湖北湖北省黄石市第二中学数列多选题试题含答案

湖北湖北省黄石市第二中学数列多选题试题含答案
一、数列多选题
1．设{}n a 是无穷数列，若存在正整数()2k k ≥，使得对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，则
称{}n a 是“间隔递增数列”，k 是{}n a 的“间隔数”，下列说法正确的是（ ） A ．公比大于1的等比数列一定是“间隔递增数列” B ．若()21n
n a n =+-，则{}n a 是“间隔递增数列”
C ．若(),2n r
a n r r n
*=+
∈≥N ，则{}n a 是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为r D ．已知2
2021n a n tn =++，若{}n a 是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为3，则
54t -<≤-
【答案】BCD 【分析】
利用新定义，逐项验证是否存在正整数()2k k ≥，使得0n k n a a +->，即可判断正误. 【详解】
选项A 中，设等比数列{}n a 的公比是()1q q >，则
()1111111n k n n n k k n a a a a q q q a q +---+=-=--，其中1k q >，即()
110n k q q -->，若10a <，则0n k n a a +-<，即n k n a a +<，不符合定义，故A 错误；
选项B 中，()()
()()()21212111n k
n n k n k n a a n k n k ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤++--+-=+---⎣
⎦-=⎣⎦⎣⎦
，
当n 是奇数时，()211k
n k n a a k +=---+，则存在1k
时，0n k n a a +->成立，即对任
意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义；当n 是偶数时，()211k
n k n a a k +-=+--，则存在2k ≥时，0n k n a a +->成立，即对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义.综上，存在
2k ≥时，对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义，故B 正确；
选项C 中，
()()1n k n r r kr r a a n k n k k n k n n k n n k n +⎡⎤-⎛
⎫⎛⎫++-+=+
=-⎢⎥ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎢⎣-⎦
=⎥()2n kn r k n k n +-=⋅+，令2()f n n kn r =+-，开口向上，对称轴02
k -<，故2
()f n n kn r =+-在n *∈N 时单
调递增，令最小值(1)10f k r =+->，得1k r >-，
又k *∈N ，2k ≥，,2r r *
∈≥N ，故存在k r ≥时，0n k n a a +->成立，即对任意
n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义，“间隔数”的最小值为r ，故C 正确；
选项D 中，因为2
2021n a n tn =++，是“间隔递增数列”，则
()()()
2
222021202012n k n a a n k t n k kn k t n n k t +⎡⎤-=-=++>⎣++++⎦
++，即
20k n t ++>，对任意n *∈N 成立，设()2g n k n t =++，显然在n *∈N 上()g n 递增，
故要使()20g n k n t =++>，只需(1)20g k t =++>成立，即2t k --<. 又“间隔数”的最小值为3，故存在3k ≥，使2t k --<成立，且存在k 2≤，使
2t k --≥成立，故23t --<且22t --≥，故54t -<≤-，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】
本题的解题关键在于读懂题中“间隔递增数列”的定义，判断是否存在正整数()2k k ≥，使
0n k n a a +->对于任意的n *∈N 恒成立，逐项突破难点即可.
2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，(
)1*11,221,21
n n n a n k
a k N a n k --+=⎧=∈⎨+=+⎩.则下列选项正确的为（ ） A ．614a =
B ．数列{}(
)*
213k a k N
-+∈是以2为公比的等比数列
C ．对于任意的*k N ∈，1
223k k a +=-
D ．1000n S >的最小正整数n 的值为15 【答案】ABD 【分析】
根据题设的递推关系可得2212121,21k k k k a a a a -+=-=-，从而可得22222k k a a +-=，由此可得
{}2k a 的通项和{}21k a -的通项，从而可逐项判断正误.
【详解】
由题设可得2212121,21k k k k a a a a -+=-=-， 因为11a =，211a a -=，故2112a a =+=，
所以22212121,12k k k k a a a a +++--==，所以22222k k a a +-=， 所以()222222k k a a ++=+，因为2240a +=≠，故220k a +≠， 所以
2222
22
k k a a ++=+，所以{}22k a +为等比数列，
所以12242k k a -+=⨯即1
222k k a +=-，故416214a =-=，故A 对，C 错. 又112122123k k k a ++-=--=-，故1
2132k k a +-+=，
所以
21213
23
k k a a +-+=+，即{}()*213k a k N -+∈是以2为公比的等比数列，故B 正确. ()()141214117711S a a a a a a a =++
+=++++++
()()2381357911132722323237981a a a a a a a =+++++++=⨯-+-++-+=，
15141598150914901000S S a =+=+=>，
故1000n S >的最小正整数n 的值为15，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】
方法点睛：题设中给出的是混合递推关系，因此需要考虑奇数项的递推关系和偶数项的递推关系，另外讨论D 是否成立时注意先考虑14S 的值.
