高三年级第三次四校联考.docx

高中数学学习材料
马鸣风萧萧*整理制作
2016届高三年级第三次四校联考
数学（理）试题
命题：临汾一中 忻州一中 长治二中 康杰中学
【满分150分，考试时间为120分钟】
一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号) 1.已知集合{}
2,0x M y y x ==>，{}lg N x y x ==，则M
N 为
A. (0,)+∞
B. (1,)+∞
C. [2,)+∞
D. [1,)+∞ 2．复数1
i z i
+=
，则||z = A. 1 B.1+i - C.2 D.1i -
3.中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领
导人所站的位置不做要求，那么不同的站法共有
A. 1818A 种
B. 20
20A 种 C.101031823A A A 种 D. 18
1822A A 种
4．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出S 的值为 A ．4 B ．8 C ．10
D ．12
5.等比数列{}n a 中，5,274==a a ，则数列{}n a lg 的前10项和等于 A. 2 B. lg50 C. 5 D. 10
6.若非零向量,a b 满足22
3
a b =
，且()(32)a b a b -⊥+，则a 与b 的夹角为
A. π B .
2
π
C.
34π D. 4
π 7．定义22⨯矩阵12142334=a a a a a a a a ⎡⎤
-⎢⎥⎦⎣，若22cos sin 3()cos(2)12
x x
f x x π⎡⎤
-⎢⎥=⎢⎥+⎢⎥⎣⎦
，则()f x A. 图象关于(),0π中心对称 B. 图象关于直线2
x π
=对称
C.在区间[,0]6
π
-
上单调递增 D. 周期为π的奇函数
8. 设函数()sin cos f x x x x =+的图像在点(,())t f t 处切线的斜率为k ，则函数
()k g t =的图像为
A B C D
9.不等式组2204x y -≤≤⎧⎨
≤≤⎩表示的点集记为M ，不等式组2
20
x y y x
-+≥⎧⎨≥⎩表示的点集记为N ，在M 中任取一点P ，则P ∈N 的概率为 A. 916 B. 716 C. 732 D. 932
10．已知一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 A.7 B .1
73 C. 2
7
3
D.8 11. 已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左、右两个焦点分别为
B A F F ,,,21为其左、右顶点，以线段21F F 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交
点为M ，且
30=∠MAB ,则双曲线的离心率为 A.
2
21
B . 321
C. 319
D. 2
19 12.已知函数),0(ln )(2
R b a x bx ax x f ∈>-+=,若对任意0>x ，)1()(f x f ≥，则 A.b a 2ln -< B . b a 2ln -≤ C. b a 2ln -> D. b a 2ln -≥ 二、填空题:（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

）
13．已知随机变量X 服从正态分布X ～N (2，σ2
), P (X <4)＝0.84, 则P (X ≤0)的值
俯视图
侧视图
正视图
2
1
1
2
1
为 ．
14.若2
6()b ax x
+的展开式中3x 项的系数为20，则22
a b +的最小值为________． 15. 已知在ABC ∆ 中，2,B A ACB =∠ 的平分线CD 把三角形分成面积比为4:3的两部分，则cos A = .
16.一个空心球玩具里面设计一个棱长为4的内接正四面体，过正四面体上某一个顶点所在的三条棱的中点作球的截面，则该截面圆的面积是 ．
三、解答题: （本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。

） 17. （本小题满分12分）
在等差数列}{n a 中，11,552==a a ，数列}{n b 的前n 项和n n a n S +=2
.
（Ⅰ）求数列}{n a ，}{n b 的通项公式; （Ⅱ）求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
+11n n b b 的前n 项和n T ．
18.（本小题满分12分）
现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34
，命中得1分，没有命
中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23
，每命中一次得2分，没有命中得0分．该
射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．
（Ⅰ）求该射手恰好命中一次的概率；
（Ⅱ）求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX ．
19.（本小题满分12分）
如图,三棱柱ABC-A 1B 1C 1所有的棱长均为2,B 1在底面上的射影D 在棱长BC 上,且A 1B ∥平面ADC 1。

