原创1：第2课时 补集及综合应用（导学式）

规律总结：在补集的交并运算中，下述性质常常用到：
∁U(A∪B)=(∁UA )∩(∁UB )
∁U(A∩B)=(∁UA )∪(∁UB )
变式训练：
[变式2]已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－
3≤x≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)．
[解析] 如图，∵A＝{x|－2＜x＜3}，



所以满足题意的实数a的取值范围是{a|a≥ 且a=0}.

题后反思
规律总结：补集思想实质上利用了性质“∁U(∁UA)＝A”解题，也可
称之为“正难则反”的一种解题策略，当某一问题从正面解决比较
困难时，此时如果从反面入手，可能“柳暗花明”，为解题带来突
破.
课堂练习
1．(2013·重庆)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，
说明：全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念，它含有与所
研究问题有关的各个集合的全部元素.因此全集因问题而异.
探究点2
补集及其相关概念
问题3：考察下面三个集合
U＝{高一年级的同学}
A＝{高一年级参加军训的同学}
U
B
A
B＝{高一年级没有参加军训的同学}
这三个集合之间有何关系？
提示：由所有属于集合U但不属于集合A的元素组成的集合就是集合B．
则 U(A∪B)＝(
A．{1,3,4}
)
B．{3,4}
C．{3}
D．{4}
[解析]
A∪B＝{1,2,3}， U(A∪B)＝{4}，故选D.
[答案]
D
课堂练习
2．设全集U＝{a，b，c，d}，集合A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，则
( UA)∩B＝________.
[解析]
由已知， UA＝{c，d}，故( UA)∩B＝{c，d}．
S
A
提示：{| ∈ 且 ∉ ሽ
像这样的集合也正是我们这节课所要关注研究的——全集与补集.
探究点1
全集的概念
问题1：方程(x−2)(x2−3)=0在有理数范围内的解集是什么？在实数范
围内的解集是什么？
有理数范围：{2}
实数范围： , , −
问题2：不等式0<x−1≤3在实数范围内的解集是什么？在整数范围内
又 UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．
方法二：借助Venn图，如图所示，
由图可知B＝{2,3,5,7}．
U
4
B
A
5
1 3 72
6
典例精讲：题型二：集合交、并、补的综合运算
[例2]已知全集U={1，2，3，4，5，6，7} ，集合A＝{2,4,5}， B＝{1，
3，5，7}， 求A∪B，A∩B， UA， UB， U(A∪B)， U(A∩B).
变式训练：
[变式1]已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}， UA＝{2,4,6}， UB＝{1,4,6}，求
集合B.
[思路探索] 先根据性质A ∪ ሺ UA) = U求出全集U，再根据B的补集求出B.
[解析] 方法一：A＝{1,3,5,7}，UA＝{2,4,6}，
∴U＝A ∪ ሺ UA) ={1,2,3,4,5,6,7}，
[解析] A∪B={1,2,3,4,5,7} ，A∩B={5}.
UA ={1,3,6,7}，
U(A∪B)
UB={2 ， 4 ， 6} ，
U
2
={6}，
B
A
4
5
1
3
7
6
U(A∩B)={1，2，3，4，6，7}.
[性质]
U(A∪B)=( UA )∩( UB
)
U(A∩B)=( UA )∪( UB
)
题后反思
补集的运算性质：若全集为U，AU，则:
ሺ1)∁ = ∅
ሺ2)∁ ∅ = U
ሺ3)∁ ሺ∁ ) = A
ሺ4) ∪ ሺ∁ ) = U
ሺ5) ∩ ሺ∁ ) = ∅
6)∁ ሺ ∩ ) = ሺ∁ ) ∪ ሺ∁
7)∁ ሺ ∪ ) = ሺ∁ ) ∩ ሺ∁
的解集是什么？
实数范围： | < ≤
整数范围: {2，3，4}
结论：在不同范围内研究同一个问题，可能有不同的结果.我们通常把研
究问题前给定的范围所对应的集合称为全集，如Q，R，Z等.
探究点1
全集的概念
全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元
素，那么就称这个集合为全集（universe set），通常记作U.
[答案]
{c，d}
课堂练习
3．设全集U＝{2,4a,－(a－3)2}，集合A＝{2，a2－a＋2}，若 UA＝{－1}，
求实数a的值．
− ∈ U,
[解析] 由 UA＝{－1}，可得ቊ
− ∉ A，
− − = −，
所以ቊ
解得a＝4或a＝2.
− + ≠ −，
当a＝4时，A＝{2,14}，不满足A⊆U，故舍去．
(3) 全集U＝{x|0<x<10}，A＝{x|2<x<5}，则∁UA＝________.
[思路探索] 有限集可借助Venn图或者直接写出补集，对于不等式
表示的集合可借助数轴求补集.
典例精讲：题型一：补集的简单运算
[解析] (1)根据题意可知,U={1,2,3,4,5,6,7,8}, 所以 ∁UA ={4,5,6,7,8}，
U
－5
B －4
A
－3
3 4
5
典例精讲：题型一：补集的简单运算
(3) 数轴法，如图：
答案：
0
{x|0<x≤2或5≤x<10}
2
5
10
提示：注意端点的取舍.
x
题后反思
规律总结：在进行补集的简单运算时，应首先明确全集，对于有限集
合的补集往往可以直接写出，也可以借助Venn图求解，而不等式表示
的集合通常可借助数轴求解，解题时要特别注意端点的取舍.
U
A
A∩B
B
典例精讲：题型一：补集的简单运算
[例1](1)设U={x∈N*|x<9},A={1,2,3}，B={3,4,5,6},求∁UA， ∁UB ；
(2)设U＝{x|－5≤x<－2或2<x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，
B＝{－3,3,4}，则∁UA＝________，∁UB＝________；
当a＝2时，A＝{2,4}，满足A⊆U，符合题意．
综上可知，a的值为2.
归纳小结
1. 补集的概念及其运算性质；
2. 在解决集合的交、并、补运算问题时要注意正确利用数形结合思想；
3. 当问题直接求解较为困难时,可采用“正难则反”的解题策略，利用
补集思想化难为易.
再见
探究点2
补集及其相关概念
不属于
补集：对于一个集合A,由全集U中_______集合A的所有元素组成的
集合称为集合A相对于全集U的补集(complementaryset)，简称为集
合A的补集，记作∁UA.
符号语言：∁UA = {| ∈ , 且 ∉ ሽ.
Venn图表示：
U
A
∁ UA
探究点3
补集的运算性质
第一章
集合
§1.2.2 集合的运算
第二课时
补集及综合应用
高中数学必修1·精品课件
学习目标
1. 理解全集和补集的概念.（重点）
2. 能使用Venn图表示集合的关系和运算.
3. 能综合应用交、并、补三种运算进行集合间关系的研究．（难点）
引入课题
想一想如下的Venn图所示阴影部分的集合,如何用描述法表示呢？
[例3]若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至多有1个元素，求实数a的取
值范围．
[分析]
集合A中的元素可能有0个、1个或2个三种情况，题目要
求“至多有1个元素”，即集合A中包含0个或1个元素．若采取分
类讨论的策略，所分情况较多，求解比较麻烦，可考虑构造“补
集”：求集合A中含有2个元素的情况，然后再求其补集(不论a取
什么值，集合A都有意义，所以全集U＝R)．
典例精讲：题型三：运用补集思想解题
[解析] 假设集合A中含有2个元素，
即ax2＋3x＋2＝0有两个不相等的实数根，

