高中数学 北师大必修四 1.1.弧度制

②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）
的大小，而 1
是圆的
1 360
所对的圆心角（或该弧）
的大小；
③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角 的大小都是一个与半径大小无关的定值．
用“弧度”与“度”去度量每一个 角时，除了零角以外，所得到的量数都 是不同的，但它们既然是度量同一个角 的结果，二者就可以相互换算．
复习引入
角度制
在平面几何中研究角的度量，当时是用度做单位来 度量角，1°的角是如何定义的？
周角的 1 叫做1度角,记为1°
360
我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制， 在数学和其他许多科学研究中还要经常用到一种度 量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？
新授内容
B
r
1 rad
o
r
A
1.弧度制:
我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角
1
rad
180
弧
度 角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实
制数集R之间建立了一一对应关系
的
一一对应
意
正实
义
正角
数
零角
0
负角
负实
数
任意角的集合 实数集R
题型示范
例3 利用弧度制证明下列关于扇形公式:
1l R
2S 1R2
2
3 S 1 lR
2
其中R是半径，l是弧长，α(0<α<2π)为圆心角, S是扇形面积.
④第四象限角对应的集合为
2k
3
2
2k
2，k
Z
终边相同的角
与 终边相同的角的集合为 2k , k Z
叫做1弧度的角
新疆 王新敞
奎屯
王新敞 特级教师 源头学子小屋
http: //wx c .8 3 3 20 0 .c om
wxckt@ 新疆奎屯 · 2 0 0 7·
思考:若半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为 2r,那么,角α的弧度数是多少?
B
l 2r
O
A
2rad
思考探究
思考:如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长
（3）5
rad
（4）3.5
点评：实行角度与弧度的互化时，抓住
一个关键： 180°=π rad
题型示范
例2 填定下列特殊角的度数与弧度数 的对应表：
角 度
0 30 45 60 90 120 135150 180 270 360
弧 度
0
6
2 3 5 3 2
4 32 3 4 6
2
1 rad
180
2
2
题型示范
例4 已知扇形的周长为8厘米，圆心角为2rad，
求扇形面积。
解 设扇形的半径为r，弧长为l， B
l
则有l2r2rl , 8,
解得lr
2, 4.
A
Or
因此扇形的面积为S 1 rl 4(cm2 ). 2
【变式】：已知某扇形的圆心角为 以及面积。
解： 120 2
3
l r 3 2 2
换算关系
角度制与弧度制的换算
若弧是一个整圆，它的圆心角是周角,其 弧度数是2π,而在角度制里它是360°.
因此
360°=2π rad 180°=π rad
1 180rad 0.017 45 rad
1
rad
180
57.30
5718
题型示范
例1 完成下列角度与弧度的互化：
（1）15
（2）67°30′
3
S 1 lR 1 2 3 3
2
2
，半径为3，求该扇形的弧长
例题4.如图，已知圆心角 AOB 120 半径OC与
弦AB垂直，垂足为D，若CD=a，求弧长ACB的长及其
与弦AB所围成的弓形ACB的面积。
解：设圆的半径为r，ACB的长为 l, l 2 r
3
连接AC，所以 AOC 是等边的角的集合为 k , k Z
终边落在y轴上的角的集合为
k
2
,k
Z
终边落在坐标轴上的角的集合为
k
2
,
k
Z
象限角
2k
2k
,
k
Z
①第一象限角对应的集合为
2
②第二象限角对应的集合为
2k
2
2k
，k
Z
③第三象限角对应的集合为
2k
2k
3
2
，k
Z
(3)弧度制下轴线角、象限角，终边相同的表示
轴线角
①终边落在x轴上的非正半轴上的角的集合为 2k , k Z
②终边落在x轴上的非负半轴上的角的集合为 2k, k Z
③终边落在y轴上的非正半轴上的角
④的终集边合落为在y轴上 的 2非k负半32轴,上k 的Z角
的集合为
2k
，k
2
Z
2.若一个三角形三个内角的比为7:8：15, 则 各 个 内 角的弧度数分别是（ 7 ，4 ， ）
30 15 2
3.已知圆的一段弧长等于圆的内接正三角形的一条 边长，那么这段弧所对的圆心角的弧度数为多少？
4.已知扇形OAB的圆心角为120°，半径长为6 （1）求AB的长； （2）求AB与弦AB围成的弓形AB的面积。
A. 1 sin 0.5
B.sin 0.5
C.2sin 0.5 D.tan 0.5
课堂小结
（1）
弧度；
(2）“角化弧”时, 将n乘以 ；
“弧化角”时，将α乘以 ；
（3）弧长公式：
扇形面积公式：
（其中l为圆心角α所对的弧长,α为圆心 角的弧度数,r为圆半径.)
课后练习： 1、扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到 原来的2倍，则（ A） A.扇形的圆心角大小不变 B.扇形的圆心角增大到原来的2倍 C.扇形的圆心角增大到原来的4倍 D.扇形的圆心角大小不能确定
是l,那么α的弧度数是多少? 结论1：角α的弧度数的绝对值是
=l
r
r为半径, l为角α所对弧的长
l α的正负由角α的终边旋转方向决定
结论2： 正角的弧度数是一个正数,
α rad
负角的弧度数是一个负数,
r
零角的弧度数是0.
度弧比较
角度制与弧度制的比较
①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度， 角度制是以“度”为单位度量角的制度；
题型示范
例3 利用弧度制证明下列关于扇形公式(０<α<2π):
1l R 2 S 1 R2
证明:(1)由公式
=
l2 得r l=αR
3 S 1 lR
2
知圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别是
n R n R2
l
l ,S
180
360
α rad
n°转换为弧度 n
r
180
S 1 R2 S 1 lR
因为 AD OC 所以OD=CD,则r=2CD=2a,
所以 l 2 r 2 2a 4a
3
3
3
S扇形OACB
1 2
lr
4a2 3
,
SAOB
1 2
AB
OD
1 2
2
3a a
3a2
所以S弓形ACB
S扇形OACB
SAOB
4 3
3 a2
O
B
D
A C
变式：如果1弧度的圆心角所对的弦长为2，那 么这个圆心角所对的弧长为（ ）A