（Ⅰ）求证：平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1；
（Ⅱ）求平面ADC 1与平面A 1AB 所成角的正弦值．
20. （本小题满分12分）
已知F （
2
1，0）为抛物线px y 22
=（p ＞0）的焦点，点N （0x ，0y ）（0y ＞0）为其上一点，点M 与点N 关于x 轴对称，直线l 与抛物线交于异于M ，N 的A ，B 两点，且|NF|=2
5
，
2-=⋅NB NA k k 。

（Ⅰ）求抛物线方程和N 点坐标； （Ⅱ）判断直线l 中，是否存在使得MAB ∆面积最小的直线'l ，若存在，求出直线'l 的方程和MAB ∆面积的最小值；若不存在，说明理由．
21.（本小题满分12分）
已知函数1()ln ,()()a
f x x a x
g x a R x
+=-=-
∈ . （Ⅰ）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；
（Ⅱ）若不等式()f x ≤()g x 在区间[1，e]（e=2.71828…）的解集为非空集合，求实数a 的取值范围 .
选做题: 请考生从第22、23、24三题中任选一题作答。

注意：只能做所选定的题目。

如果多做，则按所做的第一个题目计分.做答时请写清题号。

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，AB 为圆O 的直径，BE 为圆O 的切线，点C 为圆O 上不同于A 、B 的一点，AD 为∠BAC 的平分线，且分别与BC 交于H ，与圆O 交于D ，与BE 交于E ，连结BD 、CD ．
（Ⅰ）求证：BD 平分∠CBE ; （Ⅱ）求证：HC AE BH AH ⋅=⋅.
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为32cos 42sin x y θ
θ
=+⎧⎨
=-+⎩（θ为参数）.
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程； （Ⅱ）已知)2,0(),0,2(B A -，圆C 上任意一点),(y x M ，求∆ABM 面积的最大值．
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数0,4)(>+-=a x a x x f .
（Ⅰ）当2=a 时，求不等式12)(+≥x x f 的解集；
（Ⅱ）若),2(+∞-∈x 时，恒有37)2(2
-+≥a x x f ，求实数a 的取值范围．
2016届高三年级第三次四校联考
数学（理）试题答案
命题：临汾一中 忻州一中 长治二中 康杰中学
1-5 BCDBC 6-10 DCBDA 11-12 BA 13.0.16 14.2
15.
23 16．163
π
17. 解：（1）设等差数列}{n a 的首项为1a ，公差为d ，则⎩⎨⎧=+==+=1145
15
12d a a d a a
∴⎩⎨
⎧==2
3
1d a ∴122)1(3+=⨯-+=n n a n …………（3分）
∴数列}{n b 的前n 项和122++=n n S n
当n=1时，411==S b ，
当n ≥2时，[]
121)1(2)1()12(2
21+=+-+--++=-=-n n n n n S S b n n n ，对1b =4不
成立，
所以，数列}{n b 的通项公式为⎩
⎨
⎧≥+==)2(,12)
1(,4n n n b n …………（6分）
（2）n=1时，20
1
1211==
b b T ， n ≥2时，)3
21
121(21)32)(12(111+-+=++=+n n n n b b n n ， 所以
)
32(201615101201)32151(21201)32112191717151(21201+-=+-+=+-+=+-+++-+-+=
n n n n n n n T n n=1仍然适合上式， …………（10分） 综上，)32(201615101201+-=+-+=n n n n T n ………… （12分）
18. 解：（Ⅰ）记“该射手恰好命中一次”为事件A ；“该射手设计甲靶命中”为事件B ；
“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C ；“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D ．---------2分
由题意知，3()4P B =，2()()3
P C P D ==，
由于A BCD BCD BCD =++，根据事件的独立性与互斥性得
()()()()()P A P BCD BCD BCD P BCD P BCD P BCD =++=++
333222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)433433433=⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯736
=---------4分 （Ⅱ）根据题意，X 的所以可能取值为0,1,2,3,4,5． 根据事件的独立性和互斥性得
3221(0)()(1)(1)(1)43336
P X P BCD ===-⨯-⨯-=，
3221(1)()(1)(1)43312
P X P BCD ===⨯-⨯-=，
3221(2)()()(1)(1)24339P X P BCD P BCD ==+=-⨯⨯-⨯=，
3221(3)()()(1)24333P X P BCD P BCD ==+=⨯⨯-⨯= 3221(4)()(1)4339P X P BCD ===-⨯⨯=
3221(5)()4333
P X P BCD ===⨯⨯=---------9分
故X 的分布列为
X
1
2
3
4
5
P
136 112
19 13 19 13
所以1111114101234536
12
9
3
9
312
EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．---------12
分
19. （1）连接A 1C 交AC 1于点O,连接OD,则平面A 1BC ∩平面ADC 1=OD 。

