2019-2020学年北师大版高中数学选修2-3同步配套课件:1.3 组合1.3.1 .pdf
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
组合问题. 解:(1)因为集合中取出的元素具有“无序性”,所以这是组合问题; (2)因为两人握手是相互的,没有顺序之分,所以这是组合问题; (3)因为5种工作是不同的, 从5种不同的工作中选出4种,按一定的
顺序分配给4个人,它与顺序有关,所以这是排列问题.
题型一
题型二
题型三
目标导航
知识梳理
典例透析
=
������! ������!(������-������)!
,
规定:
C���0���
=
1.
【做一做 4】 C72 + C63 + C54 =
.
答案:46
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
12345
5.组合数的性质:
性质 1: C������������ = C������������-������ .
题型一
题型二
题型三
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
解:(1)C19080
+
C210909
=
C1200
+
C2100
=
100×99 2
+
200
=
5
150.
(2)由C138������+6 = C148������-2, 知3n+6=4n-2 或 3n+6+(4n-2)=18.解得 n=8 或 n=2.
都是相同的组合.当两个组合中的元素不完全相同(即使只有一个 元素不同),就是不同的组合.
(3)组合与排列的共同点:从n个不同的元素中任取m个元素;不同 点:对于排列,取出元素后还需对所取出的元素进行排列,即对顺序 有要求,而组合对取出的元素无需排列,只需组成一组即可,对顺序 无要求.可总结为:有序排列,无序组合.
题型一
题型二
题型三
题型一
组合的概念
【例1】 判断下列问题是组合问题还是排列问题. (1)设集合A={a,b,c,d},则集合A的含有3个元素的子集有多少个? (2)一个班中有52人,任意两个人握一次手,共握多少次手? (3)4个人去干5种不同的工作,每人干一种,有多少种分工方法? 分析:交换任何两个元素的顺序,看结果有无影响,如无影响则是
∵3n+6≤18,且 4n-2≤18,
∴n≤4,且 n∈N+,∴n=2.
(3)C54 + C64 + C74 + C84 + C88 = C88 + C54 + C64 + C74 + C84 = C55 +
C54 + C64 + C74 + C84 = C65 + C64 + C74 + C84 = C75 + C74 + C84 = C85 +
()
A.36 种 B.120 种
C.35 种
D.1 440 种
解析:只需再从其他
7
名队员中选
3
人,即C73
=
7×6×5 3×2×1
=
35.
答案:C
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
12345
3.一般地,考虑C������������ 与A������������ 的关系: 把“从������个不同的元素中选出 ������(������ ≤n)个元素进行排列”这件事,分两步进行:
随堂演练
反思区分一个问题是排列问题还是组合问题,关键是看它有无“顺 序”,有顺序就是排列问题,无顺序就是组合问题.要判定它是否有顺 序的方法是:先将元素取出来,看交换元素的顺序对结果有无影响, 有影响就是“有序”,也就是排列问题;没有影响就是“无序”,也就是 组合问题.
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
组合问题,共有C92 = 36 种不同的选法. (3)甲、乙、丙三人不能参加,则只需从另外的 9 人中选 5 人,共有
C95 = 126 种不同的选法. (4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加,可分两步:先从甲、乙、丙
中选 1 人,有C31 = 3 种选法;再从另外 9 人中选 4 人,有C94种选法.共有 C31 ·C94 = 378 种不同的选法.
12345
1.一般地,从n个不同的元素中,任取m(m≤n)个元素为一组,叫作 从n个不同元素中取出m个元素的一个组合,我们把有关求组合的 个数的问题叫作组合问题.
说明:(1)组合的概念中有两个要点:
①取出元素,且要求n个元素是不同的; ②“只取不排”,即取出的m个元素与顺序无关,无序性是组合的特
征性质. (2) 只要两个组合中的元素完全相同,那么不管元素的顺序如何,
������!
������-������ (������+1)!(������-������-1)!
=
������ + 1 (������ + 1)!
������! ·(������-������)(������-������-1)!
=
������! ������!(������-������)!
,
答案:C
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
12345
2.我们把从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有组合的
个数,叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数,用符号
C������������ 表示. 【做一做 2】 某乒乓球队有 9 名队员,其中有两名种子选手,现
要选 5 名队员参加运动会,种子选手都必须在内,不同的选法有
C130 = 120. (4)是排列问题,因为 3 个人担任哪一科的课代表是有顺序区别
的,排列数为A310 = 720.
目标导航
知识梳理
题型一
题型二
题型三
题型二 组合数公式的应用
典例透析
随堂演练
【例 2】 (1)计算C19080 + C210909;
(2)已知C138������+6 = C148������-2, 求������; (3)化简C54 + C64 + C74 + C84 + C88. 分析:先把组合数利用性质进行化简,或利用组合数性质求解.
