控制系统的状态空间描述

(2-11)
式中y为系统输出量，u为系统输入量，其系统传递函数为
n 1s n 2 s n 2 1s 0 y( s) G s n D s u ( s ) s an 1s n 1 an 2 s n 2 a1s a0
将
y
( n)
an1 y
bnu
( n)
( n1)
an2 y
( n 2)
a1 y a0 y


bn1u
(n)
( n1)
b1 u b0u
hn 1u hnu
代入
xn y
得：
(n)
h0u
h1u
( n 1)
y
( n)
令

m b k y y y


x1 y
x2 y

动态方程如下
x1 x2
k b 1 x2 y y y u (t ) m m m


k b 1 x1 x2 u(t ) m m m
y x1
x1 x 2
x Ax Bu
A称为系统矩阵； B称为输入矩阵 6.输出方程：
y Cx Du
例如：
解：
令：i(t)和Uc(t)为状态变量，则有
例2-1 设机械位移系统如图2-1 所示。力F及阻尼器汽缸速度v 为两种外作用，给定输出量为 质量块的位移x及其速度 x 、加 速度 。图中m、k、f分别为 x 质量、弹簧刚度、阻尼系数。 试求该双输入-三输出系统的动
n 2
an 1 y
n 3
n 2u
n 3
an 2 y
n4
n 2u
n4
a2 y 2u
n 1
an 1 y
n 2
n 1u
n 2
an 2 y
n 3
n 2u
...
y y 5 8y 6 y 3u
..
.
求（A，B，C，D）
解：选
x1 y
x2 y
则：
.
x3 y
..
x3 y 3u 6 x1 8x2 5x3
.
...
y x1
状态空间表达式为
1 0 x1 0 x1 0 x 0 x 0 u 2 0 1 2 x3 6 8 5 x3 3
考虑式(2-11)可得
y an1 y
n
n 1
an2 y ( n2) a1 y
(2-11)
( n1u ( n1) n2u ( n2) 1u) a0 y 0u (2-11b)
状态方程：
x1 x x2 F u v
x Ax Bu
x1 x2 1 k f 1 f x2 f x2 v kx1 F x1 x2 F v m m m m m
0 x k m
第二章线性系统状态空间描述
(1)系统模型为单输入单输出系统；
(2)忽略初始条件的影响；
经典控制理论的传递函数描述方法的不足之处：
(3)不包含系统的所有信息；
(4)无法利用系统的内部信息来改变系统的性能。
2.1 状态空间的基本概念
传递函数是系统的外部描述； 状态空间表达式是系统的内部描述； 1.状态: 表征系统运动的信息和行为 2.状态变量：完全表征系统运动状态的最小一组变量 4.状态空间：以n个状态变量作为坐标轴所组成的n维空间 5.状态方程：
0 1 k b m m
x1 0 x 1 u 2 m
x1 y 1 0 x2
2.2 由微分方程或传递函数建立动态方程
对于给定的系统微分方程或系统传递函数，寻求 对应的动态方程而不改变系统的输入-输出特性，称 此动态方程是系统的一个状态空间实现。 由于状态变量的选择不唯一，所以状态空间实 现也不唯一，最小实现也不唯一。
a0 a1 a2
y 1
0
x1 x 0 2 x3
2） 系统输入量中含有导数项
如果单输入—单输出系统的微分方程为：
y
( n)
an1 y
( n1)
a1 y a0 y