（2分） ∵A 1B ∥平面ADC 1,∴A 1B ∥OD,又为O 为A 1C 的中点。

∴D 为BC 的中点,则AD ⊥BC 。

又B 1D ⊥平面ABC,∴AD ⊥B 1D ，BC ∩B 1D=D 。

∴AD ⊥平面BCC 1B 1。

又AD ⊂平面ADC 1,从而平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1。

（6分）
（2）以D 为坐标原点,DC,DA,DB 1所在的直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间
直角坐标系,则D （0,0,0）,B （-1,0,0）,A （0,3,0），B 1（0,0,3），C 1（2,0,3）（7分）
易知→BA =（1,3,0）,1→
BB （1,0,3）,设平面A 1AB 的一个法向量为→m =（x,y,z ）。

则⎪⎩⎪⎨⎧=→⋅→=→⋅→0
01m BB m BA ,即⎩⎨⎧=+=+0303z x y x ,取x=-3,则→m =（-3,1,1）。

（9分） 易知→DA =（0,3,0），→1DC =（2,0,3），同理可得平面ADC 1的一个法向量为→n =
（-3,0,2）。

∴cos<→m ,→n >=|
|||→→→
⋅→n m n m =755⨯=735。

那么平面ADC 1与平面A 1AB 所成角的正弦值为
7
14。

（12分） 20. （1）由题意
2
1
2=p ，则1=p ， 故抛物线方程为x y 22
=。

由|NF|=2
520=+p x ，则4,22
00==y x 。

∵00＞y ，
∴20=y ，
所以N （2,2）。

（4分） （2）由题意知直线的斜率不为0，则可设直线l 的方程为b ty x +=。

联立方程组⎩⎨⎧+==b
ty x x y 22，得0222=--b ty y 。

设两个交点A （22
1y ，1y ），B （2
2
2y
，2y ）（1y ≠±2，2y ≠±2），则
⎪⎩⎪
⎨⎧-==++=∆.2,2,
0842
1212b y y t y y b t ＞ （6分） 由2)2)(2(4
2
222222
12
22211-=++=--⋅--=
⋅y y y y y y k k NB NA ，整理得 32+=t b 。

（8分）
此时，0)64(42
＞++=∆t t 恒成立。

故直线l 的方程可化为)2(3+=-y t x ，从而直线l 过定点E （3，-2）。

（9分）
因为M （2，-2），
所以M,E 所在直线平行x 轴， 所以△MAB 的面积2)2(642
1
2221++=++=-=
t t t y y ME S 当t=-2时有最小值为2，此时直线'l 的方程为012=++y x 。

（12分）
解法二：（2）当l 的斜率不存在时，:2l x =（舍） 或3x =，此时△MAB 的面积6s =
当斜率存在时，设:l y kx b =+ ---------------------------6分
2222
2(22)0y x k x kb x b y kx b
⎧=⇒+-+=⎨=+⎩ ，212122
222,kb b x x x x k k -+== 121222,b
y y y y k k +=
=
121222
222
NA
NB
y y k
k x x --⋅=⋅=---
得226(52)4032
k b k b b k +-+-=⇒=--或
22b k =--舍-----------9分
点M 到直线的距离21k
d k
=+ ，22222211221164k kb k k k
AB k k +⋅-+⋅++== 222
164114
622k k S AB d k k k
++=⋅==++≥----------------------------------11分 综上，所以△MAB 的面积最小值为2，此时1
2
k =-
直线'l 的方程为012=++y x --------------------12分 21. (1)1()ln a
h x x a x x
+=-+
,定义域为（0，+∞）， []2222
(1)(1)1(1)()1x x a a a x ax a h x x x x x +-++--+'=--== ……………………2分
①当10,a +> 即1a >- 时，令()0h x '> ，
0,1,x x a >∴>+
令()0h x '< ，得01,x a <<+ 故()h x 在(0,1)a +上单调递减，在(1,)a ++∞ 上单调递增 ……………………3分 ②当10,a +≤ 即1a ≤- 时，()0h x '>恒成立，()h x 在（0，+∞）上单调递增。