(1)任意选5人; (2)甲、乙、丙三人必须参加; (3)甲、乙、丙三人不能参加; (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加. 分析:利用组合数公式与分步计数原理解答.
题型一
题型二
题型三
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
解:(1)从中任取 5 人是组合问题,共有C152 = 792 种不同的选法. (2)甲、乙、丙三人必须参加,则只需要从另外 9 人中选 2 人,是
∴
C������������
=
������ + 1 ������-������
·C������������+1.
(4)证明: C������������ + 2C������������-1 + C������������-2 = C������������ + C������������-1 + C������������-1 + C������������-2
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 判断下列各事件是排列问题还是组合问题,并求 出相应的排列数或组合数.
(1)10人相互通一次电话,共通多少次电话? (2)10个球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次),共进行多少场 次? (3)从10个人中选出3个作为代表去开会,有多少种选法? (4)从10个人中选出3个担任不同学科的课代表,有多少种选法? 分析:解答本题主要是分清取出的这m个(2个或3个)元素是进行 排列还是组合,即确定其与顺序有关还是无关.
12345
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
【做一做1】 给出下面几个问题,其中是组合问题的有( )
①由1,2,3,4构成的含有2个元素的集合个数;
②五个队进行单循环比赛的比赛场次数;
③由1,2,3组成两位数的不同方法数;
④由1,2,3组成的无重复数字的两位数的个数.
A.①③
B.②④
C.①②
D.①②④
§3 组 合
-1-
第1课时 组合与组合数公式
-2-
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
1.理解组合的意义,能写出一些简单问题的组合. 2.能够正确认识排列与组合的区别. 3.掌握组合数公式,能用组合数公式及其性质进行计算、化简. 4.能利用组合数公式解简单的组合问题.
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
(1)现要从中选2名教师去参加会议,有多少种不同的选法?
(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种?
即有A������������ = C������������ ·A������������ . 【做一做 3】 A6100 = 答案: C1600
·A66.
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
12345
4. C������������
=
A������������ A������������
=
������(������-1)(������-2)…(������-������+1) ������!
(2)解: 由C22 = C33, 得C22 + C32 + C42 + C52 + C62 = C33 + C32 + C42 +
C52 + C62.
∵ C32 + C33 = C43, ∴ C33 + C32 + C42 + C52 + C62
= C43 + C42 + C52 + C62, 依次类推可得C22 + C32 + C42
+ C52 + C62 = C73 = 35.
题型一
题型二
题型三
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
(3)证明: ∵
C������������
=
������! ������!(������-������)!
,
������+1 ������-������
·C������������+1
=
������+1 ·
题型一
题型二
题型三
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
反思解答简单的组合问题的步骤: (1)弄清要做的这件事是什么事; (2)选出的元素是否与顺序有关,也就是看看是不是组合问题; (3)结合两计数原理利用组合数公式求出结果.
目标导航
知识梳理型二
题型三
【变式训练3】 现有10名教师,其中男教师6名,女教师4名.
(4)求证: C������������+2 = C������������ + 2C������������-1 + C������������-2.
(1)解: C94 + C95 + C160 + C171 = C150 + C160 + C171 = C161 + C171 =
C172 = C152 = 792.
= C������������+1 + C������������-+11 = C������������+2.
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三
题型三 简单的组合问题
【例3】 在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从 中选出5人参加市级培训.在下列条件下,有多少种不同的选法?
第一步:从 n 个不同元素中取出 m 个元素,一共有C������������ 种取法. 第二步:把取出的 m 个元素进行排列,一共有A������������ 种排法.
根据乘法原理, 我们得到“从������个不同元素中选出������(������ ≤n)个元素进
行排列”一共有C������������ ·A������������ 种排法.
题型一
题型二
题型三
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
解:(1)是组合问题,因为甲与乙通了一次电话,也就是乙与甲通
了一次电话,没有顺序的区别,组合数为C120 = 45. (2)是组合问题,因为每两个队比赛一次,并不需要考虑谁先谁后,
没有顺序的区别,组合数为C120 = 45. (3)是组合问题,因为 3 个代表之间没有顺序的区别,组合数为
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三
【变式训练 2】 (1)计算: C94 + C95 + C160 + C171;
(2)计算: C22 + C32 + C42 + C52 + C62;
(3)求证: C������������
=
������+1 ������-������
·C������������ +1 ;
C84
=
C95
=
C94
=
9×8×7×6 4×3×2×1
=
126.
题型一
题型二
题型三
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
反思在计算C������������ 时,要充分利用 m≤n 且 m∈N,n∈N+来解题;当C������������ 中m,n 为字母或较大时常用阶乘公式,当 m 相对较小时常用连乘计 算公式;注意C������������ = C������������-������ 的灵活运用.
性质 2: C������������+1 = C������������ + C������������-1 .