3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，0n a ≠，且20202
1
11
1212a a ++≤+（ ）
A ．若数列{}n a 为等差数列，则20210S ≥
B ．若数列{}n a 为等差数列，则10110a ≤
C ．若数列{}n a 为等比数列，则20200T >
D ．若数列{}n a 为等比数列，则20200a <
【答案】AC 【分析】
由不等关系式，构造11
()212
x
f x =
-+，易得()f x 在R 上单调递减且为奇函数，即有220200a a +≥，讨论{}n a 为等差数列、等比数列，结合等差、等比的性质判断项、前n 项
和或积的符号即可. 【详解】 由
202021111212a a ++≤+，得20202
1111
0212212
a a +-+-≤+， 令11()212x f x =-+，则()f x 在R 上单调递减，而1121
()212212
x
x x f x --=-=-++， ∴12()()102121
x
x x f x f x -+=+-=++，即()f x 为奇函数，
∴220200a a +≥，
当{}n a 为等差数列，22020101120a a a +=≥，即10110a ≥，且
2202020212021()
02
a a S +=
≥，故A 正确，B 错误；
当{}n a 为等比数列，2018
20202a a q
=，显然22020,a a 同号，若20200a <，则220200
a a +<与上述结论矛盾且0n a ≠，所以前2020项都为正项，则202012020...0T a a =⋅⋅>，故C 正确，D 错误. 故选：AC. 【点睛】
关键点点睛：利用已知构造函数，并确定其单调性和奇偶性，进而得到220200a a +≥，基
于该不等关系，讨论{}n a 为等差、等比数列时项、前n 项和、前n 项积的符号.
4．已知数列{},{}n n a b 均为递增数列，{}n a 的前n 项和为,{}n n S b 的前n 项和为,n T 且满足*112,2()n n n n n a a n b b n N +++=⋅=∈，则下列结论正确的是（ ）
A ．101a << B
．11b <<
C ．22n n S T <
D ．22n n S T ≥
【答案】ABC 【分析】
利用数列单调性及题干条件，可求出11,a b 范围；求出数列{},{}n n a b 的前2n 项和的表达式，利用数学归纳法即可证明其大小关系，即可得答案. 【详解】
因为数列{}n a 为递增数列， 所以123a a a <<，
所以11222a a a <+=，即11a <， 又22324a a a <+=，即2122a a =-<， 所以10a >，即101a <<，故A 正确； 因为{}n b 为递增数列， 所以123b b b <<，
所以2
1122b b b <=
，即1b <
又2
2234b b b <=，即21
2
2b b =
<， 所以11b >
，即11b <<，故B 正确；
{}n a 的前2n 项和为21234212()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++
= 22(121)
2[13(21)]22
n n n n +-++⋅⋅⋅+-=
=，
因为12n n n b b +⋅=，则1
122n n n b b +++⋅=，所以22n n b b +=，
则{}n b 的2n 项和为13212422()()n n n b b b b b b T -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+
=1101101122(222)(222)()(21)n n n
b b b b --++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+-
1)1)n n
>-=-， 当n =1
时，222,S T =>，所以22T S >，故D 错误； 当2n ≥时
假设当n=k
时，21)2k k ->
21)k k ->， 则当n=k +1
1121)21)21)2k k k k k ++-=
+-=->
2221(1)k k k >++=+
所以对于任意*n N ∈
，都有21)2k k ->，即22n n T S >，故C 正确 故选：ABC 【点睛】
本题考查数列的单调性的应用，数列前n 项和的求法，解题的关键在于，根据数列的单调性，得到项之间的大小关系，再结合题干条件，即可求出范围，比较前2n 项和大小时，需灵活应用等差等比求和公式及性质，结合基本不等式进行分析，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.