……………………4分
综上，当1a >-时，()h x 的单调递减区间为(0,1)a +，单调递增区间为(1,)a ++∞。

当1a ≤-时，()h x 的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间。

……………………5分
（2）由题意可知，不等式()f x ≤()g x 在区间[1，e]（e=2.71828…）的解集为非空集合， 即在[1，e]存在0x 使得00()()f x g x ≤ 成立，
由（1）中()()()h x f x g x =-，则在[1，e]存在0x 使得000()()()0h x f x g x =-≤ 即函数1()ln a
h x x a x x
+=-+
在[1，e]上的最小值min ()0h x ≤ ……………………6分 由（1）知，当1a ≤-时，()h x 在[1，e]上单调递增，
min ()(1)20,2h x h a a ∴==+≤∴≤- 7分
当1a >-时
①当1,a e +≥ 即1a e ≥- 时，()h x 在[1，e]上单调递减，
2min
11
()()0,,1
a e h x h e e a a e e ++∴==+-≤∴≥-
2211
1,;11
e e e a e e ++>-∴≥-- ……………………9分
②当011,a <+≤即10a -<≤ 时，()h x 在[1，e]上单调递增，
min ()(1)20,2
h x h a a ∴==+≤∴≤-,无
解 ……………………10分
③当11,a e <+<即01a e <<- 时，()h x 在[1,1)a +上单调递减，在
[]1,a e + 上单调递增 min ()(1)2ln(1),
h x h a a a a ∴=+=+-+此时
min ()0h x > ，不合题意。