【做一做 5】 (1)若C160 = C1������0, 则������ =
;
(2)C640 + C650 =
.
答案:(1)6 或 4 (2)C651
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
顺序分配给4个人,它与顺序有关,所以这是排列问题.
题型一
题型二
题型三
目标导航
知识梳理
典例透析
=
������! ������!(������-������)!
,
规定:
C���0���
=
1.
【做一做 4】 C72 + C63 + C54 =
.
答案:46
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
12345
5.组合数的性质:
性质 1: C������������ = C������������-������ .
题型一
题型二
题型三
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
解:(1)C19080
+
C210909
=
C1200
+
C2100
=
100×99 2
+
200
=
5
150.
(2)由C138������+6 = C148������-2, 知3n+6=4n-2 或 3n+6+(4n-2)=18.解得 n=8 或 n=2.
都是相同的组合.当两个组合中的元素不完全相同(即使只有一个 元素不同),就是不同的组合.
(3)组合与排列的共同点:从n个不同的元素中任取m个元素;不同 点:对于排列,取出元素后还需对所取出的元素进行排列,即对顺序 有要求,而组合对取出的元素无需排列,只需组成一组即可,对顺序 无要求.可总结为:有序排列,无序组合.
题型一
题型二
题型三
题型一
组合的概念
【例1】 判断下列问题是组合问题还是排列问题. (1)设集合A={a,b,c,d},则集合A的含有3个元素的子集有多少个? (2)一个班中有52人,任意两个人握一次手,共握多少次手? (3)4个人去干5种不同的工作,每人干一种,有多少种分工方法? 分析:交换任何两个元素的顺序,看结果有无影响,如无影响则是
∵3n+6≤18,且 4n-2≤18,
∴n≤4,且 n∈N+,∴n=2.
(3)C54 + C64 + C74 + C84 + C88 = C88 + C54 + C64 + C74 + C84 = C55 +
C54 + C64 + C74 + C84 = C65 + C64 + C74 + C84 = C75 + C74 + C84 = C85 +
()
A.36 种 B.120 种
C.35 种
D.1 440 种
解析:只需再从其他
7
名队员中选
3
人,即C73
=
7×6×5 3×2×1
=
35.
答案:C
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
12345
3.一般地,考虑C������������ 与A������������ 的关系: 把“从������个不同的元素中选出 ������(������ ≤n)个元素进行排列”这件事,分两步进行:
随堂演练
反思区分一个问题是排列问题还是组合问题,关键是看它有无“顺 序”,有顺序就是排列问题,无顺序就是组合问题.要判定它是否有顺 序的方法是:先将元素取出来,看交换元素的顺序对结果有无影响, 有影响就是“有序”,也就是排列问题;没有影响就是“无序”,也就是 组合问题.
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
组合问题,共有C92 = 36 种不同的选法. (3)甲、乙、丙三人不能参加,则只需从另外的 9 人中选 5 人,共有
C95 = 126 种不同的选法. (4)甲、乙、丙三人只能有 1 人参加,可分两步:先从甲、乙、丙
中选 1 人,有C31 = 3 种选法;再从另外 9 人中选 4 人,有C94种选法.共有 C31 ·C94 = 378 种不同的选法.
12345
1.一般地,从n个不同的元素中,任取m(m≤n)个元素为一组,叫作 从n个不同元素中取出m个元素的一个组合,我们把有关求组合的 个数的问题叫作组合问题.
说明:(1)组合的概念中有两个要点:
①取出元素,且要求n个元素是不同的; ②“只取不排”,即取出的m个元素与顺序无关,无序性是组合的特
征性质. (2) 只要两个组合中的元素完全相同,那么不管元素的顺序如何,
������!
������-������ (������+1)!(������-������-1)!
=
������ + 1 (������ + 1)!
������! ·(������-������)(������-������-1)!
=
������! ������!(������-������)!
,
答案:C
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
12345
2.我们把从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有组合的
个数,叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数,用符号
C������������ 表示. 【做一做 2】 某乒乓球队有 9 名队员,其中有两名种子选手,现
要选 5 名队员参加运动会,种子选手都必须在内,不同的选法有
C130 = 120. (4)是排列问题,因为 3 个人担任哪一科的课代表是有顺序区别
的,排列数为A310 = 720.
目标导航
知识梳理
题型一
题型二
题型三
题型二 组合数公式的应用
典例透析
随堂演练
【例 2】 (1)计算C19080 + C210909;
(2)已知C138������+6 = C148������-2, 求������; (3)化简C54 + C64 + C74 + C84 + C88. 分析:先把组合数利用性质进行化简,或利用组合数性质求解.
(1)任意选5人; (2)甲、乙、丙三人必须参加; (3)甲、乙、丙三人不能参加; (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加. 分析:利用组合数公式与分步计数原理解答.
