2021年河南省开封市中考数学一模试卷(附详解)

2021年河南省开封市中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.下列各数中，最小的数是()
A. 2
B. 0
C. −1
D. |−3|
2.2021年清明文化节期间，古城开封累计接待游客121.76万人次，与2019年同期相
比增长45.13%；实现综合收入5.27亿元，同比增长14.1%，数据121.76万用科学记数法表示为()
A. 121.76×104
B. 1.2176×106
C. 1.2176×107
D. 0.12176×108
3.“疫情就是命令，防控就是责任”，面对疫情，各地积极普及科学防控知识．下面
是科学防控知识图片，其中图案是轴对称图形的是()
A. B. C. D.
4.如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的
数字表示在该方块的个数，则这个几何体的左视图为()
A.
B.
C.
D.
5.下列运算正确的是()
A. x8÷x2=x4
B. √4+√9=√4+9
)−1=−3
C. (−2a2)3=−8a6
D. (−1)0−(1
2
6.如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1=25°30′，
则下列结论中不正确的是()
A. ∠1=∠3
B. ∠2=45°
C. ∠AOD与∠1互为补角
D. ∠3的余角等于65°30′
7.定义运算：a☆b=(a+b)2−ab+1.例如：3☆2=(3+2)2−3×2+1=20.则
方程x☆1=0的根的情况为()
A. 无实数根
B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根
D. 有两个不相等的实数根
AC的
8.如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于1
2
长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，交AC
于点E，AE=3，△ABD的周长为13，则△ABC的周长是
()
A. 16
B. 17
C. 18
D. 19
9.如图，在平面直角坐标系xOy中，将四边形ABCD先向上平移，再向左平移得到四
边形A1B1C1D1，已知A1(−3,5)，B1(−4,3)，A(3,3)，则点B坐标为()
A. (1,2)
B. (2,1)
C. (1,4)
D. (4,1)
10.小明周末前往游乐园游玩，他乘坐了摩天轮，摩天轮转一圈，他离地面高度y(m)与
x2+bx+c来刻画．如图记录了该摩旋转时x(s)之间的关系可以近似地用y=−1
40
天轮旋转时x(s)和离地面高度y(m)的三组数据，根据上述函数模型和数据，可以推断出：当小明乘坐此摩天轮离地面最高时，需要的时间为()
A. 172s
B. 175s
C. 180s
D. 186s
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11.一元二次方程x2=x的解为______．
12.经过某十字路口的汽车，可直行，也可向左转或向右转，如果这三种可能性大小相
同，则两辆汽车经过该十字路口时都直行的概率是______．
13.如图数轴上两点A，B表示的数分别是1，3，点C在数轴上，若BC=2AB，则点C表
示的数为______．
14.如图，在平面直角坐标中，一次函数y=−4x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B
(k≠0)的两点．正方形ABCD的顶点C、D在第一象限，顶点D在反比例函数y=k
x 图象上．若正方形ABCD向左平移n个单位后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是______．
15.如图，扇形AOB中，OA=3，∠AOB=60°，点C是AB⏜上
的一个定点(不与A，B重合)，点D，E分别是OA，OB上
的动点，则△CDE周长的最小值为______．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）
16.下面是某同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
分式化简：1
x+2−1
x−1
÷x2+2x
x2−2x+1
．
解：原式=1
x+2−1
x−1
⋅(x−1)2
x(x+2)
第一步
=1
x+2−x−1
x(x+2)
第二步
=x
x(x+2)−x−1
x(x+2)
第三步
=x−x−1
x(x+2)
第四步
=−1
x2+2x
第五步
任务一：填空：第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______．
任务二：请写出本题化简后的正确结果，并从不等式组{x+3≥1
−1
2
x+1>0的解集中选取
一个合适的整数作为x的值，代入求值．
任务三：请你根据平时的学习经验，就分式的化简时应注意的事项给其他同学提两条建议．
