2022年高考数学总复习空间距离（练习+详细解析）大纲人教版

提能拔高限时训练44 空间距离
一、选择题
1α、β是两个平行平面,aα,bβ,a 与b 之间的距离为d 1,α与β之间的距离为d 2,则 =d 2 ＞2 C ＜d 2 ≥d 2 解析:若a 、b 为异面直线时,d 1=d 2,若a∥b 时,d 1≥d 2 答案:D
—A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点,G 为棱A 1B 1上的一点,且A 1G=λ0≤λ≤1,则点G 到平面D 1EF 的距离为
B
2
2 C 32λ D 55
解析:∵A 1B 1∥EF,∴A 1B 1∥平面D 1EF
∴A 1到面D 1EF 的距离等于G 到面D 1EF 的距离 在面A 1ED 1中,作A 1H⊥ED 1,垂足为H ∵面A 1ED 1⊥面D 1EF,∴A 1H⊥面D 1EF 在△A 1ED 1中,2
11251•=•
H A , ∴5
51=H A 答案:D
3
如
图
,
四
棱
锥
221=
=DE d 3
32=d 1C
2322213
32
2=
h 1
C
1
A
a 34a 36
2a 27a 9
3
8a AE 34
=
x ED 33=222)33()34(x a x =-a x 3
62=36
2a 23a 33a 21a 22212
2
a OG PO PG 2222=
-=542
1
2
254
cos =∠FBH 5=BH 42+=x BF 1
2+=x FH 5
4
2cos 222=
•-+=∠BH BF FH BH BF FBH 15
4
5
421542
22=⇒=
•+--++x x x x 2
2=PD 2=PG 2a
a 36a 46a 66a 86a 2
3a a CD DD 4
645cos 2311=⨯=
= a 4
6
a 8
640
cm18
cm
2
19 cm 412
2=+=OD PO PD
故点P 到BC 的距离为41 cm 答案:41 cm
12把长、宽分别为、2的长方形ABCD 沿对角线AC 折成60°的二面角,则顶点B 和D 之间的距离是__________________________________________________ 解析:作DE⊥AC,垂足为E,BF⊥AC,垂足为F
∵AB=,AD=2,
∴3==BF DE ,EF=2
又∵二面角DACB 为60°,DE⊥AC,BF⊥AC, ∴异面直线DE 、BF 所成的角为60° ∴760cos 2222=•-++=
BF DE EF BF DE BD
答案:
13如图,已知点E 是棱长为2的正方体AC 1的棱AA 1的中点,则点A 到平面EBD 的距离等于_________________________________
解析:可求得S △EBD =
设点A 到面EBD 的距离为d, 由V A —EBD =V B —ADE ,得213
1
631⨯⨯=
⨯⨯d , 解得3
6=
d 答案:
3
6 中,AB=2,∠A=120°,沿对角线BD 将△ABD 折起,使二面角ABDC 为120°，则点A 到△BCD 所在
平面的距离等于_______________________________________
解析:如图,△ABD 沿BD 折起,A 到A′点处,连结AC 、BD 交于点O,连结A′O,则∠A′OC 为二面角的平面角
∴∠A′OC=120°故∠A′OA=60° 又12
1
==
='AB AO O A , ∴点A 到面BCD 的距离为2
360sin =
︒•'=O A d 答案:
2
3 三、解答题
—A 1B 1C 1D 1中,AB=4,BC=3,CC 1=2如图
1求证:平面A 1BC 1∥平面ACD 1; 2求1中两个平行平面间的距离
解:1由于BC 1∥AD 1,则BC 1∥平面ACD 1
同理,A 1B∥平面ACD 1,则平面A 1BC 1∥平面ACD 1
2设两平行平面A 1BC 1与ACD 1间的距离为d,则d 等于D 1到平面A 1BC 1的距离 易求A 1C 1=5,A 1B=25,BC 1=13, 则652
cos 11=
∠BC A ,则65
61sin 11=∠BC A ,则S △A1BC1= 由于V D1—A1BC1=V B —A1C1D1, 则
1111)2
1
(313111BB D C AD d S BC A ••••=••∆ 代入求得616112=
d ,即1中两个平行平面间的距离等于61
61
12 16如图,在三棱锥P —ABC 中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC
1求证:PC⊥AB;
2求二面角B-AP-C 的大小; 3理求点C 到平面APB 的距离
解法一:1证明:如图,取AB 中点D,连结PD 、CD
因为AP=BP, 所以PD⊥AB 因为AC=BC, 所以CD⊥AB 因为PD∩CD=D, 所以AB⊥平面PCD
因为PC 平面PCD,所以PC⊥AB 2因为AC=BC,AP=BP, 所以△APC≌△BPC 又PC⊥AC,所以PC⊥BC
又∠ACB=90°,即AC⊥BC,且AC∩PC=C, 所以BC⊥平面PAC
取AP 中点E,连结BE 、CE 因为AB ＝BP,所以BE⊥AP
因为EC 是BE 在平面PAC 内的射影, 所以CE⊥AP