……………………11分
综上可得，实数a 的取值范围是21
1
e a e +≥- 或2a ≤- ……………………12分
22. 证明：（I ）由弦切角定理得到∠DBE=∠DAB ，又∠DBC=∠DAC ，∠DAB=∠DAC ，所以∠DBE=∠DBC ，即BD 平分∠CBE. …………（5分）
(2) 由（1）可知BE=BH ，所以BE AH BH AH ⋅=⋅，因为∠DAB=∠DAC ，∠ACB=∠ABE ，所以△AHC ∽△AEB ， 所以BE
HC
AE AH =
，即HC AE BE AH ⋅=⋅，即HC AE BH AH ⋅=⋅. ……（10分）
（命题立意）本题考查弦切角定义，弦切角定理，以及相似三角形的判定定理及性质定理. （讲评价值）1. 熟悉弦切角定理，并能利用定理找出与其相等的角; 2. 熟悉相似三角形的判定定理及性质定理.
（解题思路）1. 利用弦切角定理找出与其相等的角，并进行相等角间转化; 2. 利用相似三角形的判定定理判定△AHC ∽△AEB; 3. 利用相似三角形对应边成比例，证明有关问题. （易错点）1. 与弦切角相等的角找不对;
2. 相似三角形的对应边找不对.
（试题变式）在本例条件下，试证明BH CD DH AB ⋅=⋅
23. （1）圆C 的参数方程为32cos 42sin x y θ
θ
=+⎧⎨
=-+⎩（θ为参数），∴圆C 的普通方程为
22(3)(4)4x y -++=，所以圆C 的极坐标方程为26cos 8sin 210ρρθρθ-++=
5分
（2）法一：求直线AB 方程为20x y -+= ||22AB =
，圆上的点到直线的最大距离
为92
22
+，ABM 的面积最大
值
为
922+
10分
法二：易求直线AB 方程为20x y -+= ||22AB =
点M(x, y )到直线AB ：20x y -+=的距离为
|2||32cos (42sin )2|22x y d θθ-++--++=
=
|2c o s 2s i n
9|
2θθ-
+=
∆ABM 的面积1|||2cos 2sin 9||22sin()9|24
S AB d π
θθθ=
=-+=-+ ∴ ABM 的面积最大值为922+.
24. （1）12)(+≥x x f ，即122+-≥-x x ，即⎩⎨⎧≥-+-≥-02122x x x 或⎩
⎨⎧<-+-≥-021
22x x x ，解
得{}
1-≥x x . …………（5分） （2）37)2(2
-+≥a x x f 可化为37)2(2
-≥-a x x f ，令x x f x F 7)2()(-=，
因为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
<-≥-=+-=-=)2()2
(327)2()(a x x a a x a x x a x x x f x F ，由于a >0，),2(+∞-∈x ，
所以当2a x =
时，)(x F 有最小值2)2(a a F =，若使原命题成立，只需32
2-≥a a
，解得(]2,0∈a . …………（10分）
2016届高三年级第三次四校联考
数学（理）试题答案
命题：临汾一中 忻州一中 长治二中 康杰中学
1-5 BCDBC 6-10 DCBDA 11-12 BA 13.0.16 14.2
15.
23 16．163
π
17. 解：（1）设等差数列}{n a 的首项为1a ，公差为d ，则⎩⎨
⎧=+==+=1145
15
12d a a d a a
∴⎩⎨⎧==2
3
1d a ∴122)1(3+=⨯-+=n n a n …………（3分） ∴数列}{n b 的前n 项和122++=n n S n
当n=1时，411==S b ，
当n ≥2时，[]
121)1(2)1()12(2
21+=+-+--++=-=-n n n n n S S b n n n ，对1b =4不
成立，
所以，数列}{n b 的通项公式为⎩
⎨
⎧≥+==)2(,12)
1(,4n n n b n …………（6分）
（2）n=1时，20
1
1211==
b b T ， n ≥2时，)3
21
121(21)32)(12(111+-+=++=+n n n n b b n n ， 所以
)
32(201615101201)32151(21201)32112191717151(21201+-=+-+=+-+=+-+++-+-+=
n n n n n n n T n n=1仍然适合上式， …………（10分） 综上，)32(201615101201+-=+-+=n n n n T n ………… （12分）
18. 解：（Ⅰ）记“该射手恰好命中一次”为事件A ；“该射手设计甲靶命中”为事件B ；
“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C ；“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D ．---------2分
由题意知，3()4P B =，2()()3
P C P D ==，
由于A BCD BCD BCD =++，根据事件的独立性与互斥性得
()()()()()P A P BCD BCD BCD P BCD P BCD P BCD =++=++
333222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)433433433=⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯736
=---------4分 （Ⅱ）根据题意，X 的所以可能取值为0,1,2,3,4,5． 根据事件的独立性和互斥性得
3221(0)()(1)(1)(1)43336
P X P BCD ===-⨯-⨯-=，
3221(1)()(1)(1)43312
P X P BCD ===⨯-⨯-=，
3221(2)()()(1)(1)24339P X P BCD P BCD ==+=-⨯⨯-⨯=，
3221(3)()()(1)24333P X P BCD P BCD ==+=⨯⨯-⨯= 3221(4)()(1)4339P X P BCD ===-⨯⨯=
3221(5)()4333
P X P BCD ===⨯⨯=---------9分
故X 的分布列为
X 0 1 2 3 4 5
P
136 112
19 13
19 13
所以1111114101234536
12
9
3
9
3
12
EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．---------12
分
19. （1）连接A 1C 交AC 1于点O,连接OD,则平面A 1BC ∩平面ADC 1=OD 。