17.红树林学校在七年级新生中举行了全员参加的“防溺水”安全知识竞赛，试卷题目
共10题，每题10分．现分别从三个班中各随机取10名同学的成绩(单位：分)，收集
数据如下：
1班：90，70，80，80，80，80，80，90，80，100；
2班：70，80，80，80，60，90，90，90，100，90；
3班：90，60，70，80，80，80，80，90，100，100．
整理数据：
分析数据：
根据以上信息回答下列问题：
(1)请直接写出表格中a，b，c，d的值；
(2)比较这三组样本数据的平均数、中位数和众数，你认为哪个班的成绩比较好？
请说明理由；
(3)为了让学生重视安全知识的学习，学校将给竞赛成绩满分的同学颁发奖状，该
校七年级新生共570人，试估计需要准备多少张奖状？
18.被誉为“天下第一塔”的开封铁塔，八角十三层，其设计精巧，单是塔砖就有数十
种图案，它历经战火、水患、地震等灾害，依然屹立．某数学兴趣小组通过调查研
究把“如何测量铁塔的高度”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间实地测量．
课题测量铁塔的高度
测量
工具
测量角度的仪器，皮尺等
测量方案在点C处放置高为1.3米高的测角仪，此时测得塔顶端A的
仰角为58°，再沿BC方向走20.5米到达点E处，此时测得
塔顶端A的仰角为45°．
说明：点E、C、B三
点在同一水平线
上．
(1)请你根据表中信息帮助该数学兴趣小组求铁塔的高度．
(精确到0.1米，参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60)
(2)景点介绍开封铁塔的高度为55.88米，则计算结果的误差为多少？请你说出一条
导致计算结果产生误差的原因可能是什么？
19.如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，点P是半
径OB上一动点(不与O，B重合)，过点P作射线l⊥AB，
分别交弦BC，BC⏜于D，E两点，在射线l上取点F，使
FC=FD．
(1)求证：FC是⊙O的切线．
(2)当点E是BC⏜的中点时，若∠BAC=60°，判断以O，
B，E，C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由．
20.疫情防控期间，某校校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，完成1间
办公室和1间教室的喷洒共需8min；完成2间办公室和3教室的喷洒共需21min．
(1)该校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各需多少时间？
(2)消毒药物在一间教室内空气中的浓度y(单位：mg/m3)与时间x(单位：min)的
函数关系如图所示，校医进行药物喷洒时y与x的函数关系式为y=2x，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为点A(m,n).当教室空气中的药物浓度不高于1mg/m3时，对人体健康无危害，校医依次对(1)班至(11)班教室(共11间)进行药物喷洒消毒，当把最后一间教室药物喷洒完成后，(1)班学生能否进入教室？请通过计算说明．
21.在平面直角坐标系xOy中，y=mx2−2mx+1(m<0)与x轴的交点为A，B，与y轴
交于点C．
(1)求抛物线的对称轴和点C坐标．
(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围
成的区域为图形W(不含边界)．
①当m=−1时，求图形W内的整点个数；
②若图形W内有2个整点，求m的取值范围．
22.如图，在等腰△ABC中，AC=BC=6cm，AB=8cm.P是线段AB上一动点，取BC
的中点D，连接PC，PD．
小刚根据学习函数的经验，对线段AP，PD，PC的长度之间的关系进行探究．下面是小刚的探究过程，请补充完整：
(1)观察计算：根据点P在线段AB上的不同位置，通过取点，画图和测量，得到了AP，
PD，PC的长度(单位：cm)的几组值，如表：
位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9
AP0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.07.08.0
PD 6.4 5.5 4.6 3.8a 2.5 2.2 2.5 3.0
PC 6.0 5.4 4.9 4.6 4.5 4.6 4.9 5.4 6.0
(2)操作发现：
①在AP，PD，PC的长度这三个量中，确定______的长度为自变量，______的长度
和______的长度分别都为这个自变量的函数．
②当P为AB的中点时，PD的长是一个固定的值．请求出表中a的值为______．
(3)描点画图：在同一平面直角坐标系xOy中，根据(1)表格中的数据，画出所确定
的函数图象．
(4)解决问题：直接写出：当△PCD为等腰三角形时，线段PD的长度的近似值．(结
果保留一位小数)
