§7 曲率

§7 曲率
一、弧微分
设函数()f x 在区间(,)a b 内具有连续导数，在曲线()f x 上取固定点000(,)M x y 作为度量弧长的基点，并规定依x 增大的方向作为曲线的正向。

对于曲线上任意一点(,)M x y ，规定有向弧0M M 的值s 如下：s 的绝对值等于弧的长度，当有向弧的方向与曲线的方向一致时为正，否则为负，则曲率为0lim
x MM x
∆→'∆
，易有ds =，这就是弧微分公式
二、曲率及其计算公式
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。

定义：.s
K M M ∆∆=
'α的平均曲率为弧段曲线C 在点M 处的曲率s K s ∆∆=→∆α
0lim
,lim
0存在的条件下在ds
d s s α
α=∆∆→∆.ds d K α=
注意:
(1) 直线的曲率处处为零;
(2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大. 2.曲率的计算公式
,)(二阶可导设x f y =,tan y '=α ,arctan y '=α有,12
dx y y d '+'
'=α
.12dx y ds '+=.)
1(2
32y y k '+''=
∴
,),
(),(二阶可导设⎩⎨⎧==t y t x ψϕ ,)
()
(t t dx dy ϕψ''= .)()()()()(322t t t t t dx y d ϕψϕψϕ''''-'''=
.)]
()([)
()()()(2
3
22t t t t t t k ψϕψϕψϕ'+''''-'''=
∴
例1?2
上哪一点的曲率最大抛物线c bx ax y ++= 解：,2b ax y +=',2a y =''.]
)2(1[22
32b ax a k ++=
∴
显然, ,2时当a
b
x -=.最大k ,)44,2(2为抛物线的顶点又a ac b a b --
-
.最大抛物线在顶点处的曲率∴
三、曲率圆与曲率半径 定义：
.
),(,.1
,,).0(),()(处的曲率圆称此圆为曲线在点如图为半径作圆心为圆以使在凹的一侧取一点曲线的法线上处的在点处的曲率为在点设曲线M D k
DM D M k k y x M x f y ρρ==
≠=
,曲率中心---D .曲率半径---ρ
注意:
1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数.
.1,1ρ
ρ==
k k 即 2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲
率越大(曲线越弯曲).
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
以前我们利用描点法作图，这样作出的图形往往与实际图形相去甚远．这是因为，尽管
我们比较准确地描出曲线上的一些点，但两点之间的其它点未能更细地描出，尤其是曲线的升降、凹凸性及有无极值点等问题不明了．为了提高作图的准确程度，现在我们可以利用函数的一阶与二阶导数，根据曲线的升降、极值点、凹凸性、拐点与渐近线等特性来作图，使图形能正确反映函数的性态．
作函数)(x f y =图形的一般步骤如下： (1) 确定函数的定义域；
(2) 考察函数的奇偶性(对称性)、周期性； (3) 确定水平渐近线与垂直渐近线；
(4) 求y '与y ''，找出y '和y ''的零点、它们不存在的点以及函数的间断点； (5) 利用(4)中所得的点 将定义域划分为若干个区间，列表讨论各个区间上曲线的升降与凹凸性，并讨论每个分界点是否为极值点或产生拐点．
(6) 描出极值点，拐点与特殊点，再根据上述性质逐段描出曲线．
Def1. 若当∞→x (有时仅当+∞→x 或-∞→x )时，b x f →)(，则称直线b y =为曲线)(x f y =的水平渐近线．
例如，由于212lim =-∞→x x x ，故直线2=y 是曲线x
x y 1
2-=
的水平渐近线．同理可知，直线2
π
=
y 与2
π
-
=y 都是曲线x y arctan =的水平渐近线．
Def2. 若当c x →(有时仅当-
+
→→c x c x 或)时，∞→)(x f ，则称直线c x =为曲线)(x f y =的垂直渐近线．
例如，当+
→0x 时，-∞→x ln ，所以直线0=x 是对数曲线x y ln =的垂直渐近线．同理可知，0=x 是曲线x
x y 1
2-=
的垂直渐近线． 为求曲线)(x f y =的垂直渐近线，应先找)(x f 的间断点c ，再看当c x →(或单侧)时，是否有∞→)(x f ．
例4 作函数2
221x e
y -
=
π
的图形．
解 (1) 定义域为),(+∞-∞∈x ．
(2) )(x f y =为偶函数，图形对称于y 轴．我们可先讨论),0[+∞上函数的图形，再据对称性作出左边的图形．
(3) 0)(lim =∞
→x f x ，有水平渐近线0=y ．但图形无垂直渐近线．
(4) 2
22x e
x y -
=
'π
，2
2221x e
x y -
-=
''π
．
令0,0=''='y y ，得),0[+∞上两点1,021==x x ．
(5) 列表讨论：
得极大值点⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛π21,
01M ，拐点⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⋅e M π21,12．
(6) 描出点21M M 、和点⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛2321
,
2e M π，根据上表所列性质，描出)(x f y =在),0[+∞上的图形，再利用对称性描出函数在)0,(-∞上的图形，所得图形如图3－15所示．
图3－15
图3－16
例5 描绘函数2
)
1(1
2--=
x x y 的图形． 解 (1) 定义域为1≠x ． (2) 1)1(1
2lim
2
1=⇒∞=--→x x x x 垂直渐近线．
00)1(1
2lim
2
=⇒=--∞→y x x x 水平渐近线．
(3) 3)1(2--=
'x x y ， 4
)
1(2
4-+=''x x y ． 令0,0=''='y y ，得0,2
1
21=-
=x x ．此外，在13=x 处y '不存在． (4) 列表讨论如下：
故有拐点⎪⎭
⎫
⎝⎛--
98,21A 、极小值点)1,0(-B ，再在曲线上取两点⎪⎭⎫ ⎝⎛97,4)3,2(D C 、，描
出这些点，注意到渐近线和表中所列的性质，描出图形如图3－16所示．。