（2分） ∵A 1B ∥平面ADC 1,∴A 1B ∥OD,又为O 为A 1C 的中点。

∴D 为BC 的中点,则AD ⊥BC 。

又B 1D ⊥平面ABC,∴AD ⊥B 1D ，BC ∩B 1D=D 。

∴AD ⊥平面BCC 1B 1。

又AD ⊂平面ADC 1,从而平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1。

（6分）
（3）以D 为坐标原点,DC,DA,DB 1所在的直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间
直角坐标系,则D （0,0,0）,B （-1,0,0）,A （0,3,0），B 1（0,0,3），C 1（2,0,3）（7分）
易知→
BA =（1,3,0）,1→BB （1,0,3）,设平面A 1AB 的一个法向量为→m =（x,y,z ）。

则⎪⎩⎪⎨⎧=→⋅→=→⋅→001m BB m BA ,即⎩⎨⎧=+=+0303z x y x ,取x=-3,则→m =（-3,1,1）。

（9分） 易知→DA =（0,3,0），→1DC =（2,0,3），同理可得平面ADC 1的一个法向量为→n =
（-3,0,2）。

∴cos<→m ,→n >=|
|||→→→
⋅→n m n m =755⨯=735。

那么平面ADC 1与平面A 1AB 所成角的正弦值为
7
14。

（12分） 20. （1）由题意
2
1
2=p ，则1=p ， 故抛物线方程为x y 22
=。

由|NF|=2
520=+p x ，则4,22
00==y x 。

∵00＞y ，
∴20=y ，
所以N （2,2）。

（4分） （3）由题意知直线的斜率不为0，则可设直线l 的方程为b ty x +=。

联立方程组⎩⎨⎧+==b
ty x x y 22，得0222=--b ty y 。

设两个交点A （22
1y ，1y ），B （2
2
2y
，2y ）（1y ≠±2，2y ≠±2），则
⎪⎩⎪
⎨⎧-==++=∆.2,2,
0842
1212b y y t y y b t ＞ （6分） 由2)2)(2(4
2
222222
12
22211-=++=--⋅--=
⋅y y y y y y k k NB NA ，整理得 32+=t b 。

（8分）
此时，0)64(42
＞++=∆t t 恒成立。

故直线l 的方程可化为)2(3+=-y t x ，从而直线l 过定点E （3，-2）。

（9分） 因为M （2，-2），
所以M,E 所在直线平行x 轴， 所以△MAB 的面积2)2(642
1
2221++=++=-=
t t t y y ME S 当t=-2时有最小值为2，此时直线'l 的方程为012=++y x 。

（12分）
解法二：（2）当l 的斜率不存在时，:2l x =（舍） 或3x =，此时△MAB 的面积6s =
当斜率存在时，设:l y kx b =+ ---------------------------6分
2222
2(22)0y x k x kb x b y kx b ⎧=⇒+-+=⎨=+⎩ ，212122
222,kb b x x x x k k -+== 121222,b
y y y y k k
+=
= 1
21222222NA NB y y k k x x --⋅=⋅=---
得22
6(52)4032k b k b b k +-+-=⇒=--或22
b k =--舍-----------9分
点M 到直线的距离21k
d k
=+ ，22222211221164k kb k k k
AB k k +⋅-+⋅++== 222
164114
622k k S AB d k k k
++=⋅==++≥----------------------------------11分 综上，所以△MAB 的面积最小值为2，此时1
2
k =-
直线'l 的方程为012=++y x --------------------12分 21. (1)1()ln a
h x x a x x
+=-+
,定义域为（0，+∞）， []2222
(1)(1)1(1)()1x x a a a x ax a h x x x x x +-++--+'=--== ……………………2分
①当10,a +> 即1a >- 时，令()0h x '> ，
0,1,x x a >∴>+
令()0h x '< ，得01,x a <<+ 故()h x 在(0,1)a +上单调递减，在(1,)a ++∞ 上单调递增 ……………………3分 ②当10,a +≤ 即1a ≤- 时，()0h x '>恒成立，()h x 在（0，+∞）上单调递增。