23.如图：两个菱形ABCD与菱形BEFG的边AB，BE在同一条直线上，边长分别为a和b，
点M为CG的中点．
(1)观察猜想：
如图①，线段BM与线段AE的数量关系是______．
(2)拓展探究：
如图②，∠ABC=120°，将图①中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转至图②位置，其他条件不变，连接BM，
①猜想线段BM与线段AE的数量关系，并说明理由．
②求出线段BM与AE所成的最小夹角．
(3)解决问题：
如图③，若将题目中的菱形改为矩形，且BC
AB =EF
BE
=√3，请直接写出线段BM与线
段AE的数量关系．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵|−3|=3，
∴−1<0<2<|−3|，
∴最小的数是−1．
故选：C．
根据正数都大于0，负数都小于0，即可得出答案．
本题考查了有理数的大小比较．解题的关键是明确有理数的大小比较法则是：正数都大于0，负数都小于0，负数都小于正数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
2.【答案】B
【解析】解：121.76万=1217600=1.2176×106．
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
3.【答案】A
【解析】解：选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是做轴对称图形；
选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是做轴对称图形；
故选：A．
结合轴对称图形的概念进行求解即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可
重合．
4.【答案】B
【解析】解：左视图是从左边看到的平面图形，发现从左面看一共有三列，左边一列有1个正方形，中间一列有3个正方形，右边一列有2个正方形，
故选：B．
根据各层小正方体的个数，综合三视图的知识，在这个几何体中，根据各层小正方体的个数可得：左视图左边一列有1个正方形，中间一列有3个正方形，右边一列有2个正方形，即可得出答案．
此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
5.【答案】C
【解析】解：A：原式=x6，∴不符合题意；
B：原式=2+3=5，∴不符合题意；
C：原式=−8a6，∴符合题意；
D：原式=1−2=−1，∴不符合题意；
故选：C．
A：根据同底数幂的除法计算；
B：化简二次根式计算；
C：根据积的乘方计算；
D：根据负整数指数幂、零指数幂计算；
本题主要考查了同底数幂的除法、负整数指数幂、零指数幂、积的乘方、二次根式加减，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：A、∠1与∠3互为对顶角，因而相等，正确；
B、由OE⊥AB，可知∠AOE=90°，OF平分∠AOE，则∠2=45°，正确；
C、∠AOD与∠1互为邻补角，正确；
D、∵∠3+65°30′=25°30′+65°30′=91°，
∴∠3的余角等于65°30′，不成立．
故选：D．
根据角平分线性质、对顶角性质、互余、互补角的定义，逐一判断．
本题主要考查邻补角以及对顶角的概念，和为180°的两角互补，和为90°的两角互余．
7.【答案】A
【解析】解：由新定义得：(x+1)2−x+1=0，
整理得：x2+x+2=0，
∵Δ=12−4×1×2=−7<0，
∴方程无实数根．
故选：A．
利用新定义得到x2+x+2=0，然后利用Δ>0可判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
8.【答案】D
【解析】解：根据作图知DE垂直平分线段AC，
∴DA=DC，AE+EC=6，
∵AB+AD+BD=13，
∴AB+BD+DC=13，
∴△ABC的周长=AB+BD+BC+AC=13+6=19，
故选：D．
利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题．
本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型．
9.【答案】B
【解析】解：由题意A 1(−3,5)向右平移6个单位，再向下平移2个单位得到A(3,3)， ∴B 1(−4,3)向右平移6个单位，再向下平移2个单位得到B(2,1)，
故选：B ．
利用平移规律解决问题即可．
本题考查坐标与图形变化−平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
10.【答案】C
【解析】解：把(160,60)，(190,67.5)分别代入y =−140x 2+bx +c 得，
{−140×1602+160b +c =60−140×1902+190b +c =67.5
， 解得{b =9c =−740
， ∴抛物线的解析式为y =−140x 2+9x −740，
∴该铅球飞行到最高点时，需要的时间为−9