a≠0
则ቊ
，解得a＜ 且a≠0，

Δ＝9－8a＞0

则此时实数a的取值范围是{a|a＜ 且a≠0}.



在全集U＝R中，集合{a|a＜ 且a≠0}的补集是{a|a≥ 且a=0}.
∁UB ={1,2,7,8} .
(2)方法一：在集合U中，∵x∈Z，则x的值为－5，－4，－3,3,4,5，
∴U＝{－5，－4，－3,3,4,5}．又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，
∴∁UA＝{－5，－4,3,4}， ∁UB＝{－5，－4,5}．
方法二：可用Venn图表示
则∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}．
B＝{x|－3≤x≤2}，
∴∁UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，
U
A
B
－3 －2
2 3 4
∁UB＝{x|x＜－3，或2＜x≤4}．
∴A∩B＝{x|－2＜x≤2}， (∁UA)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}；
A∩(∁UB)＝{x|2＜x＜3}．
x
题后反思
规律总结：求集合交、并、补运算的方法
有限集
先确定全集，并将其余集合中的元素一一列举出来，然
后结合交、并、补集的定义来求解.也可借助Venn图来
有关集
求解，相对来说直观、形象，不易出错.
合交、
并、补
的运算
无限集
常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然
后再根据交、并、补的定义求解，这样处理比较形象直
观，需注意的是端点的取舍问题.
典例精讲：题型三：运用补集思想解题