题型一
题型二
题型三
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
解:(1)从中任取 5 人是组合问题,共有C152 = 792 种不同的选法. (2)甲、乙、丙三人必须参加,则只需要从另外 9 人中选 2 人,是
∴
C������������
=
������ + 1 ������-������
·C������������+1.
(4)证明: C������������ + 2C������������-1 + C������������-2 = C������������ + C������������-1 + C������������-1 + C������������-2
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 判断下列各事件是排列问题还是组合问题,并求 出相应的排列数或组合数.
(1)10人相互通一次电话,共通多少次电话? (2)10个球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次),共进行多少场 次? (3)从10个人中选出3个作为代表去开会,有多少种选法? (4)从10个人中选出3个担任不同学科的课代表,有多少种选法? 分析:解答本题主要是分清取出的这m个(2个或3个)元素是进行 排列还是组合,即确定其与顺序有关还是无关.
12345
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
【做一做1】 给出下面几个问题,其中是组合问题的有( )
①由1,2,3,4构成的含有2个元素的集合个数;
②五个队进行单循环比赛的比赛场次数;
③由1,2,3组成两位数的不同方法数;
④由1,2,3组成的无重复数字的两位数的个数.
A.①③
B.②④
C.①②
D.①②④
§3 组 合
-1-
第1课时 组合与组合数公式
-2-
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
1.理解组合的意义,能写出一些简单问题的组合. 2.能够正确认识排列与组合的区别. 3.掌握组合数公式,能用组合数公式及其性质进行计算、化简. 4.能利用组合数公式解简单的组合问题.
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
(1)现要从中选2名教师去参加会议,有多少种不同的选法?
(2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种?
即有A������������ = C������������ ·A������������ . 【做一做 3】 A6100 = 答案: C1600
·A66.
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
12345
4. C������������
=
A������������ A������������
=
������(������-1)(������-2)…(������-������+1) ������!
(2)解: 由C22 = C33, 得C22 + C32 + C42 + C52 + C62 = C33 + C32 + C42 +
C52 + C62.
∵ C32 + C33 = C43, ∴ C33 + C32 + C42 + C52 + C62
= C43 + C42 + C52 + C62, 依次类推可得C22 + C32 + C42
+ C52 + C62 = C73 = 35.
题型一
题型二
题型三
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
(3)证明: ∵
C������������
=
������! ������!(������-������)!
,
������+1 ������-������
·C������������+1
=
������+1 ·
题型一
题型二
题型三
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
反思解答简单的组合问题的步骤: (1)弄清要做的这件事是什么事; (2)选出的元素是否与顺序有关,也就是看看是不是组合问题; (3)结合两计数原理利用组合数公式求出结果.
目标导航
知识梳理型二
题型三
【变式训练3】 现有10名教师,其中男教师6名,女教师4名.
(4)求证: C������������+2 = C������������ + 2C������������-1 + C������������-2.
(1)解: C94 + C95 + C160 + C171 = C150 + C160 + C171 = C161 + C171 =
C172 = C152 = 792.
= C������������+1 + C������������-+11 = C������������+2.
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三
题型三 简单的组合问题
【例3】 在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从 中选出5人参加市级培训.在下列条件下,有多少种不同的选法?
第一步:从 n 个不同元素中取出 m 个元素,一共有C������������ 种取法. 第二步:把取出的 m 个元素进行排列,一共有A������������ 种排法.
根据乘法原理, 我们得到“从������个不同元素中选出������(������ ≤n)个元素进
行排列”一共有C������������ ·A������������ 种排法.
题型一
题型二
题型三
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
解:(1)是组合问题,因为甲与乙通了一次电话,也就是乙与甲通
了一次电话,没有顺序的区别,组合数为C120 = 45. (2)是组合问题,因为每两个队比赛一次,并不需要考虑谁先谁后,
没有顺序的区别,组合数为C120 = 45. (3)是组合问题,因为 3 个代表之间没有顺序的区别,组合数为
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
题型一
题型二
题型三
【变式训练 2】 (1)计算: C94 + C95 + C160 + C171;
(2)计算: C22 + C32 + C42 + C52 + C62;
(3)求证: C������������
=
������+1 ������-������
·C������������ +1 ;
C84
=
C95
=
C94
=
9×8×7×6 4×3×2×1
=
126.
题型一
题型二
题型三
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
反思在计算C������������ 时,要充分利用 m≤n 且 m∈N,n∈N+来解题;当C������������ 中m,n 为字母或较大时常用阶乘公式,当 m 相对较小时常用连乘计 算公式;注意C������������ = C������������-������ 的灵活运用.
性质 2: C������������+1 = C������������ + C������������-1 .
【做一做 5】 (1)若C160 = C1������0, 则������ =
;
(2)C640 + C650 =
.
答案:(1)6 或 4 (2)C651
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练