2×(−140)=180(s)，
故选：C ．
把(160,60)，(190,67.5)分别代入y =−140x 2+bx +c ，求得二次函数的解析式，利用二次函数的性质即可解决问题．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建二次函数解决问题，属于选择题中的压轴题．
11.【答案】x 1=0，x 2=1
【解析】解：x 2=x ，
移项得：x 2−x =0，
∴x(x −1)=0，
x =0或x −1=0，
∴x 1=0，x 2=1．
故答案为：x 1=0，x 2=1．
首先把x 移项，再把方程的左面分解因式，即可得到答案．
此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，关键是把方程的右面变为0．
12.【答案】1
9
【解析】
【分析】
本题考查了列表法与树状图法，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果数n，再从中选出符合事件A的结果数m，然后利用概率公式计算事件A的概率．
画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两辆汽车经过该十字路口都直行的结果数．然后根据概率公式求解．
【解答】
解：画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两辆汽车都直行的结果数为1，
，
则两辆汽车都直行的概率为1
9
故答案为：1
．
9
13.【答案】7或−1
【解析】解：∵数轴上两点A，B表示的数分别是1，3，
∴AB=2，
设点C表示的数为x，
∵BC=2AB，
∴|x−3|=2×2，
解得：x=7或−1，
故答案为：7或−1．
根据题意求出线段AB的长，再根据BC=2AB即可解答．
本题考查了数轴，所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数，一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．
14.【答案】3
【解析】解：过点D作DE⊥x轴，过点C作CF⊥y轴，
∵AB⊥AD，
∴∠BAO=∠DAE，
∵AB=AD，∠BOA=∠DEA，
∴△ABO≌△DAE(AAS)，
∴AE=BO，DE=OA，
易求A(1,0)，B(0,4)，
∴D(5,1)，
∵顶点D在反比例函数y=k
上，
x
∴k=5，
∴y=5
，
x
易证△CBF≌△BAO(AAS)，
∴CF=4，BF=1，
∴C(4,5)，
∵C向左移动n个单位后为(4−n,5)，
∴5(4−n)=5，
∴n=3，
故答案为3；
过点D作DE⊥x轴过点C作CF⊥y轴，可证△ABO≌△DAE(AAS)，△CBF≌△BAO(AAS)，
，C向左移动n个单位后为(4−n,5)，进则可求D(5,1)，C(4,5)，确定函数解析式y=5
x
而求n的值；
本题考查反比例函数的图象及性质，正方形的性质；熟练掌握反比例函数解析式的求法，灵活运用正方形的性质是解题的关键．
15.【答案】3√3
【解析】解：如图，连接OC，作点C关于OA，OB的对称点T，P，连接OT，OP，PT，PT交AO于点D，交OB于点E，连接CD，CE，此时△CDE的周长最小，最小值=线段TP的长．
过点O作OH⊥PT于点H．
∵OC=OA=OP=OT=3，∠AOC=∠AOT，∠BOC=∠BOP，
∴∠POT=2∠AOB=120°，
∵OH⊥PT，OP=OT，
∴TH=PH，∠TOH=∠POH=60°，
∴TH=PH=OT⋅sin60°=3√3
2
，
∴PT=2TH=3√3，
∴△CDE的周长的最小值为3√3．
故答案为：3√3．
如图，连接OC，作点C关于OA，OB的对称点T，P，连接OT，OP，PT，PT交AO于点D，交OB于点E，连接CD，CE，此时△CDE的周长最小，最小值=线段TP的长．解直角三角形求出PT的长，即可解决问题．
本题考查圆周角定理，轴对称的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称的性质解决最短问题，属于中考常考题型．
16.【答案】四去括号时，括号前面是“−”号，去括号后，括号里的第二项没有变号
【解析】解：任务一：第四步开始出现错误，原因是去括号时，括号前面是“−”号，去括号后，括号里的第二项没有变号；
故答案为：四；去括号时，括号前面是“−”号，去括号后，括号里的第二项没有变号；
任务二：1
x+2−1
x−1
÷x2+2x
x2−2x+1
=1
x+2−1
x−1
⋅(x−1)2
x(x+2)
=1
x+2−x−1
x(x+2)
=x−x+1
x(x+2)
=1
x2+2x
，
∵{x+3≥1①
−1
2
x+1>0②，
解不等式①得：x≥−2，
解不等式②得：x<2，
故原不等式组的解集为：−2≤x<2，
∵x不能取2，1，0，
∴当x=−1时，
原式=1
1−2
=−1；
任务三：答案不唯一，如：最后结果应化为最简分式或整式；约分，通分时，应根据分式的基本性质进行变形；分式化简不能与解分式方法混淆等．
