一个象限内
式
这 2 种方式的共同特点是误差都只在 1 个 方 向，显然，内接弦方式比切线方式要好得多。故 可 以预见，在割线方式，误差将更小，因为它的误差 分布是在 2 个方向上， 圆弧外和圆弧内。 现选择 “均 差”割线方式（图 3 ） ，即内外最大径向误差相等。 ∵ r － ε＝ (r＋ ε)cos(δ ／ 2) ∴ ε＝ ｒ [1 － cos(δ ／ 2 ） ］ ／ ［ １ ＋ cos （ δ ／ 2） ］ Taylor 展 式 ， 得 ：
2 2 其它起始象限和终止象限，取： m+ 2 4 这样的修正虽然改变了步长， 但对圆弧轨迹 m+ δ= Φ δ= Φ
可见，最大径向误差与圆弧半径 r 成反比， 而 与 逼 近 步 长 l 的 平 方 成 正 比 。 设 r＝ 0.1mm ， 取 不 同 的 l 值 ， 求 得 ε 的 值 如 下 表 1。
δ
r 图 １ 切 线 方 式
ε
2
几种逼近方式的比较
在圆弧插补时，一般可用 3 种方式，即切线
在 切 线 情 形 （ 图 1） ： ∵ r ＝ (r＋ ε )cos(δ ／ 2) ∴ ε ＝ [1 － cos(δ ／ 2 ） ］ ／ cos （ δ ／ 2 ）
方 式 、内 接 弦 方 式 或 割 线 方 式 的 线 段 对 圆 弧 进 行 逼近。 现以δ表示步距角， ε表示径向最大误差，
(2)
比 较 后 2 种 方 式 的 误 差 ， 将 式 （ 1） 展 开 成
略去高阶无穷小，可得： ε ≈ (1 ／ 8) δ rε 将 公 式 （ 2 ） 展 开 成 Taylor 展 式 ， 得 ：
1 δ 2 1 δ 4 ε = r − + ... 4 2 1024 2
Abstract: The arc data interpolation error by of secant, tangent and chord, and the smallest error by secant mode is analyzed in this paper. The relation between the maximum radial error and arc radius and approach step-length in the secant mode of arc data interpolation in CNC system is detailed. The start-step-angle, end-step angle, number of steps for start quadrant and for ending quadrant, and number of steps and step-angle for whole quadrants , in secant “equal-error” interpolation mode, is discussed. The corresponding some basic formulas and the interpolation arithmetic are given in this paper. Key Words: CNC Technique; Arc data interpolation; Secant “equal-error” interpolation mode;
２
(3)
整 数 倍 ， 故 α 一 般 不 为 0。 它 为 余 下 的 不 足 δ ／ 2 的部分。 设 第 i 点 （ i ＝ 1 ～ m＋ 1 ） 的 坐 标 为 (Xi , Yi ) ： Xi ＝ rｉ cos β ｉ Yi ＝ rｉ sin β ｉ
略去高阶无穷小，可得： ε ≈ (1 ／ 16) δ 2 r 法逼近，比内接弦法逼近的径向误差小。 (4) 比 较 式 （ 3 ） 和 式 （ 4） ，可见，用均差割线
在分析数控系统圆弧数据插补割线方式较切线内接弦插补方式误差更小的基础上讨论了数控系统圆弧数据插补割线方式中最大径向误差与圆弧半径和逼近步长的关系
兵工自动化 自动控制技术 Ｏ ． Ｉ ． Ａ ｕ ｔ ｏ ｍ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ 2002 年第 21 卷第 4 期 Auto-Control 2002, Vol. 21, No. 4
② 圆弧只在两个象限内 设：
Φ1 = π − Φs 2 Φ2 = Φe − π 2
求得：
Φ Φ m1 = 1 m2 = 2 δ δ α 1 ＝ φ 1 － m 1 δ α 2 ＝ φ 2 － ｍ 1 δ
将α1 和α2 分别作为起始步距角和终止步距角， m 1、 m 2 分 别 为 起 始 象 限 步 数 和 终 止 象 限 步 数 。
Radial error
1
引言
在数控系统中， 插补是指根据给定的数学函
r 表示圆弧半径，分析如下：
ε
数，诸如线性函数，圆弧函数或高次函数，在理 想的轨迹或轮廓上的已知点之间确定一些中间 点 的 一 种 方 法 。根 据 内 外 “ 均 差 ” 割 线 法 ， 对 圆 弧 函 数 进 行 插 补 ，可 求 出 若 干 逼 近 线 段 以 实 现 圆 弧 插 补 。由 于 逼 近 步 长 是 根 据 圆 弧 半 径 和 给 定 误 差来确定的，故逼近的径向误差将较小。
文 章 编 号 ： 1006 － 1576 （ 2002 ） 04 － 0018 － 04
数控系统圆弧数据采样插补算法
