机械工程控制基础拉氏变换课件
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机械工程控制基础
拉氏变换
补充内容：拉氏变换:拉普拉斯
为什么要进行拉氏变换呢？？
在数学运算中，为了把较复杂的运算转化为较简单的运算， 常常采用一种变换手段。如： 要求式子 f a b 的乘积，那么我们可以通过求
lg f lg(a b) lg a lg b c
的方式，然后将所得的结果进行反对数即可。即将乘法运算 转换成加法运算。即
部分分式法
机械工程控制基础
F (s)是复数s的有理代数式，可表示 为：
拉氏变换
B( s) bm s m bm1s m1 b0 F ( s) n n 1 A( s) an s an1s a0 K ( s z1 )(s z2 ) ( s zn ) ( s p1 )(s p2 ) ( s pn )
当初始条件为0，即：
f (0) f (0) f (0) f ( n1) (0) 0
L[ f
( n)
(t )] s F (s)
n
机械工程控制基础
证明：
拉氏变换
L[ f (t)] f (t)e st dt e st d(f(t))
0 0
原函数平移 a 像函数乘以 e-as
机械工程控制基础
３) 周期函数的拉氏变换
拉氏变换
设 f t 的周期为T，则f t nT f t
1 L[ f (t )] sT 1 e
T
0
f (t )e dt
st
证略
机械工程控制基础
L[e
at
拉氏变换
4) 复数域的位移定理（衰减定理）
as 机械工程控制基础 L[ f (t a)] e F (s)
拉氏变换
２) 延时定理
L[ f (t a )] f (t a )e st dt 令：t t a
0
0
f (t a )e st dt
a
f (t )e s ( t a ) dt
式中：s=σ+jω（σ，ω均为实数）； F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数; f(t)称为F(s)的原函数；L为拉氏变换的符号。
机械工程控制基础
几种典型环节的拉氏变换：
1、单位阶跃函数
拉氏变换
0
F (s) f (t )est dt
0 u(t ) 1
t 0 t 0
称为复数A的虚部，表示为 =Im[A]
机械工程控制基础
2) 复数的表示方法
+j
b
0
拉氏变换 模
A
A
幅角
a
+1
a. 点表示法
( ， ) b. 向量表示法（极径）
A cos A sin
A a b
2 2
b tan a
机械工程控制基础
拉氏变换
c.三角表示法和指数表示法
e
st
f(t) f(t)d(e )
st 0 0
f(0) ( s) f(t) e st dt
0
sF(s) f(0)
机械工程控制基础 多重微分
拉氏变换
原函数的高阶导数 像函数 中s的高次代数式
机械工程控制基础
7) 积分定理
L[
t 0
从数学的角度讲：拉普拉斯变换是求解微分方程的得 力工具
机械工程控制基础
2 拉氏变换的定义
设函数f(t)满足：
1f(t)实函数； 2当t<0时 ， f(t)=0； 3当t0时，f(t)的积分 具有有限个第一类间断点
拉氏变换
0
st s的某一域内收敛, f (t )e在 dt
则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：
t f (t ) 的拉氏变换
d L[t f (t )] F ( s) ds
11)
拉氏变换
f(t) t
的拉氏变换
f (t ) L[ ] F ( s )ds s t
机械工程控制基础
12) 卷积定理
拉氏变换
若L[ f (t )] F ( s)，L[ g (t )] G( s) 则有 L[ f (t ) g ( )d ] F ( s) G( s)
0 t
t
0
f (t ) g ( )d f (t ) * g (t ), 称为f (t )和g (t )的卷积
机械工程控制基础
5 拉氏逆变换的数学方法
拉氏变换
F (s) f (t )
查表法 适用于比较简单的象函数。
有理函数法
根据拉氏反变换公式。
通过代数运算，先将一个复杂 的象函数化为数个简单的部分 分式之和，再分别求出各个分 式的原函数。
拉 氏 变 换 后
时域
(ms cs k )Y (s) (cs k ) X (s)
2
复数域
从而使运算方便，使系统的分析大大简化。
机械工程控制基础
拉氏变换
本章介绍的内容：