一、根据分式化简的步骤进行分析即可；
二、对分式进行化简，再按要求取合适的值代入运算即可；
三、答案不唯一，如：最后结果应化为最简分式或整式；约分，通分时，应根据分式的基本性质进行变形；分式化简不能与解分式方程混淆等．
本题考查分式的化简求值，一元一次不等式组的整数解，理解分式的基本性质，掌握去括号法则，以及分式约分和通分的技巧是解题关键．
17.【答案】解：(1)由题意知a=4，
b=1
10
×(90+60+70+80+80+80+80+90+100+100)=83，
2班成绩重新排列为60，70，80，80，80，90，90，90，90，100，
∴c=80+90
2
=85，d=90；
(2)从平均数上看三个班都一样；
从中位数看，1班和3班都是80，2班最高是85；
从众数上看，1班和3班都是80，2班最高是90；
综上所述，2班成绩比较好；
(3)570×4
30
=76(张)，
答：估计需要准备76张奖状．
【解析】本题主要考查众数、平均数、中位数，考查用样本估计总体，掌握众数、平均数、中位数的定义及其意义是解题的关键．
(1)根据平均数、众数和中位数的概念求解可得；
(2)分别从平均数、众数和中位数三个方面比较大小即可得；
(3)利用样本估计总体思想求解可得．
18.【答案】解：(1)延长FD交AB于G，如图所示：
则∠AGF=90°，
由题意得：DF=CE=20.5米，CD=EF=1.3米，∠AFG=
45°，
∴△AFG是等腰直角三角形，
∴AG=FG，
，
在Rt△ADG中，∠ADG=58°，tan∠ADG=AG
DG
∴FG=AG=DG×tan58°≈1.60DG，
∵DG+DF=FG，
∴DG+20.5=1.60DG，
解得：DG≈34.17(米)，
∴AG=FG≈34.17+20.5=54.67(米)，
∴AB=AG+BG≈54.67+1.3=55.97≈56.0(米)，
即铁塔的高度约为56.0米；
(2)55.97−55.88=0.09(米)，
即计算结果的误差为0.09米，
导致计算结果产生误差的原因可能是：①皮尺未拉直；②测角仪摆放不平衡等．
【解析】(1)延长FD交AB于G，证△AFG是等腰直角三角形，得AG=FG，再由锐角三角函数定义得FG=AG=DG×tan58°≈1.60DG，求出DG的长，即可解决问题；(2)求出计算结果与实际数据的差即可得出误差，说出可能导致计算结果产生误差的原因即可．
本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解
题的关键．
19.【答案】解：(1)如图，连接OC，
∵FC=FD，
∴∠FCD=∠FDC，
又∵FP⊥AB，
∴∠FPB=90°，
∴∠BDP+∠ABC=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵∠BDP=∠FDC，
∴∠OCB+∠FCB=90°，
即OC⊥FC，
∵OC是⊙O的半径，
∴FC是⊙O的切线；
(2)以O，B，E，C为顶点的四边形是菱形，理由如下：
如图，连接CE、BE、OE，
∵∠BAC=60°，OA=OC，
∴△AOC是正三角形，
又∵点E是BC⏜的中点，
∴∠COE=∠BOE=∠BAC=60°，
∴△OCE和△OBE都是正三角形，
∴OC=CE=EB=BO，
∴四边形OCEB是菱形．
【解析】(1)利用等腰三角形性质，互为余角以及对顶角相等，得出∠OCB+∠FCB=90°，即OC⊥FC，从得出FC是切线；
(2)根据条件可得△AOC是正三角形，再根据圆周角定理和等腰三角形的判定方法可得△OCE和△OBE都是正三角形，进而得出以O，B，E，C为顶点的四边形是菱形．
本题考查等腰三角形的性质，切线的判定和性质，以及菱形的判定，掌握切线的判定方法，菱形的判定方法以及等腰三角形的性质和圆周角定理是正确解答的关键．
20.【答案】解：(1)设完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要x min 和y min ， 则{x +y =82x +3y =21
， 解得{x =3y =5
， 故校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要3min 和5min ；
(2)一间教室的药物喷洒时间为5min ，则11个房间需要55min ，
当x =5时，y =2x =10，故点A(5,10)，
设反比例函数表达式为：y =k x ，将点A 的坐标代入上式并解得：k =50， 故反比例函数表达式为y =
50x ， 当x =55时，y =5055<1，
故一班学生能安全进入教室．
【解析】(1)设完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要x min 和y min ，根据题意列方程组求解即可；
(2)先根据一间教室的药物喷洒时间为5min 和点A 在y =2x 上求出点A 的坐标(5,10)，则反比例函数表达式为y =50x ，当x =55时，y =5055<1，即可求解． 本题主要考查反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
21.