所以∠BEC 是二面角BAPC 的平面角 在△BCE 中,∠BCE=90°,BC=2,623==
AB BE ,所以3
6sin ==∠BE BC BEC 故二面角BAPC 的大小为3
6arcsin 3由1知AB⊥平面PCD,
所以平面APB⊥平面PCD
如图,过C 作CH⊥PD,垂足为H
因为平面APB∩平面PCD=PD, 所以CH⊥平面APB
所以CH 的长即为点C 到平面APB 的距离 由1知PC⊥AB,
又PC⊥AC,且AB∩AC=A, 所以PC⊥平面ABC
因为CD 平面ABC,所以PC⊥CD 在Rt△PCD 中,CD=
2
1
AB=2, 62
3
==
PB PD , 所以222=-=CD PD PC 所以3
3
2=•=
PD CD PC CH
所以点C 到平面APB 的距离为
3
3
2 解法二:1同解法一;
2如图,以C 为原点建立空间直角坐标系C —,则C0,0,0,A0,2,0,B2,0,0 设P0,0,t
因为22||||==AB PB ,
所以t=2,P0,0,2
取AP 中点E,连结BE,CE 因为|AC|=|PC|,|AB|=|BP|, 所以CE⊥AP,BE⊥AP
所以∠BEC 是二面角BAPC 的平面角
因为E0,1,1,
)1,1,0(--=EC , )1,1,2(--=EB ,
所以
33
622|
|||cos =•=•=∠EB EC EB
EC BEC
所以二面角B-A-PC 的大小为3
3
arccos =
3因为AC=BC=PC,所以C 在平面APB 内的射影为正△APB 的中心H,且CH 的长为点C 到平面APB 的距离
如2建立空间直角坐标系C — 因为
HE BH 2=,
所以点H 的坐标为)3
2
,32,
32( 所以
33
2||=BH
所以点C 到平面APB 的距离为
3
3
2 教学参考例题 志鸿优化系列丛书
【例题】如图,在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AA 1=2,AC=BC=1,∠ACB=90°,点E 是AB 的中点,点F 在侧棱BB 1上,且EF⊥CA 1
1求二面角C-A 1F-E 的大小;
2求点E 到平面CA 1F 的距离
解法一:1过E 作EG⊥FA 1,垂足为G,连结CG
在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,平面A 1B⊥平面ABC, 又AC=BC,E 为AB 中点, ∴CE⊥AB
∴CE⊥平面A 1B ∴CG⊥A 1F
∴∠CGE 为二面角C-A 1F-E 的平面角 又∵CE⊥平面A 1B, ∴CE⊥EF
而EF⊥平面CA 1, ∴EF⊥平面A 1CE ∴EF⊥A 1E
∴△A 1AE∽△EBF
∴4
1
22222
1=⨯=•=BE AA AE BF 在Rt△A 1AE 中,2
2
3)22(
2222211=
+=+=
AE A A E A , 在Rt△EBF 中,4
3)41()22(
2222=+=+=BF BE EF , ∴49
2211=
+=
EF E A F A ∴224
943
2
2311=⨯
=•=F A EF E A EG 又2
2=
CE , ∴1tan ==
∠EG
EC
CGE
∴∠CGE=45°,即二面角CA 1FE 的大小为45°
2设顶点E 到平面A 1CF 的距离为d,由1知CG=1,CE⊥平面A 1B,A 1F⊥EF,V E-A1CF =V C-A1EF , ∴d F A CG EF E A CE •••⨯=••
112
1
312131 ∴d •⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯9
41213143223212231 ∴21
=
d ,即点E 到平面CA 1F 的距离为2
1 解法二:1如图,分别以CA 、CB 、CC 1为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,并设BF=,则
C0,0,0,A1,0,0,B0,1,0,)0,2
1
,21(E ,F0,1,,A 1
1,0,2,则
),21
,21(x EF -=, )2,0,1(1=CA ,
∵EF⊥CA 1,则01=•CA EF ,
∴02021121=+⨯+⨯-
x ,4
1
=x ∴)4
1
,1,0(F
设向量n =,,为平面A 1CF 的法向量,则
01=•CA n ,0=•CF n
又)2,0,1(1=CA ,)4
1
,1,0(=CF ,
∴⎪⎩
⎪⎨⎧=+=+,041,02y z x 令=2,则=-1,41=y ∴)1,4
1,2(-=n 由题意CA=CB,E 为AB 的中点,
∴CE⊥AB
又三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱，
∴CE⊥平面A 1EF ∵)0,2
1,21(=CE 为平面A 1EF 的法向量,
∴222
24989,cos =⨯=•>=<CE n CE n ∴︒>=<45,CE n
∴二面角C-A 1F-E 的大小为45°
2向量CE 在平面CA 1
F 的法向量n 上的射影的长为
214989
||||==•=n n CE d , 向量CE 在平面A 1CF 的法向量n 上的射影长即为点E 到平面A 1CF 的距离 ∴点E 到平面A 1CF 的距离为21。