1） 复习有关复数和复变函数
2） 介绍拉氏变换的定义
3） 介绍一些典型时间函数的拉氏变换
4） 介绍拉氏变换的性质以及拉氏反变换的方法
机械工程控制基础拉氏变换多重积分多重积分原函数的原函数的nn重积分重积分像函数中除以像函数中除以ssnn机械工程控制基础拉氏变换机械工程控制基础拉氏变换初值定义证明机械工程控制基础拉氏变换机械工程控制基础拉氏变换10的拉氏变换11的拉氏变换机械工程控制基础拉氏变换12卷积定理的卷积机械工程控制基础拉氏变换适用于比较简单的象函数
s
拉氏变换
0
f (t )e st dt 0
L[ f (t )] sF (s) f (0)
证明：
机械工程控制基础
9) 终值定理
拉氏变换 若L[ f (t )] F ( s ),，则
lim f (t ) lim sF ( s )
t s 0
机械工程控制基础
10)
拉氏变换
1 1 ( 1) f (t )dt ] F ( s) f (0 ) s s
如果 f ( 1) (0 ) 0
证明：
L[
t
0
F (s) f (t )dt ] s
机械工程控制基础
多重积分
L[
t 0 0
拉氏变换
t
t
0
1 1 ( 1) 1 (n) f (t )(dt ) ] n F ( s ) n 1 f (0 ) f (0 ) s s s
t L[ f ( )] aF (as ) a
１
机械工程控制基础
6) 微分定理
拉氏变换
st L[ f (t )] f (t )e dt sF (s) f (0) 0
L[ f
( n)
(t )] s F (s) s
n
n1
f (0) f
( n1)
(0)
n
L[
t
0 0
t
t
0
1 f (t )(dt ) ] n F ( s) s
n
原函数的n重积分像函数中除以sn
机械工程控制基础
8) 初值定理
拉氏变换
若L[ f (t )] F ( s ),则 f (0) lim f (t ) lim sF ( s )
t 0 s
机械工程控制基础 lim 初值定义证明
将上式化为部分分式之和，有2种情况： 1. F(s)无重极点的情况； 2. F(s)有重极点的情况。
nm
机械工程控制基础
一、F(s)无重极点的情况
Kn B( s ) K1 K2 F ( s) A( s) ( s p1 ) ( s p2 ) ( s pn )
拉氏变换
( K1 , K 2 K n为代定系数)
s t
F ( s) L [ (t )] (t )e
0
dt
e
s t
t 0
0
(t ) d t 1
机械工程控制基础
3、单位斜坡（单位速度）
拉氏变换
0 f (t ) t
t 0 t 0
0
Laplace变换
1 2 s
F s Lt te dt
st
t st 1 st 1 e e dt 2 s s0 s 0
机械工程控制基础
拉氏变换的性质
1) 线性性质
拉氏变换
f1 (t ) F1 ( s) f 2 (t ) F2 ( s)
L[k1 f1 (t ) k2 f 2 (t )] k1L[ f1 (t )] k2 L[ f 2 (t )] k1F1 (s) k2 F2 (s)
f lg1 c
，是将除法运算转换成减法运算。 对于 f a / b
机械工程控制基础
拉氏变换
那么，引用拉氏变换也与用对数变换计算数量的乘积和商一样。 可以将常微分方程变成代数方程，得到解后，再经过逆变换，才 得到真正的解。 拉氏变换的指导思想。
(t ) cy (t ) ky(t ) cx (t ) kx(t ) m y
则当
s z1 , z 2
时，
G( s) 0 则称
z1 , z 2
为
G( s)的零点，当 s 0, p1 , p2时，G(s) , 则称0，p1 , p2 pn为G(s)的极点。
机械工程控制基础
引入拉普拉斯变化的目的
拉氏变换
用微分方程描述工程系统控制问题
缺点：因为含有输入变量和输出变量的各阶导数， 并不能提供系统性能的直观表象 仅当它的解被求出后才能直观表征：输出变量的特性
A Ae
j
（指数式）
A A cos j A sin （三角式）
机械工程控制基础
有复数
拉氏变换
3) 复变函数、极点与零点的概念
s j ，以s为自变量，按某一确定法则
构成的函数为复变函数，记作：
G( s) u jv
若
K ( s z1 )(s z2 ) ( s zm ) G( s) s( s p1 )(s p2 ) ( s pn )
证明：
f (t )] F (s a)
L[e
at
f(t)] e