……………………4分
综上，当1a >-时，()h x 的单调递减区间为(0,1)a +，单调递增区间为(1,)a ++∞。

当1a ≤-时，()h x 的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间。

……………………5分
（2）由题意可知，不等式()f x ≤()g x 在区间[1，e]（e=2.71828…）的解集为非空集合， 即在[1，e]存在0x 使得00()()f x g x ≤ 成立，
由（1）中()()()h x f x g x =-，则在[1，e]存在0x 使得000()()()0h x f x g x =-≤ 即函数1()ln a
h x x a x x
+=-+
在[1，e]上的最小值min ()0h x ≤ ……………………6分 由（1）知，当1a ≤-时，()h x 在[1，e]上单调递增，
min ()(1)20,2h x h a a ∴==+≤∴≤- 7分
当1a >-时
①当1,a e +≥ 即1a e ≥- 时，()h x 在[1，e]上单调递减，
2min
11
()()0,,1
a e h x h e e a a e e ++∴==+-≤∴≥-
2211
1,;11
e e e a e e ++>-∴≥-- ……………………9分
②当011,a <+≤即10a -<≤ 时，()h x 在[1，e]上单调递增，
min ()(1)20,2
h x h a a ∴==+≤∴≤-,无
解 ……………………10分
③当11,a e <+<即01a e <<- 时，()h x 在[1,1)a +上单调递减，在
[]1,a e + 上单调递增 min ()(1)2ln(1),
h x h a a a a ∴=+=+-+此时
min ()0h x > ，不合题意。

……………………11分
综上可得，实数a 的取值范围是21
1
e a e +≥- 或2a ≤- ……………………12分
22. 证明：（I ）由弦切角定理得到∠DBE=∠DAB ，又∠DBC=∠DAC ，∠DAB=∠DAC ，所以∠DBE=∠DBC ，即BD 平分∠CBE. …………（5分）
(2) 由（1）可知BE=BH ，所以BE AH BH AH ⋅=⋅，因为∠DAB=∠DAC ，∠ACB=∠ABE ，所以△AHC ∽△AEB ， 所以BE
HC
AE AH =
，即HC AE BE AH ⋅=⋅，即HC AE BH AH ⋅=⋅. ……（10分）
（命题立意）本题考查弦切角定义，弦切角定理，以及相似三角形的判定定理及性质定理. （讲评价值）1. 熟悉弦切角定理，并能利用定理找出与其相等的角; 2. 熟悉相似三角形的判定定理及性质定理.
（解题思路）1. 利用弦切角定理找出与其相等的角，并进行相等角间转化; 2. 利用相似三角形的判定定理判定△AHC ∽△AEB; 3. 利用相似三角形对应边成比例，证明有关问题. （易错点）1. 与弦切角相等的角找不对;
2. 相似三角形的对应边找不对.
（试题变式）在本例条件下，试证明BH CD DH AB ⋅=⋅
23. （1）圆C 的参数方程为32cos 42sin x y θ
θ
=+⎧⎨
=-+⎩（θ为参数），∴圆C 的普通方程为
22(3)(4)4x y -++=，所以圆C 的极坐标方程为26cos 8sin 210ρρθρθ-++=
5分
（2）法一：求直线AB 方程为20x y -+= ||22AB =
，圆上的点到直线的最大距离
为92
22
+，ABM 的面积最大
值
为
922+
10分
法二：易求直线AB 方程为20x y -+= ||22AB =
点M(x, y )到直线AB ：20x y -+=的距离为
|2||32cos (42sin )2|22x y d θθ-++--++=
=
|2c o s 2s i n
9|
2θθ-
+=
∆ABM 的面积1|||2cos 2sin 9||22sin()9|24
S AB d π
θθθ=
=-+=-+ ∴ ABM 的面积最大值为922+.
24. （1）12)(+≥x x f ，即122+-≥-x x ，即⎩⎨⎧≥-+-≥-02122x x x 或⎩
⎨⎧<-+-≥-021
22x x x ，解
得{}
1-≥x x . …………（5分） （2）37)2(2
-+≥a x x f 可化为37)2(2
-≥-a x x f ，令x x f x F 7)2()(-=，
因为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
<-≥-=+-=-=)2()2
(327)2()(a x x a a x a x x a x x x f x F ，由于a >0，),2(+∞-∈x ，
马鸣风萧萧 所以当2a x =时，)(x F 有最小值2)2(a a F =，若使原命题成立，只需32
2-≥a a ，解得(]2,0∈a . …………（10分）。