六、求函数的极值(共22张PPT)

导数的应用
六、求函数的极值
3、求极值的步骤：(1)求定义域; (2)求导; (3)解f’(x)=0 (并求出不可导点); (4)列表，根据单调性写出极值. 练习3、f(x)=x3+3ax2+3ax+1有极大值和极小值，求实数a的取 值范围. 分析：f’(x)=3x2+6ax+3a， 要有极大值和极小值，则方程 3x2+6ax+3a=0必须有两个不同实根. ∴△=36a2-36a>0 ，故 a<0 或a>1 设3x2+6ax+3a=0的两个根为x1, x2(x1< x2)， 由二次函数的图象知, 当x<x1时f’(x)>0; 当x1<x<x2时f’(x)<0; 当x>x2时f’(x)>0. ∴ f(x1)为极大值，f(x2)为极小 ∴a的取值范围是： { a| a<0 或a>1 }
∴当 x=-5时，f(x)有极大值，极大值为27 ; 当 x=-1时，f(x)有极小值，极小值为-5 .
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六、求函数的极值
3、求极值的步骤：(1)求定义域; (2)求导; (3)解f’(x)=0 (并求出不可导点); (4)列表，根据单调性写出极值. 练习1、求下列函数的极值： (1)f(x)=x3+9x2+15x+2; (2)f(x)=|x2-2x-3| 2-2x-3 x (x<-1或x>3) 2x-2 (x<-1或x>3) 解：(2) f(x)= ∴ f’(x)= -x2+2x+3 (-1≤x≤3) -2x+2 (-1<x<3) 令f’(x)=0，可得 x=1. 当x变化时，f’(x)、f(x)的变化情况如下表: x (-∞, -1) -1 (-1,1) 1 (1,3) 3 (3, +∞) f’(x) 不存在 + 0 - 不存在 + f(x) ↓ 0 ↑ 4 ↓ 0 ↑ ∴当 x=1时，f(x)有极大值，极大值为4.
2 处取得极小值，极小值 a
答案：(Ⅰ) 当a＞0时，f(x)在 x 1
2 a 2 ) (1 ln ) . 为 f (1 a 2 a
高考：(陕西08) 已知函数 f ( x )
当a≤0时，f(x)无极值.
kx 1 （c>0且c≠1，k∈R）恰有一 x2 c 个极大值点和一个极小值点，其中一个是x=-c． (1)求函数f(x)的另一个极值点； (2)求函数f(x)的极大值M和极小值m，并求M-m≥1时k的取值范围.
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六、求函数的极值
3、求极值的步骤：(1)求定义域; (2)求导; (3)解f’(x)=0 (并求出不可导点); (4)列表，根据单调性写出极值.
1 a ln(x 1)其中n∈N*,a为常数ห้องสมุดไป่ตู้ 高考：(山东08) 函数 f ( x ) n (1 x )
(Ⅰ)当n=2时，求函数f(x)的极值； (Ⅱ)当a=1时，证明：对任意的正整数n,当x≥2时,有f(x)≤x-1.
分析：f’(x)=3ax2+2bx+c， (1)∵ x<1时, f’(x)>0; 1<x<2时, f’(x)<0. ∴x=1时有最大值 ∴x0=1 a=2 3a+2b+c=0 (2)依题意，有 12a+4b+c=0 解得 b=-9 c=12 a+b+c=5
0
1
2
x
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六、求函数的极值
3、求极值的步骤：(1)求定义域; (2)求导; (3)解f’(x)=0 (并求出不可导点); (4)列表，根据单调性写出极值. 练习6、已知函数y=xf’(x)的图象如图所示(其中f’(x)是函数f(x) 的导函数)，下面四个图象中y=f(x)的图象大致是( C )
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六、求函数的极值
3、求极值的步骤：(1)求定义域; (2)求导; (3)解f’(x)=0 (并求出不可导点); (4)列表，根据单调性写出极值. 4、一般在，函数y=f(x)在一点的导数值为0是函数y=f(x)在这点 取极值的必要条件，而非充分条件. 当f’(x0)=0时， 若在x0左侧f’(x)>0，右侧f’(x)<0，则f(x0)为极大值; 若在x0左侧f’(x)<0，右侧f’(x)>0，则f(x0)为极小值. 问题： x=0是函数y=x3的极值点吗？ 练习2、(广东06)设函数f(x)=-x3+3x+2 分别在x1、x2处取得极小 值、极大值. xoy平面上点A、B的坐标分别为(x1,f(x1))、 (x2,f(x2))，该平面上动点P满足PA· PB=4，点Q是点P关 于直线y=2(x-4) 的对称点. 求： (1)点A、B的坐标 ；(2)动点Q的轨迹方程.
