第四章第4节分段多项式插值

lk 1 ( x ) f ( x ) f ( xk 1 ) lk ( x ) f ( x ) f ( xk )
证毕。 如果f(x)∈C2［a,b］,对任何x∈［xj-1,xj］(j=1,2,…,N), 由一次Lageange插值多项式的余项估计得
f ( x) I N ( x)
(4.4.1)
称之为函数f(x)的分段线性插值(见图4.4.2).
y
o
x0

x j 1
xj

xN
x
图 4.4.2 分段线性插值函数(4.4.1)也可以写成基函数的形式：
I N ( x)
l ( x) y ,
i 0 i i
N
(4.4.2)
1
l0 x
li x
lN x
x0 x1
容易理解，三次样条插值则是指插值函数取为三次样 条函数时的插值函数，也即是满足插值条件的三次样条函 数，其提法如下： 已知N+1个互不相同的点x0,x1,…,xN处的函数值 y0,y1,…,yN ，如果关于分划Δ的三次样条函数S(x)满足
S( x j ) y j , j 0,1,, N ,
4.4.13
则称S(x)为函数y=f(x)的关于分划Δ的三次样条插值。 下面我们讨论三次样条函数的具体求法。我们分为 三大步骤。 第一步：建立基本方程组。试图在每个小区间上通 过插值函数在节点处的一阶导数值或者二阶导数值来表 示插值函数。基本方程组即是这些一阶导数值或者二阶 导数值满足的线性代数方程组。
3 f ( x ) I ( x ) M h N 4 2 f ( x ) I ( x ) M h N 4
, , , ,
( 4.4.8) ( 4.4.9) ( 4.4.10) ( 4.4.11)
f ( x ) I N ( x ) M 4h
其中 M 4 max f
§4 分段多项式插值
4.1 高次插值的龙格现象
在构造插值多项式时，一般总认为插值多项式的 次数越高越好，然而事实并非如此。请看下例。 例4.4.1 设函数
y (1 25 x 2 )1 , x [1 , 1]
2 给出等距节点 xi 1 hi, i 0 ,1,2 ,n, n h
图 4.4.1 通过表4.4.1和图4.4.1可清楚地看到，当Lagrange 多项式插值的次数增高时，误差不仅没有减少反而越 来越大。
事实上，对上述函数的多项式插值，当插值节 点无限加密时，在两端附近的函数值得波动会越来 越大，当然不能保证在n趋于无穷时，插值函数一 致逼近y=(1+25x2)-1。我们称这种现象为龙格(Runge) 现象。 由于高次多项式插值很可能产生Runge现象， 在多项式插值中一般不宜选取高次多项式。
f ( x ) ( x x j 1 )( x x j ) 2 f ( x ) ( x x j 1 )( x j x ) 2 f ( x ) 2 x j x j 1 2 .
2
lk 1 ( x ) lk ( x )
a xb
(4)
( x) .
上述定理的证明见注4.2(P151)。由于IN(x)在节点 处的高阶导数可能不存在，在式(4.4.10)和式(4.4.11)中 的导数应理解为函数左导数和右导数值的平均。
4.4 样条函数及三次样条插值
由于分段三次Hermite插值函数在插值节点处函数 值和导数值确定，故具有一阶连续可微性质，但是，二 阶导数在节点处可能不存在。下面我们介绍光滑性更好 的样条插值。首先给出一般m次样条函数的概念。 定义4.4.1 给出区间[a,b]的一个分划 4.4.12 : a x0 x1 xn b 如果函数Sm(x)满足下述两个条件： （1）Sm(x)在每一个小区间[xj-1,xj](j=1,2,…,N)上是m 次多项式； （2）Sm(x)∈Cm-1[a,b],即在整个区间[a,b]上有直到m-1 阶的连续导数， 则称函数Sm(x)是区间[a,b]关于分划Δ的一个m次样条函 数，而点x0,x1,…,xN称为样条节点。
4.4.3
由图4.4.2可以看出，当节点加密时， 分段线性差值函数与被插函数的函数值有 很好的近似性 。
事实上，我们有如下定理： 定理4.4.1 设函数f(x)∈C［a，b］, 则有如下收敛性
lim f ( x ) I N ( x ) 0，
h0
其中
x a , b, h max hj ,
因此,对于分段三次Hermite插值多项式有类似定 理4.4.1的一致收敛性结果，而当被插函数的光滑性更
N
好时，插值函数的导数也有相应的逼近性质，参见下
面定理。
定理4.4.3 设函数f(x)∈C4[a,b]，则分段三次Hermite 插值函数(4.4.5)有如下误差估计：
M4 4 f ( x) I N ( x) h 384
f ( x)
l ( x) f ( x) l
i 0 i
N
k 1
( x ) f ( x ) lk ( x ) f ( x )
I N ( x)
l ( x) y
i 0 i
N
i
l k 1 ( x ) yk 1 l k ( x ) yk
从而，
f ( x ) I N ( x ) lk 1 ( x ) f ( x ) lk ( x ) f ( x ) lk 1 ( x ) yk 1 lk ( x ) yk
xi 1 x xi i 0 , xi x xi 1 i N , x xi 1 , xi 1 ,
4.4.7
不难验证，局部非零的基函数式(4.4.6)和式(4.4.7)满足
4 ~ li ( x ) 1, 0 li ( x ) 1, li ( x ) h, i 0,1,, N . 27 i 0
试计算函数在这些节点处的函数并做Lagrange多项
式插值Ln(x).
然后，在点
2 xi 1 i ( i 0 ,1, ,50) 处， 50
分别计算被插值函数和插值函数的值，并按
E Ln y x Ln x