5．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a = B ．954S =
C ．135********a a a a a ++++=
D ．
222
122019
20202019
a a a a a +++= 【答案】ACD 【分析】
由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】
对于A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对于B ，911235813+21+3488S =++++++=，故B 错误；
对于C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-，可得：
13520192426486202020182020a a a a a a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+-+-+-+
+-=，故C
正确.
对于D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2
121a a a =，
()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，
()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-，可得22212201920202019201920202019
a a a a a a a a
+++==，故D 正确；
故选：ACD. 【点睛】
本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换，属于中档题.
6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若831a =，10210S =，则（ ） A ．19919S a = B ．数列{}22n
a 是公比为8的等比数列
C ．若()1n
n
n
b a =-⋅，则数列{}n b 的前2020项和为4040
D ．若11n n n b a a +=
，则数列{}n b 的前2020项和为2020
24249
【答案】CD 【分析】
由等差数列性质可判断A ；结合已知条件可求出等差数列的公差，从而可求出通项公式以及22n a ，结合等比数列的定义可判断B ；写出n b ，由定义写出2020T 的表达式，进行分组求和即可判断C ；11144143n b n n ⎛⎫
=- ⎪-+⎝⎭
，裂项相消即可求和.
【详解】
由等差数列的性质可知，191019S a =，故A 错误；设{}n a 的公差为d ，则有
81101731
1045210
a a d S a d =+=⎧⎨
=+=⎩，解得13a =，4d =，故41n a n =-，28122n
a n -=， 则数列{}22
n
a 是公比为82的等比数列，故B 错误；若()
()()1141n
n
n
n b a n =-⋅=-⋅-，
则{}n b 的前2020项20203711158079410104040T =-+-+-⋅⋅⋅+=⨯=，故C 正确； 若()()1
111414344143n b n n n n ⎛⎫=
=- ⎪-+-+⎝⎭
，则{}n b 的前2020项和
2020111111120204377118079808324249T ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=
⎪⎝⎭，故D 正确． 故选:CD ． 【点睛】 方法点睛:
求数列的前n 项和常见思路有：1、对于等差和等比数列，直接结合求和公式求解；2、等差数列±等比数列时，常采取分组求和法；3、等差数列⨯等比数列时，常采取错位相减法；4、裂项相消法.
7．已知数列{}n a 满足11a =，()111n n na n a +-+=，*n N ∈，其前n 项和为n S ，则下列选项中正确的是（ ）
A ．数列{}n a 是公差为2的等差数列
B ．满足100n S <的n 的最大值是9
C ．n S 除以4的余数只能为0或1
D ．2n n S na = 【答案】ABC 【分析】
根据题意对()111n n na n a +-+=变形得()1111
111
n n a a n n n n n n +=-+-=++，进而根据累加法求得(
)*
21n a n n N =-∈，再依次讨论各选项即可得答案.
【详解】
解：因为()111n n na n a +-+=， 故等式两边同除以()1n n +得：
()1111
111
n n a a n n n n n n +=-+-=++， 所以
()1111111n n a a n n n n n n -=-----=，()()12111221211n n a a n n n n n n --=------=--，，
2111121122
a a =-⨯-= 故根据累加法得：
()11
121n a a n n
n =-≥-， 由于11a =，故()212n a n n =-≥，检验11a =满足， 故(
)*
21n a n n N
=-∈
所以数列{}n a 是公差为2的等差数列，故A 选项正确； 由等差数列前n 项和公式得：()
21212
n n n S n +-=
=，
故2
100n n S =<，解得：10n <，故满足100n S <的n 的最大值是9，故B 选项正确； 对于C 选项，当*
21,n k k N =-∈时，22441n n k S k ==-+，此时n S 除以4的余数只能为1；当*
2,n k k N =∈时，224n n k S ==，此时n S 除以4的余数只能0，故C 选项正
确；
对于D 选项，2
22n S n =，()2212n n n n n n a =-=-，显然2n n S na ≠，故D 选项错误.
故选：ABC 【点睛】
本题考查累加法求通项公式，裂项求和法，等差数列的相关公式应用，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于整理变形已知表达式得
()1111
111
n n a a n n n n n n +=-+-=++，进而根据累加法求得通项公式.