∴极大值为f(-1)=6，极小值为f(3)=-26. 4] (2)略. ( 1 , 4 5
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六、求函数的极值
3、求极值的步骤：(1)求定义域; (2)求导; (3)解f’(x)=0 (并求出不可导点); (4)列表，根据单调性写出极值. 练习1、求下列函数的极值： (1)f(x)=x3+9x2+15x+2; (2)f(x)=|x2-2x-3| 解：(1)f’(x)=3x2+18x+15 ，令f’(x)=0，可得 x1=-1，x2=-5. 当x变化时，f’(x)、f(x)的变化情况如下表: x (-∞, -5) f’(x) + f(x) ↑ -5 0 27 (-5,-1) -1 0 ↓ -5 (-1, +∞) + ↑
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六、求函数的极值
1、y=f(x)在点x=a的两边附近均有f(a)<f(x)，则f(a)为极小值； y=f(x)在点x=a的两边附近均有f(a)>f(x)，则f(a)为极大值. 函数在x= x1, x3, x5 取得极小值; 函数在x= x2, x4 取得极大值.
x1 x2 x3 x4 x5 x
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六、求函数的极值
3、求极值的步骤：(1)求定义域; (2)求导; (3)解f’(x)=0 (并求出不可导点); (4)列表，根据单调性写出极值. 练习4、已知f(x)=x3+ax2+bx+a2当x=1时有极值10，求实数 a、b的值. f’(1)=0 即 3+2a+b=0 2 分析：f’(x)=3x +2ax+b，则 1+a+b+a2=10 f(1)=10 a=4 a=-3 解得 或 b=-11 b=3 11 2 (1)若a=4, b=-11, 则 f’(x)=3x +8x -11, 解f’(x)=0得x=1或x= 3 11 当 <x<1时，f’(x)<0；当x>1时，f’(x)>0. 3 在x=1处取得极小值. (2)若a=-3, b=3, 则 f’(x)=3x2 -6x+3, 解f’(x)=0得x=1 当 x<1时，f’(x)>0；当x>1时，f’(x)>0. 故x=1处无极值. ∴a=4, b=-11.
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七、求函数的最值
1、若在定义域内，f(x0)≥f(x)，则f(x)在x=x0处取得最大值; 若在定义域内，f(x0)≤f(x)，则f(x)在x=x0处取得最小值. 2、求最值的步骤：(1)求极值; (2)闭区间：求端点函数值， 开区间:求两端极限; (3)比较各个值的大小. 练习2、求函数 f (x) 5x 2 x 3 4 x 的最大值和最小值. 分析：解x+3≥0和4-x≥0，得函数的定义域为[-3, 4]. 1 1 f '( x) 5 x 3 2 4 x ∴当-3 ≤x≤4时，f’(x)>0，即f(x)在定义域内是增函数. ∴当x=-3时，有最小值 15 7 ； 当x=4时，有最大值 20 7 .