max y xi L xi
1 i 50
1 j N
而hj x j x j 1 , j 1,2,, N .
证 由于f(x)∈C(a,b),f(x)在[a,b]上一致连续。 故任取ε>0,有δ>0，当x∈[a,b]，且|x-x’|<δ时， |f(x)-f(x’)|<ε。则当h<δ时，任取点x∈[a,b]，不妨 设x∈[xk-1,xk]，根据li(x)的定义式(4.4.3),
下面构造具有一阶连续导数的分段三次Hermite插 值函数。 设已知函数f(x)在区间[a,b]上N+1个互不相同的点 x0,x1,…,xN处的函数值y0,y1,…,yN以及导数值y0’, y1’,…,yN’, 求分段三次多项式IN(x)使得满足如下条件：
(1) I N ( x j ) y j，I N ( x j ) y N ( i 0,1,, N )
4.2 分段线性插值
获取高精度插值的手段之一是利用分段的低次 多项式插值。下面介绍分段线插值。
设已知函数f (x)在区间［a,b］上N+1个互不 相同的点x0,x1,…,xN处的函数值y0,y1,…,yN,过点 (x0,y0) , (x1,y1) , … , (xN,yN),可作折线函数
I N x x xj x j 1 x j y j 1 x x j 1 x j x j 1 yj, x ［x j 1 , x ］ j , j 1,2,, N .


近似估计截断误差。 解 我们对不同次数的Lagrange多项式插值，得 到不同的近似截断误差E(Ln),所得计算结果见表4.4.1 表4.4.1
n 2 6 10 14 18 E(Ln) 0.646 153 9 0.616 666 1 1.801 089 7.195 719 26.962 59 达到最大值的点x 0.400 000 -0.880 000 0.919 999 0.959 999 -0.960 000
xi 1 x i xi 1
xN 1 x N
图 4.4.3 其中基函数li(x)为非负的且局部非零(称为局部 支撑性)的分段线性函数(参见图4.4.3)：
x xi 1 x x i 1 i x x i 1 li ( x ) x i x i 1 0 , , , xi 1 x xi ( i 0), xi x xi 1 ( i N ), x xi 1 , xi 1 .
( x x j 1 )2 h
2 j
yj .
同样，若采用基函数来表示，即 N ~ I N x ( li ( x ) yi li ( x ) y i )， 则基函数为
i 0
(4.4.5)
x x 2 x xi i 1 1 2 hi hi 2 x xi x x i 1 l i x 1 2 hi 1 hi 1 0,
, ,
xi 1 x xi i 0 , xi x xi 1 i N , x xi 1 , xi 1 ,
4.4.6
x x 2 i 1 x xi , hi 2 ~ x x i 1 li x h x xi , i 1 0,
我们先写出三次样条函数在每一个小区间[xj-1,xj] (j=1,2,…,N)上的表达式 。注意到S(x)在该区间上是一 个三次多项式，所以，其二阶导数S’’(x)在该区间上是 一个一次多项式，也即是一个线性函数。假定S’’(x)在 xj-1处的值为Mj-1 ，在xj处的值为Mj。由Lagrange线性插 值公式得：
显然，分段线性函数为一次样条函数。当m=3时，即 三次样条在工程中应用最广泛。根据定义4.4.1，三次样 条函数的定义如下： 给定区间[a,b]的一个分划Δ，如果函数S(x)满足下述两 个条件： （1）S(x)在每一个小区间[xj-1,xj](j=1,2,…,N)上是三次 多项式； （2）S(x)∈C2[a,b],即在整个区间[a,b]上有二阶的连续 导数， 则称函数S(x)是区间[a,b]关于分划Δ的一个三次样条函数。
4.3 分段三次Hermite 插值
(2) IN(x)在每个小区间[xj-1,xj](j=1,2,…,N)上是 次数不超过三的多项式 由于在每个小区间[xj-1,xj]上，IN(x)是次数不超过三 的多项式且满足插值条件(1)，故根据两点三次Hermite 插值多项式(4.3.4)，知IN(x)在区间[xj-1,xj]上可表示为
x x j 1 ( x x j )2 x x j ( x x j 1 )2 I N ( yj 2 2 hj hj hj hj ( x x j 1 ) ( x x j )2 h
2 j
yj 1 ( x x j )
故有更好的逼近结果。
定理4.4.2
设函数f(x)∈C2[a,b],则
M2 2 f ( x) I N ( x) h , 8
4.4.4
其中 M 2 max f ( x ) .
a xb
上面定理说明函数的分段线性插值具有很好的 收敛性。但是，分段线性函数在节点处导数一般不 存在，因此光滑性较差.若要克服高次多项式插值有 可能产生Runge现象的缺陷，又要使函数插值有一 定的光滑性，则需对分段线性插值函数进行进一步 的改进。