熊俊良 （中国兵器工业第 58 研究所 数控产品事业部，四川 绵阳 621000） 摘要：在分析数控系统圆弧数据插补割线方式较切线、内接弦插补方式误差更小的基础上，讨论了数控 系统圆弧数据插补割线方式中最大径向误差与圆弧半径和逼近步长的关系。并讨论了圆弧分象限“均差”割 线方式插补时，圆弧的起始步距角和终止步距角、起始象限步数和终止限步数；以及在整象限内的步数和步 距角。给出了相应的基本公式和插补算法。 关键词：数控技术；圆弧数据插补；均差割线法；径向误差 中 图 分 类 号 ： O241.3 文献标识码：A
・ 18・
兵工自动化 自动控制技术 Ｏ ． Ｉ ． Ａ ｕ ｔ ｏ ｍ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ 2002 年第 21 卷第 4 期 Auto-Control 2002, Vol. 21, No. 4
The Arithmetic of Arc Data Sampling Interpolation for CNC System
XIONG Jun-liang (Dept. of CNC Products, No. 58 Research Institute of China Ordnance Industries, Miangyang 621000, China)
坐标增量值为： △ Xｉ +1 ＝ Xｉ +1 － Xｉ △ Yｉ +1 ＝ Yi+1 － Yｉ 逼近线的起点和终点仍然分别是圆弧的起 点 和 终 点 。故 逼 近 线 的 第 一 段 和 最 后 一 段 的 计 算 方法和上述的讨论有所不同。一般取：
Φ m= δ (Φ − m δ ) α= 2 π Φ1 = − Φ s 2 π Φ2 = Φe − 2
（ Ｘ ｉ＋ １， Ｙ ｉ＋１）
ε ε
ε
δ
r 图 2 内 接 弦 方 式
δ βｉ
ｒ
（Ｘ ｉ， Ｙ ｉ）
ε
在 内 接 弦 情 形 （ 图 2） ： ∵ r－ ε ＝ rcos(δ ／ 2) ∴ ε ＝ [1 － cos(δ ／ 2 ） ］ ｒ
ε
图4
均差割线方式
(1)
3.1 逼 近 数 据 的 推 算 为讨论方便，不失一般性，首先作一些规定 。 圆 弧 在 X－ Y 平 面 ， 且 圆 心 在 坐 标 原 （ 见 图 4） 点 （ 0， 0） ， 逆 时 针 圆 弧 ， 起 点 在 第 一 象 限 。设 圆 弧 起 点 为 （ Xs， Ys ） ， 终 点 为 （ Xe， Ye ） 。计算 起 始 角 φ s， 终 止 角 φ e， 圆 心 角 φ 。 规 定 角 的 取 值 范 围 均 为 0～ 2π ：
收 稿 日 期 ： 2001 － 09 － 24 ； 修 回 日 期 ： 2001 － 10 － 29 作 者 简 介 ： 熊 俊 良 （ 1941－ ） ， 男 ， 重 庆 人 ， 1967 年 成 都 电 讯 工 程 学 院 研 究 生 毕 业 ， 中 国 兵 器 工 业 第 58 研 究 所 高 级 工 程 师 ， 从 事 数控软件研究。
Ι2 ε= 16 r
将 m0 和 δ 1 分 别 作 为 该 象 限 内 的 步 数 和 步 距角。 对圆弧的起点和终点，前述的算法比较简 单，但并不是最好的算法。在起点和终点，应使 过 该 点 的 逼 近 线 段 与 圆 弧 相 切 。为 此 ， 对 相 应 的 δ进行修正： 圆弧只在一个象限内，取：
③ 圆弧在 3 个以上的象限内 起 始 象 限 和 终 止 象 限 ， 仍 用 类 似 于 式 （ 2） 的算法。对于其余的整象限，则计算：
π m0 = 2δ π δ1 = 2m 0
β 1＝ φ s＋ α 故 ： X1 ＝ r1 cos β 1 Y1 ＝ r1 sin β １ 坐 标 增 量 值 为 ： △ X１ ＝ X１ － Xs △ Y1 ＝ Y１ － Ys 在 终 点 ： △ Xe ＝ Xe － Xm ＋ 1 △ Ye ＝ Ye － Ym ＋ 1 由 误 差 公 式 （ 5） 得 ：
1 δ 2 1 δ 4 ε = r − + ... 4! 2 2! 2
令 逼 近 步 长 为 l， 由 均 差 法 计 算 得 δ 和 线 段 起 （ 终 ） 点 半 径 r1 分 别 为 ： δ ＝ 2arccos[(16r2 － l 2 ) ／ (16r2 ＋ l 2 )] r1 ＝ (16r2 ＋ l 2 ) ／ 16r 径向误差： ε ＝ l 2 ／ 16r 令： m＝ [Φ ／ δ ］ α ＝ （ Φ － mδ ） ／ 2 显 见 ， m 为 插 补 段 数 。一 般 ， φ 并 不 是 δ 的 (5)
在 第 i ＋ 1 点 （ Xi+1 , Yi+1 ） ，令： β i+1 ＝ β ｉ ＋ α 则有： Xi+1 ＝ r1 cos β i+1, Y＝ r1 sin β ｉ +1 。
・ 19・
3
圆弧数据采样插补算法
兵工自动化 自动控制技术 Ｏ ． Ｉ ． Ａ ｕ ｔ ｏ ｍ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ 2002 年第 21 卷第 4 期 Auto-Control 2002, Vol. 21, No. 4
表 1
l (mm) ε (mm) 0.013 1.1 × 10 -4
步长与误差关系表
0.04 0.001 0.13 0.01 0． 4 0.1
从 表 1 可 见 ， 对 于 r＝ 0.1mm ， 在 步 长 低 于 0.04mm 时 ， 径 向 误 差 是 比 较 小 的 。 而 步 长 太 大 时 ， 误 差 就 可 观 了 。因 此 在 设 计 时 ， 应 根 据 运 行 的误差和圆弧半径来确定逼近步长的。 采用分象限插补的办法为以保证在圆弧过 象限时，正好是两逼近线段的交点，分别作如下 的考虑： ① 圆弧只在一个象限内