bnu
( n)
bn1u
( n1)
b1 u b0u

一般输入量中导数项的次数小于或等于系统的次 数n。为了避免在状态方程中出现u的导数项， 可以选择如下的一组状态变量。
x1 y h0u x2 x1 h1u xi xi 1 hi 1u xn 1 xn 2 hn 2u xn xn 1 hn 1u
2 典型实现：
设单输入-输出线性定常连续系统的微分方程具有下列一般形式：
y an 1 y n 1u
( n 1)
n
n 1
an 2 y ( n 2) a1 y a0 y
( n 2)
n 2u
1u 0u
(2-11)
令上式中u的系数为 hn
hn b0 an1hn1 an2 hn2 a1h1 a0 h0
最后可得系统的状态方程：
x1 x 2 h1u x 2 x3 h2 u x n 1 x n hn 1u x n a 0 x1 a1 x 2 a n 2 x n 1 a n 1 x n hu u
1）系统输入量中不含导数项，一般选择输出变量及其各阶导数作为状态变量，
y
令：
( n)
an1 y
( n 1)
an2 y
( n 2)
a1 y a0 y 0u
状态空间表达式：
.
．
x1 y x2 y x3 y
.. .
x Ax bu y cu
x1 x 2 x xn 1 xn
n 3
a1 y 1u n 2u
n 3
an 2 y
a1 y ( n 1u
n 2
1u )
n n 1 n2 n 1 n 1 x1 y an 1 y an 2 y a1 y ( n 1u n 2u 1u )
n 3
a1 y 1u
x1 x2 a1 y 1u y y
n 1 n 1
an 1 y an 1 y
n 2 n 2
n 1u
n 2 n 3
an 2 y
n 3
n 2u

0 0 A 0 a0
1 0 0 a1
0 1 0

0 0 1
a2 an 1
0 0 b 0 0
c 1 0 0
对于n阶微分方程可选取n个状态变量，组成n维状 态空间方程。
例： 设
an 1 xn an 2 xn 1 a1 x2 a0 x1
an 1 (h0u
( n 1)
h1u
( n2)
hn 1u )
an 2 (h0u
( n2)

h1u
( n 3)
hn 2u )
( n)
a1 (h0 u h1u) a0 h0u bnu
y1 y y2 y3 1 C 0 k m 0 1 f m 0 D0 1 m 0 0 f m
例1求图示机械系统的状态空间表达式
u(t) m
K
y(t) b
u(t )
态方程。
图2－1 双输入-三输出机 械位移系统
解 据牛顿力学，有
mx f x v kx F
显见为二阶系统，若已知质量块的初始位移及初始速度， 该微分方程在输入作用下的解便唯一确定，故选状态变 量为：
x1 x x2 x
则:
x1 x2 x2 1 k f 1 f v f x2 v kx1 F x1 x2 F m m m m m
0 A k m
0 0 f x 1 m m
0 f m 0 B1 m
0 f u m
0 f m
输出方程：
y Cx Du
y1 x1 y2 x2 1 y3 f x2 v kx1 F m
bn 1u
( n 1)
b1u b0u
选择
h0 , h1 , hn 1
使得上式中u的各阶导 数项的系数都等于0，即可解得：
h0 bn h1 bn 1 an 1h0 h2 bn 2 an 2 h0 an 1h1 h3 bn 3 an 3h0 an 2 h1 an 1h2 hn 1 b1 an 1hn 2 an 2 hn 3 a1h0
y
( n 1)
( n 1)
h0u
( n 1)
h1u
( n2)
hn1u
hn 1u

xn h0u
( n 1)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ h1u
( n2)
xn y ( n ) h0u ( n ) h1u ( n 1) hn 1u hnu
即：
x1 y h0u y x1 h0u
x2 y h0u h1u y x2 h0u h1u
x3 h0u h1u h2u y x3 h0u h1u h2u y

xn y
可写成向量-矩阵的形式：
x Ax bu y cx du
0 0 1 a n1
即：
1 0 x1 0 x 0 2 0 1 x 0 n1 0 0 x n a0 a1 a 2
x1 h1 x h 2 2 u x n 1 hn 1 xn hn
x1 x y 1 0 0 2 h0 u xn
N s
n 1
(2-12)
1. 能观测标准形实现
设 其展开式为
xn y xi xi 1 ai y i u
i 1， , n 1
(2-13)
xn 1 xn an 1 y n 1u y an 1 y n 1u xn 2 xn 1 an 2 y n 2u an 1 y n 1u an 2 y n 2u y x2 x3 a2 y 2u y x1 x2 a1 y 1u y