8．已知数列{}n a 中，11
2
a =
，且()11n n n a a a +=+，n *∈N ，则以下结论正确的是
（ ） A ．
11111
n n n a a a +=-+ B ．{}n a 是单调递增数列 C ．
21101
1111
11
1a a a a +++
>+++ D ．若121212011
1n n a a a
a a a ⎡⎤
+++
=⎢
⎥+++⎣⎦
，则122n =([]x 表示不超过x 的最大整数) 【答案】ABD 【分析】
利用裂项法可判断A 选项的正误；利用数列单调性的定义可判断B 选项的正误；利用裂项求和法可判断C 选项的正误；求出121211
1
n
n a a a
a a a +++
+++的表达式，可判断D 选项的正误. 【详解】
在数列{}n a 中，11
2
a =
，且()11n n n a a a +=+，n *∈N ，则()21110a a a =+>，()32210a a a =+>，
，依此类推，可知对任意的n *∈N ，0n a >.
对于A 选项，
()()()1111
11111
n n n n n n n n n a a a a a a a a a ++-===-+++，A 选项正确； 对于B 选项，2
10n n n a a a +-=>，即1n n a a +>，所以，数列{}n a 为单调递增数列，B 选项
正确；
对于C 选项，由A 选项可知，1
111
1n n n a a a +=-+， 所以，
12122310111111
1011
1
11111111111
1a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++
=-+-++-=-< ⎪ ⎪
⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 选项错误； 对于D 选项，
121223111
1111111111
11
1
1n n n n a a a a a a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++
=-+-++-=- ⎪ ⎪
⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，()()()1212
12121111
111
1
1111n n
n n a a a a a a a a a a a a +-+
++=+++
++++++-+-+
1
21
11111111
2111n n n n n n a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫=-++
+
=--=-+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，
由112a =，且()11n n n a a a +=+得234
a =，32116a =，
又{}n a 是单调递增数列，则3n ≥时，1n a >，则1
01n
a <<， 从而1122120n n n a +⎡⎤
-=-=⎢⎥⎣⎦
+
，得122n =，D 选项正确. 故选：ABD. 【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；
（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；
（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；
（4）对于11n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法
求和.
二、平面向量多选题
9．已知,a b 是单位向量，且(1,1)a b +=-，则( ) A ．||2a b += B ．a 与b 垂直
C ．a 与a b -的夹角为4
π
D ．||1a b -=
【答案】BC 【分析】
(1,1)a b +=-两边平方求出||2a b +=；利用单位向量模长为1，求出0a b ⋅=；
||a b -平方可求模长；用向量夹角的余弦值公式可求a 与a b -的夹角.
【详解】
由(1,1)a b +=-两边平方，得2222||21(12|)|a b a b ++⋅=+-=， 则||2a b +=
，所以A 选项错误；
因为,a b 是单位向量，所以1122a b ++⋅=，得0a b ⋅=，所以B 选项正确； 则222||22a b a b a b -=+-⋅=，所以||2a b -=
，所以D 选项错误；
2()cos ,2||||1a a b a a b a a b ⋅-〈-〉====-⨯，
所以，a 与a b -的夹角为4
π
.所以C 选项正确； 故选：BC. 【点睛】
本题考查平面向量数量积的应用. 求向量模的常用方法:
(1)若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式2+a x y ＝
(2)若向量a b ， 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式22
•a a a a ＝＝或
22
2
2
||)2?(a b a b a
a b b ＝＝＋，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求
解．
判断两向量垂直：根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． 解两个非零向量之间的夹角：根据公式•a b
cos a b ＝＝求解出这两个
向量夹角的余弦值.
10．已知向量()1,3OA =-，()2,1OB =-，()3,8OC t t =+-，若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数t 可以为（ ） A ．-2 B ．
1
2
C ．1
D ．-1
【答案】ABD 【分析】
若点A ，B ，C 能构成三角形，故A ，B ，C 三点不共线，即向量,AB BC 不共线，计算两个向量的坐标，由向量共线的坐标表示，即得解 【详解】
若点A ，B ，C 能构成三角形，故A ，B ，C 三点不共线，则向量,AB BC 不共线， 由于向量()1,3OA =-，()2,1OB =-，()3,8OC t t =+-， 故(3,4)AB OB OA =-=-，(5,9)BC OC OB t t =-=+- 若A ，B ，C 三点不共线，则 3(9)4(5)01t t t ---+≠∴≠ 故选：ABD 【点睛】
本题考查了向量共线的坐标表示，考查了学生转化划归，概念理解，数学运算能力，属于中档题.。