【答案】解：(1)由y =mx 2−2mx +1=m(x −1)2−m +1知，对称轴为直线x =1， 当x =0时，y =1，
∴点C 的坐标为(0,1)．
(2)①当m =−1时，y =−x 2+2x +1=−(x −1)2+2，
∴点(1,2)在函数图象上，
∵点C(0,1)是函数图象与y 轴的交点，对称轴为直线x =1，
∴点(2,1)在函数图象上，
令y =0，则−x 2+2x +1=0，
解得：x =1+√2或x =1−√2，
∴点(1+√2,0)和点(1−√2,0)在函数图象上，
∵1+√2>2，1−√2<0，
∴图形W内有1个整点．
②由y=m(x−1)2−m+1知顶点坐标为(1,1−m)，
由①得，点(0,1)，(2,1)在函数图象上，
∵图形W内有2个整点，
∴2<1−m≤3，
∴m的取值范围为−2≤m<−1．
【解析】(1)化为顶点式，求对称轴，令x=0求点C的坐标；
(2)①将m=−1代入函数解析式，然后求出函数图象与坐标轴的交点，从而得到图形W 内的整点个数；
②先通过(1)和①知道在图形W上的点，然后确定顶点要求不是整点，且点(1,2)在图形W内，再列出不等式，最后解得m的取值范围．
本题考查了二次函数的顶点式，二次函数与坐标轴的交点坐标，解题的关键是理解整点的定义并会应用二次函数的性质求出与坐标轴的交点．
22.【答案】AP PD PC3
【解析】解：(2)①根据变量的定义：AP的长度为自变量，PD的长度和PC的长度分别都为这个自变量的函数．
故答案为：AP，PD，PC；
②∵点P为AB的中点，CA=CB，
∴CP⊥AB，
∵点D是BC的中点，
BC=3，
在Rt△CPB中，PD=1
2
故答案为：3．
(3)函数图象如图所示：
(4)∵D是BC的中点，
∴BD=CD=3cm，
若△PCD是等腰三角形，有以下两种情况：
当PD=CD时，PD=3cm，
当PC=PD时，观察(3)中图象可知，PD≈5.2cm，
故线段PD的长约为5.2cm或3cm．
(2)①根据变量的定义即可求解；
②等腰三角形底边上的中线即为底边的高，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；
(3)依据表格中的数据描点、连线即可；
(3)分情况并结合图形进行求解即可．
本题考查了动点函数图象问题，也考查了函数图象的画法，解题关键是数形结合．
23.【答案】BM=1
2
AE
【解析】(1)BM=1
2
AE.理由如下：
∵AB=BC=a，BE=BG=b，
∴AE=a+b，CG=BG−BC=b−a，
∵点M为CG的中点，
∴CM=1
2CG=1
2
(b−a)，
∴BM=BC+CM=a+1
2(b−a)=1
2
(a+b)，
∴BM=1
2
AE，
故答案为：BM=1
2
AE．
(2)①AE=2BM，理由如下：
如图②，延长BM到H，使MH=BM，连接GH，
∵点M为CG的中点，
∴CM=MG，
∵∠CMB=∠GMH，
∴△CMB≌△GMH(SAS)，
∴∠BCM=∠HGM，BC=HG，
∴BC//GH，
∴∠BGH+∠CBG=180°，
∵菱形ABCD与菱形BEFG中，∠ABC=120°，∠GBE=
60°，
∴∠ABE+∠CBG=180°，
∴∠ABE=∠BGH，
∵AB=BC=HG，BE=BG，
∴△ABE≌△HGB(SAS)，
∴AE=HB，
∵HB=2BM，
∴AE=2BM；
②线段BM与AE所成的最小夹角为60°，理由如下：
∵△ABE≌△HGB，
∴∠AEB=∠BHG，
如图②，延长MB交AE于N，
则∠MBE=∠BNE+∠AEB，即∠HBG+∠GBE=∠BNE+∠AEB，∴∠GBE=∠BNE=60°，
∴线段BM与AE所成的最小夹角为60°；
(3)BM=√3
AE，理由如下：
2
延长BM到H，使MH=BM，连接GH，如图③，
同理可得：△CMB≌△GMH(SAS)，
∴∠BCM=∠HGM，BC=HG，
∴BC//GH，
∴∠BGH+∠CBG=180°，
∵矩形ABCD与矩形BEFG中，∠ABC=∠GBE=90°，∴∠ABE+∠CBG=180°，
∴∠ABE=∠BGH，
∵BC
AB =EF
BE
=√3，
∴HG
AB =BG
BE
=√3，
∴△ABE∽△HGB，
∴BH
AE =BG
BE
=√3，
∵BM=1
2
BH，
∴BM=√3
2
AE．
(1)根据已知求得AE=a+b，CG=BG−BC=b−a，根据线段中点的定义求得CM=
1
2
(b−a)，通过计算即可求解；
(2)①延长BM到H，使MH=BM，连接GH，利用SAS证明△CMB≌△GMH和△ABE≌△HGB，即可得到结论；
②延长MB交AE于N，证明∠GBE=∠BNE=60°，即可求解；
(3)延长BM到H，使MH=BM，连接GH，同理证明△CMB≌△GMH(SAS)，再证明△ABE∽△HGB，即可求解．
本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、菱形的性质、矩形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．。