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六、求函数的极值
3、求极值的步骤：(1)求定义域; (2)求导; (3)解f’(x)=0 (并求出不可导点); (4)列表，根据单调性写出极值. 练习2、(广东06)设函数f(x)=-x3+3x+2 分别在x1、x2处取得极小 值、极大值. xoy平面上点A、B的坐标分别为(x1,f(x1))、 (x2,f(x2))，该平面上动点P满足PA· PB=4，点Q是点P关 于直线y=2(x-4) 的对称点. 求： (1)点A、B的坐标 ；(2)动点Q的轨迹方程. 分析：(1) f’(x)=-3x2+3，令 -3x2+3=0，可得x=1，或x= -1 . x (-∞, -1) f’(x) f(x) ↓ -1 (-1,1) 0 + 0 ↑ 1 0 4 (1, +∞) ↓
2 2 1 -2 -1 01 2 -2 1 -2 -1 0 1 2 -2
4
2 1 -2 -1 0 1 -2
4 2
y=xf’(x)
1
-2 -2
-1 0
-1
-1
0
1
2
2
A
B
C
D
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七、求函数的最值
1、若在定义域内，f(x0)≥f(x)，则f(x)在x=x0处取得最大值; 若在定义域内，f(x0)≤f(x)，则f(x)在x=x0处取得最小值. 2、求最值的步骤：(1)求极值; (2)闭区间：求端点函数值， 开区间:求两端极限; (3)比较各个值的大小. 练习1、求函数 f ( x ) 100 x 2 的最大值和最小值. 分析：解100-x2≥0，得函数的定义域为[-10,10]. x f '( x) 令f’(x)=0，则x=0. 列表如下： 2 100 x x -10 (-10, 0) 0 (0, 10) 10 f’(x) + 0 f(x) 0 ↑ 10 ↓ 0 ∴当x=10或x=-10时，有最小值0； 当x=0时，有最大值10.
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六、求函数的极值
3、求极值的步骤：(1)求定义域; (2)求导; (3)解f’(x)=0 (并求出不可导点); (4)列表，根据单调性写出极值. 练习5、(北京06)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx 在点x0 处取得极大值 5，其导函数y=f’(x)的图象经过点(1,0), (2,0)，如图所示. y 求：(1)x0的值；(2)a,b,c的值.
2、f(x)在极小值x=a处有f’(a)=0，在a附近的左侧有f’(x)<0， 右侧有f’(x)>0. f(x)在极大值x=a处有f’(a)=0，在a附近的左侧有f’(x)>0， 右侧有f’(x)<0.
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六、求函数的极值
3、求极值的步骤：(1)求定义域; (2)求导; (3)解f’(x)=0 (并求出不可导点); (4)列表，根据单调性写出极值. 高考：(宁夏海南09)已知函数f(x)=x3-3ax2-9a2x+a3. (1)设a=1，求函数f(x)的极值； (2)若a> 1 ，且当x∈[1,4a]时，|f’(x)|≤12a 恒成立， 4 试确定a的取值范围. 解：(1)当a=1时，f’(x)=3x2-6x-9，令f’(x)=0，解得x1=-1，x2=3. 列表讨论f(x),f’(x)的变化情况： x (-∞, -1) f’(x) + f(x) ↑ -1 0 6 (-1,3) 3 0 ↓ -26 (3, +∞) + ↑
∴当x=-1时，f(x)有极小值f(-1)=0，x1= -1 ; 当x=1时，f(x)有极大值f(1)=4，x2= 1 . ∴可得坐标：A(-1,0)，B(1,4).
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六、求函数的极值
3、求极值的步骤：(1)求定义域; (2)求导; (3)解f’(x)=0 (并求出不可导点); (4)列表，根据单调性写出极值. 练习2、(广东06)设函数f(x)=-x3+3x+2 分别在x1、x2处取得极小 值、极大值. xoy平面上点A、B的坐标分别为(x1,f(x1))、 (x2,f(x2))，该平面上动点P满足PA· PB=4，点Q是点P关 于直线y=2(x-4) 的对称点. 求： (1)点A、B的坐标 ；(2)动点Q的轨迹方程. 分析：(2)设P(m,n)，Q(x,y)，则 PA· PB=(-1-m,-n)· (1-m,4-n)=m2-1+n2-4n=4 ① yn 1 ② ∵Q是P关于直线y=2(x-4) 的对称点 ∴kPQ· 2=-1, 则 xm 2 yn xm 2 4 ③ ∴P、Q中点亦在直线y=2(x-4)上，即 2 2 3 x 4 y 32 4 x 3 y 26 ∴解②③组成的方程组得 m ,n 5 5 2 2 代入①得 (x-8) +(y+2) =9