0 (s a)t
at
f(t)e dt
st
f(t)e
0
dt
原函数乘以指数函数e-at 像函数在复数域中作位移a
F(s a)
机械工程控制基础
拉氏变换
5) 时间尺度定理（相似定理）
1 s L[ f (at )] F ( ) a a
s3 c1 (s 1) 2 (s 1)(s 2) s 1 s3 c2 (s 2) -1 (s 1)(s 2) s 2 2 1 F(s) (s 1) (s 2) L1 F(s) 2e t e 2t
例题分析
5） 介绍用拉变换解微分方程的方法。
机械工程控制基础 b
1 复数和复变函数
1) 复数的概念 复数 s j
0
+j
拉氏变换 模
A
A
a
幅角
+1
j 1 为虚单位，当两个复数相等时，则实部和虚部
都分别相等。一个复数为零，则实部和虚部均必须为零。
称为复数A的实部，表示为 =Re[A] 其中：
a
0
f (t )e s ( t a ) dt f (t )e s ( t a ) dt f (t )e s ( t a ) dt
0 0
e
sa
0
st f (t )e dt e sa L[ f (t )] e sa F(s)
Laplace变换
1 s
s t
F ( s ) L [u (t )] u (t )e
0
dt 1 s
e
0
s t
1 s t dt e s
0
机械工程控制基础
2、单位脉冲函数
(t ) 0
拉氏变换
Laplace变换 t 0 且满足 (t )dt 1 － t0
机械工程控制基础
二、F(s)有重极点的情况
拉氏变换
假设F(s)有r个重极点p1,其余极点都不相同，则 B( s ) B( s ) F ( s) A( s) an ( s p1 ) r ( s pr 1 ) ( s pn )
Kn K11 K12 K1r K r 1 ( s p1 ) r ( s p1 ) r 1 ( s p1 ) s pr 1 s pn
B( s) K1 ( s p1 ) A( s ) s p1
B( s) K2 ( s p2 ) A( s ) s p2
B( s) Ki ( s pi ) A( s ) s pi
机械工程控制基础
求下列公式的拉 氏逆变换
拉氏变换
s3 F(s) (s 1)(s 2) s3 c1 c2 F(s) (s 1)(s 2) (s 1) (s 2)
拉氏变换
补充内容：拉氏变换:拉普拉斯
为什么要进行拉氏变换呢？？
在数学运算中，为了把较复杂的运算转化为较简单的运算， 常常采用一种变换手段。如： 要求式子 f a b 的乘积，那么我们可以通过求
lg f lg(a b) lg a lg b c
的方式，然后将所得的结果进行反对数即可。即将乘法运算 转换成加法运算。即
部分分式法
机械工程控制基础
F (s)是复数s的有理代数式，可表示 为：
拉氏变换
B( s) bm s m bm1s m1 b0 F ( s) n n 1 A( s) an s an1s a0 K ( s z1 )(s z2 ) ( s zn ) ( s p1 )(s p2 ) ( s pn )
当初始条件为0，即：
f (0) f (0) f (0) f ( n1) (0) 0
L[ f
( n)
(t )] s F (s)
n
机械工程控制基础
证明：
拉氏变换
L[ f (t)] f (t)e st dt e st d(f(t))
0 0
原函数平移 a 像函数乘以 e-as
机械工程控制基础
３) 周期函数的拉氏变换
拉氏变换
设 f t 的周期为T，则f t nT f t
1 L[ f (t )] sT 1 e
T
0
f (t )e dt
st
证略
机械工程控制基础
L[e
at
拉氏变换
4) 复数域的位移定理（衰减定理）
as 机械工程控制基础 L[ f (t a)] e F (s)
拉氏变换
２) 延时定理
L[ f (t a )] f (t a )e st dt 令：t t a
0
0
f (t a )e st dt
a
f (t )e s ( t a ) dt
式中：s=σ+jω（σ，ω均为实数）； F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数; f(t)称为F(s)的原函数；L为拉氏变换的符号。
机械工程控制基础
几种典型环节的拉氏变换：
1、单位阶跃函数
拉氏变换
0
F (s) f (t )est dt
0 u(t ) 1
t 0 t 0
称为复数A的虚部，表示为 =Im[A]
