(全国通用)最新高考复习 2第6节 幂函数与2次函数课件 理

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【解析】由 f(x)>x,可得
������2-4������ > ������, 或 ������ > 0
-������2-4������ ������ < 0,
>
������,解得
x>5
或-5<x<0,所以原不等式的解
集为(-5,0)∪(5,+∞).
考点 1 幂函数的图象与性质
命题角度1:利用幂函数的图象判断幂指数大小 典例1 如图为幂函数y=xn在第一象限的图象,则C1,C2,C3,C4的大小关系为 ( ) A.C1>C2>C3>C4 B.C2>C1>C4>C3 C.C1>C2>C4>C3 D.C1>C4>C3>C2
C.y=-2(x-1)2+3
D.y=-2(x+1)2+3
2.C 【解析】设所求函数的解析式为y=a(x+h)2+k(a≠0),由题意可知a=-2,-
h=1,k=3,故y=-2(x-1)2+3.
3.(2016·江淮十校联考)函数 f(x)=1������+ln |x|的图象大致为( )
3.B
【解析】f(x)=1������ + ln|������| =
第六节 幂函数与二次函数
考纲概述
考查热 考查
备考指导

频次
幂函数
(1)了解幂函数的概念;
(2)结合函数 y=x,y=x2,y=x3,y=1x,y=x12的图象, 了解它们的变化情况; (3)结合二次函数的图象,了解函数的零点与 方程根的联系,判断一元二次方程根的存在 性及根的个数.
的概念 ★★★ 与图象
,
则易知
2
-2 ������
=
4,
即������
=

12,
所以 f(x)=-12(x-1)2.
(2)由 f(x+t)≥2x 可得-12(x-1+t)2≥2x,即 x2+2(t+1)x+(t-1)2≤0, 解得-t-1-2√������ ≤ ������ ≤ −������ − 1 + 2√������.
=x2-(k-2)x+1 =(x-������2-2)2+1 − (������-42)2,
所以当������-2
2

2

������2-2≤-1,即
k≥6

k≤0
时,g(x)是单调函数.
考点 3 二次函数的图象与性质
命题角度1:二次函数的最值问题 典例4 已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在0≤x≤1时有最大值2,求实数a的值. 【解题思路】动轴定区间问题,应将对称轴从左向右移动进行讨论. 【参考答案】当对称轴x=a<0时,如图1所示,当x=0时, y有最大值ymax=f(0)=1-a, ∴1-a=2,即a=-1,且满足a<0,∴a=-1. 当对称轴0≤a≤1时,如图2所示,当x=a时,y有最大值ymax=f(a)=-a2+2a2+1a=a2-a+1.
【解题思路】利用基本幂函数y=x2,y=x-1,y=x在第一象限作为参考并利用特殊值验算.观察图形可知 C1>0,C2>0,且C1>1,而0<C2<1,C3<0,C4<0,且C3<C4. 【参考答案】 C
命题角度2:利用幂函数的性质比较大小
2
3
2
典例 2
设 a=
3 5
5,b=
2 5
5,c=
2 5
5,则 a,b,c 的大小关系是
即可;(2)解不等式转化成恒成立问题,构造函数 g(t)=-t-1-2√������来求解.
【参考答案】(1)由 f(x-1)=f(3-x)可知函数 f(x)的对称轴为 x=1,由 f(x)的最大值为 0,可设 f(x)=a(x-1)2(a<0),
令 a(x-1)2=-2,解得 x=1±
-2 ������
D 【解析】由图可知a>1,b<0,因此0<ab<1,选项C错误;而选项A与B不一定成立,如当b=1,a=3时,ba<0,当a=2,b=-3时,a+b<0;而loga2>loga1=0>b,所以只有选项D一定成立.
考点 2 二次函数的解析式
典例3 (2015·嘉兴统测)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b∈R)满足条件:①当x∈R 时,f(x)的最大值为0,且f(x-1)=f(3-x)成立;②二次函数f(x)的图象与直线y=-2交于A,B 两点,且|AB|=4. (1)求函数f(x)的解析式; (2)求最小实数n(n<-1),使得存在实数t,只要当x∈[n,-1]时,就有f(x+t)≥2x成立. 【解题思路】(1)根据条件得出函数的对称轴、最大值以及|AB|的长度,由此列出方 程组得到相应的参数值
,+∞来自,在区间-∞,-
������ 2������
上单调递减,在区间
-
������ 2������
,
+

上单调递增;
当 a<0 时,图象开口向下,值域为
-∞,
4������������-������2 4������
,在区间
-∞,-
������ 2������
上单调递增,在区间
-
������ 2������
=
2
2 5
5 可视为同底数的指数函数������
=
2 5
������
,
在第一象限单调递减,
所以由
2 5
<
3 5

2
2 5
5
>
3
2 5
5,即 c>b,所以得 a>c>b.
【参考答案】 a>c>b
1.利用幂函数的图象确定幂指数大小
(1)把幂函数化归为由
y=x,y=x2,y=x3,y=1������,y=������
(3)5种常见幂函数的性质
函数 y=x y=x2
性质
y=x3
y=x
1 2
y=x-1
定义域 R R
R [0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞)
值域 R [0,+∞) R [0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞)
奇偶性 奇 偶
奇 非奇非偶 奇
(-∞,0]减;
单调性 增
增增
(0,+∞)增
(-∞,0)减; (0,+∞)减
二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的定义域为 R,对称轴为 x=-2������������,顶点为
-
������ 2������
,
4������������-������2 4������
,图象
关于直线 x=-2������������成轴对称图形.