机械工程控制基础
2) 复数的表示方法
+j
b
0
拉氏变换 模
A
A
幅角
a
+1
a. 点表示法
( ， ) b. 向量表示法（极径）
A cos A sin
A a b
2 2
b tan a
机械工程控制基础
拉氏变换
c.三角表示法和指数表示法
e
st
f(t) f(t)d(e )
st 0 0
f(0) ( s) f(t) e st dt
0
sF(s) f(0)
机械工程控制基础 多重微分
拉氏变换
原函数的高阶导数 像函数 中s的高次代数式
机械工程控制基础
7) 积分定理
L[
t 0
从数学的角度讲：拉普拉斯变换是求解微分方程的得 力工具
机械工程控制基础
2 拉氏变换的定义
设函数f(t)满足：
1f(t)实函数； 2当t<0时 ， f(t)=0； 3当t0时，f(t)的积分 具有有限个第一类间断点
拉氏变换
0
st s的某一域内收敛, f (t )e在 dt
则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：
t f (t ) 的拉氏变换
d L[t f (t )] F ( s) ds
11)
拉氏变换
f(t) t
的拉氏变换
f (t ) L[ ] F ( s )ds s t
机械工程控制基础
12) 卷积定理
拉氏变换
若L[ f (t )] F ( s)，L[ g (t )] G( s) 则有 L[ f (t ) g ( )d ] F ( s) G( s)
0 t
t
0
f (t ) g ( )d f (t ) * g (t ), 称为f (t )和g (t )的卷积
机械工程控制基础
5 拉氏逆变换的数学方法
拉氏变换
F (s) f (t )
查表法 适用于比较简单的象函数。
有理函数法
根据拉氏反变换公式。
通过代数运算，先将一个复杂 的象函数化为数个简单的部分 分式之和，再分别求出各个分 式的原函数。
拉 氏 变 换 后
时域
(ms cs k )Y (s) (cs k ) X (s)
2
复数域
从而使运算方便，使系统的分析大大简化。
机械工程控制基础
拉氏变换
本章介绍的内容：
1） 复习有关复数和复变函数
2） 介绍拉氏变换的定义
3） 介绍一些典型时间函数的拉氏变换
4） 介绍拉氏变换的性质以及拉氏反变换的方法
机械工程控制基础拉氏变换多重积分多重积分原函数的原函数的nn重积分重积分像函数中除以像函数中除以ssnn机械工程控制基础拉氏变换机械工程控制基础拉氏变换初值定义证明机械工程控制基础拉氏变换机械工程控制基础拉氏变换10的拉氏变换11的拉氏变换机械工程控制基础拉氏变换12卷积定理的卷积机械工程控制基础拉氏变换适用于比较简单的象函数
s
拉氏变换
0
f (t )e st dt 0
L[ f (t )] sF (s) f (0)
证明：
机械工程控制基础
9) 终值定理
拉氏变换 若L[ f (t )] F ( s ),，则
lim f (t ) lim sF ( s )
t s 0
机械工程控制基础
10)
拉氏变换
1 1 ( 1) f (t )dt ] F ( s) f (0 ) s s
如果 f ( 1) (0 ) 0
证明：
L[
t
0
F (s) f (t )dt ] s
机械工程控制基础
多重积分
L[
t 0 0
拉氏变换
t
t
0
1 1 ( 1) 1 (n) f (t )(dt ) ] n F ( s ) n 1 f (0 ) f (0 ) s s s
t L[ f ( )] aF (as ) a
１
机械工程控制基础
6) 微分定理
拉氏变换
st L[ f (t )] f (t )e dt sF (s) f (0) 0
L[ f
( n)
(t )] s F (s) s
n
n1
f (0) f
( n1)
(0)
n
L[
t
0 0
t
t
0
1 f (t )(dt ) ] n F ( s) s
n
原函数的n重积分像函数中除以sn
机械工程控制基础
8) 初值定理
拉氏变换
若L[ f (t )] F ( s ),则 f (0) lim f (t ) lim sF ( s )
t 0 s
机械工程控制基础 lim 初值定义证明
将上式化为部分分式之和，有2种情况： 1. F(s)无重极点的情况； 2. F(s)有重极点的情况。
nm
机械工程控制基础
一、F(s)无重极点的情况
Kn B( s ) K1 K2 F ( s) A( s) ( s p1 ) ( s p2 ) ( s pn )