a>0 时,图象开口向上,值域为
4������������-������2 4������
又 f(x+t)≥2x 在 x∈[n,-1]时恒成立,可得 -������-1-2√������ ≤ ������, ① -������-1 + 2√������ ≥ -1, ②
由②得 0≤t≤4,
令 g(t)=-t-1-2√������, 易知������(������) = −������ − 1 − 2√������单调递减,g(t)≥g(4)=-9,
-
������ 2������
;
②若-2������������∉[m,n],则 f(x)max=max{f(m),f(n)},f(x)min=min{f(m),f(n)}.
另外,当二次函数开口向上时,自变量的取值离开对称轴越远,则对应的函数值越大; 反过来,当二次函数开口向下时,自变量的取值离开对称轴越远,则对应的函数值越小.
(3)当
������ ������
> <
00,时,恒有
f(x)>0;当
������ ������
< <
00,时,恒有
f(x)<0.
(4)设 f(x)=ax2+bx+c(a>0),则二次函数在闭区间[m,n]上的最大、最小值的分布情况为
①若-2������������∈[m,n],则 f(x)max=max{f(m),f(n)},f(x)min=f
定点 (0,0),(1,1)
(1,1)
2.二次函数
(1)二次函数的定义:形如f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的函数叫做二次函数.
(2)二次函数的三种常见的解析式 ①一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0); ②顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),(m,n)为顶点坐标; ③两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1,x2分别为f(x)=0的两实根. (3)二次函数的图象与性质
.
【解题思路】化为同底数幂与同指数幂后再进行大小比较.
2
a=
3 5
5 , ������ =
2 5
2 5
可视为同指数的幂函数������
=
2
������5,
在第一象限单调递增,
所以由
2 5
<
3 5

2
2 5
5
<
2
3 5
5 , 即������ <
������, 而������ =
3
2 5
5 , ������
,
+

上单调递减.
3.二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的内在联系
(1)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实根.
������2-4������������
(2)若 x1,x2 为方程 f(x)=0 的实根,则 f(x)在 x 轴上截得的线段长应为|x1-x2|= |������| .
【变式训练】
(2015·山东枣庄八中月考)已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数,a≠0,x∈R). (1)若函数f(x)的图象过点(-2,1),且方程f(x)=0有且只有一个根,求f(x)的表达式; (2)在(1)的条件下,当x∈[-1,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围. 【解析】(1)因为f(-2)=1,即4a-2b+1=1, 所以b=2a. 因为方程f(x)=0有且只有一个根,即Δ=b2-4a=0, 因此解得a=1,b=2,所以f(x)=(x+1)2. (2)因为g(x)=f(x)-kx=x2+2x+1-kx
故 n≥-9,则 n 能取到的最小实数为-9,此时存在实数 t=4,只要当 x∈[n,-1]时,就有 f(x+t)≥2x 成立.
二次函数的表达式及选择依据 (1)一般式 y=ax2+bx+c(a≠0); (2)顶点式 y=a(x-m)2+n(a≠0); (3)两根式 y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). 选择依据:已知三点通常选用一般式,已知顶点与对称轴通常选用顶点式,已知图象与 x 轴的交点通常选用两 根式.
1
2五种基本模式构造而成;
(2)利用特殊值判定. 2.利用幂函数的性质比较幂值的大小的技巧
(1)化为同底不同指的指数函数,利用其单调性比较大小;
(2)化为同指不同底的幂函数,利用其单调性比较大小.
【变式训练】 (2015·贵阳模拟)函数y=ax(a>0,a≠1)与y=xb的图象如图,则下列不等式一定成立的是 ( ) A.ba>0 B.a+b>0 C.ab>1 D.loga2>b
二次函 数的解 ★★ 析式
二次函 数的图
★★★ 象与性
二次函数、一元二次方程及一元二次不等式三者的综合考查较多,
注重考查图象与性质的灵活运用,而幂函数只需掌握幂指数为 1,2,3,-1,1时的情形,多以选择与填空题等小题出现,以中等难度为
2
主,以数形结合为主.

1.幂函数
(1)幂函数的定义:一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数. (2)5种常见幂函数的图象(如图)
4.常用的数学方法与思想
配方法、待定系数法、分类讨论思想、数形结合思想.
1.判断下列说法是否正确(打“√”或“×”).
(1)函数f(x)=x2与f(x)=3x2都是幂函数.( )
(1)×
(2)函数f(x)=ax2+bx+c表示二次函数.( )
(2)×
(3)幂函数的图象恒过定点(1,1),(0,0).( )
1
������ 1
������
+ +
ln������ (������ ln(-������)
> (������
0), 当
< 0),
x=1
时,f(1)=1,所以选项
A
错误,当
x=-1
时,f(-1)=-1,
所以选项 C 错误,又当 x→+∞时,y>0,所以选项 D 错误,从而选项 B 正确.
4.(2015·泰州二模)已知函数 y= ������2-2������ + ������的定义域为 R,值域为[0,+∞),则实数 a 的取值集合为
.
4.{1} 【解析】由题得 Δ=4-4a=0,即 a=1.
������2-4������ (������ > 0),
5.(2015·惠州调研)已知 f(x)= 0 (������ = 0), 则不等式 f(x)>x 的解集为
.
-������2-4������ (������ < 0),
5.(-5,0)∪(5,+∞)
(3)×
(4)二次函数的图象是轴对称图形.( )
(4)√
(5)二次函数y=x2+mx+1在区间[1,+∞)上单调递增的充要条件是m≥-2.( )
(5)√ 2.已知某二次函数的图象与函数y=2x2的图象的形状一样,开口方向相反,且其顶
点为(1,3),则该函数的解析式为( )
A.y=2(x-1)2+3
B.y=2(x+1)2+3
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