拉氏变换
( K1 , K 2 K n为代定系数)
s t
F ( s) L [ (t )] (t )e
0
dt
e
s t
t 0
0
(t ) d t 1
机械工程控制基础
3、单位斜坡（单位速度）
拉氏变换
0 f (t ) t
t 0 t 0
0
Laplace变换
1 2 s
F s Lt te dt
st
t st 1 st 1 e e dt 2 s s0 s 0
机械工程控制基础
拉氏变换的性质
1) 线性性质
拉氏变换
f1 (t ) F1 ( s) f 2 (t ) F2 ( s)
L[k1 f1 (t ) k2 f 2 (t )] k1L[ f1 (t )] k2 L[ f 2 (t )] k1F1 (s) k2 F2 (s)
f lg1 c
，是将除法运算转换成减法运算。 对于 f a / b
机械工程控制基础
拉氏变换
那么，引用拉氏变换也与用对数变换计算数量的乘积和商一样。 可以将常微分方程变成代数方程，得到解后，再经过逆变换，才 得到真正的解。 拉氏变换的指导思想。
(t ) cy (t ) ky(t ) cx (t ) kx(t ) m y
则当
s z1 , z 2
时，
G( s) 0 则称
z1 , z 2
为
G( s)的零点，当 s 0, p1 , p2时，G(s) , 则称0，p1 , p2 pn为G(s)的极点。
机械工程控制基础
引入拉普拉斯变化的目的
拉氏变换
用微分方程描述工程系统控制问题
缺点：因为含有输入变量和输出变量的各阶导数， 并不能提供系统性能的直观表象 仅当它的解被求出后才能直观表征：输出变量的特性
A Ae
j
（指数式）
A A cos j A sin （三角式）
机械工程控制基础
有复数
拉氏变换
3) 复变函数、极点与零点的概念
s j ，以s为自变量，按某一确定法则
构成的函数为复变函数，记作：
G( s) u jv
若
K ( s z1 )(s z2 ) ( s zm ) G( s) s( s p1 )(s p2 ) ( s pn )
证明：
f (t )] F (s a)
L[e
at
f(t)] e
0 (s a)t
at
f(t)e dt
st
f(t)e
0
dt
原函数乘以指数函数e-at 像函数在复数域中作位移a
F(s a)
机械工程控制基础
拉氏变换
5) 时间尺度定理（相似定理）
1 s L[ f (at )] F ( ) a a
s3 c1 (s 1) 2 (s 1)(s 2) s 1 s3 c2 (s 2) -1 (s 1)(s 2) s 2 2 1 F(s) (s 1) (s 2) L1 F(s) 2e t e 2t
例题分析
5） 介绍用拉变换解微分方程的方法。
机械工程控制基础 b
1 复数和复变函数
1) 复数的概念 复数 s j
0
+j
拉氏变换 模
A
A
a
幅角
+1
j 1 为虚单位，当两个复数相等时，则实部和虚部
都分别相等。一个复数为零，则实部和虚部均必须为零。
称为复数A的实部，表示为 =Re[A] 其中：
a
0
f (t )e s ( t a ) dt f (t )e s ( t a ) dt f (t )e s ( t a ) dt
0 0
e
sa
0
st f (t )e dt e sa L[ f (t )] e sa F(s)
Laplace变换
1 s
s t
F ( s ) L [u (t )] u (t )e
0
dt 1 s
e
0
s t
1 s t dt e s
0
机械工程控制基础
2、单位脉冲函数
(t ) 0
拉氏变换
Laplace变换 t 0 且满足 (t )dt 1 － t0
机械工程控制基础
二、F(s)有重极点的情况
拉氏变换
假设F(s)有r个重极点p1,其余极点都不相同，则 B( s ) B( s ) F ( s) A( s) an ( s p1 ) r ( s pr 1 ) ( s pn )
Kn K11 K12 K1r K r 1 ( s p1 ) r ( s p1 ) r 1 ( s p1 ) s pr 1 s pn
B( s) K1 ( s p1 ) A( s ) s p1
B( s) K2 ( s p2 ) A( s ) s p2
B( s) Ki ( s pi ) A( s ) s pi
机械工程控制基础
求下列公式的拉 氏逆变换
拉氏变换
s3 F(s) (s 1)(s 2) s3 c1 c2 F(s) (s 1)(s 2) (s 1) (s 2)