2021年湖南省岳阳市临湘第四中学高三数学理下学期期末试卷含解析

2021年湖南省岳阳市临湘第四中学高三数学理下学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是，这样的设计含有深刻的数学原理、我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》．用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图，在六棱柱的三个顶点A，C，E处分别用平面，平面，平面截掉三个相等的三棱锥，，，平面，平面，平面交于点P，就形成了蜂巢的结构．如图，以下四个结论
①；②；③B，M，N，D四点共面；④异面直线与所成角的大小为．其中正确的个数是（）．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 参考答案：
B
【分析】
不妨设正六边形的边长为1，①由已知可得与都是边长为的等边三角形，即可判断出正误；②由①可知：，即可判断出正误；③由已知可得：四边形是平行四边形，即可判断出正误；④利用异面直线与所成角的范围即可判断出正误．
【详解】由题意，不妨设正六边形的边长为1，
①由与都是边长为的等边三角形，∴，正确；
②由①可知：，因此②不正确；
③由已知可得：四边形是平行四边形，因此，，，四点共面，正确；
④异面直线与所成角不可能为钝角．因此不正确．
其中正确的个数是2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，平面的基本性质，以及异面直线所成角的判定的知识的综合应用，着重考查了推理与运算能力．
2. 在正方体中，点为面的中心，则与面所成角的正切值等于（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
略
3. 设变量，满足约束条件，则目标函数的最小值为
A． B． C．
D．
参考答案：
B
做出可行域如图，设，即，平移直线，由图象可知当直线经过点C时，直线的截距最小，此时最小。

由
,解得，即，代入得，所以最大值为3，选B.
4. 的渐近线方程为（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
5. 已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则的系数为（）
A. 14
B. －14
C. 240
D. －240
参考答案：
C
【分析】
由二项展开式的通项公式为及展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5可得：，令展开式通项中的指数为，即可求得，问题得解。

【详解】二项展开式的第项的通项公式为
由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：. 解得：.
所以
令，解得：，
所以的系数为
故选：C
【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属于中档题。

6. 把函数的图象上每个点的横坐标扩大到原来的4倍，再向左平移，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一个单调递减区间为（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，求得函数g（x）的一个单调递减区间．
【解答】解：把函数的图象上每个点的横坐标扩大到原来的4倍，可得
y=sin（x﹣）的图象，
再向左平移，得到函数g（x）=sin[（x+）﹣]=sin（x﹣）的图象，
令2kπ+≤x﹣≤2kπ+，求得4kπ+≤x≤4kπ+，
故函数g（x）的单调递减区间为[4kπ+，4kπ+]，k∈Z，
令k=0，可得函数g（x）的一个单调递减区间为[，]，
故选：B．
7. 设⊿ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=4,b=4,A=30°,则C等于（）
A. 90° B．90°或150° C．90°或30°D．60°或120°
参考答案：
C
8. 已知均为单位向量，且它们的夹角为，那么（）
A.1
B.
C.
D.
参考答案：
【知识点】向量的数量积F3
A
因为，所以选A.
【思路点拨】一般遇到求向量的模时，通常利用向量模的性质：向量的平方等于其模的平方进行解答.
9. 如图所示的程序框图，该算法的功能是
A．计算…的值
B．计算…的值
C．计算……的值
D．计算……的值
参考答案：
初始值，第次进入循环体：，；当第次进入
循环体时：，，…，给定正整数，当时，
最后一次进入循环体，则有：…，，退出循环体，输出……，故选．
10. 如图，已知圆，四边形ABCD为圆M的内接正方形，E、F
分别为边AB，AD的中点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，的取值范围是
A． B．
C． D．
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知正实数满足，则的最小值为_____________.
参考答案：
略
12. 设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)e x的一个极值点，则下列四个图象可以为y＝f(x)的图象序号是_______________（写出所有满足题目条件的序号）.
参考答案：
①②③；因为′＝f′(x)e x＋f(x)(e x)′＝e x，且x＝－2为函数f(x)e x的一个极值点，所以f(-1)＋f′(-1)＝0；对于①②，f(-1)=0且f′(-1)＝0，所以成立；对于③，f(-1)0，且
，得，即，所以，所以可满足f(-1)＋f′(-1)＝0，故③可以成立；对于④，因f(1)>0，f′(1)>0，不满足f′(1)＋f(1)＝0，故不能成立，故
①②③成立.
13. 的展开式中常数项是. （用数字作答）
参考答案：
14. 已知函数f（x）=4lnx+ax2﹣6x+b（a，b为常数），且x=2为f（x）的一个极值点，则a的值为．
参考答案：
1
【考点】利用导数研究函数的极值．
【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用．
【分析】求出函数的导数，得到f′（2）=0，解出即可．
【解答】解：函数f （x）的定义域为（0，+∞），
∵f′（x）=+2ax﹣6，x=2为f（x）的一个极值点，
∴f'（2）=2+4a﹣6=0，
∴a=1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了函数的极值的意义，考查导数的应用，是一道基础题．
15. 如果一个凸多面体棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共
有
条.这些直线中共有对异面直线，则＝ ; ＝。

（答案用数字或的解析式表示）参考答案：
答案：，12，
解析：当多面体的棱数由n增加到n+1时，所确定的直线的条数将增加n+1，由递推关系
f(n+1) -f(n)=n+1我们能够求出答案。

从图中我们明显看出四棱锥中异面直线的对数为12对。

能与棱锥每棱构成异面关系的直线的条数为，进而得到f(n)的表达式
16. 的展开式中的常数项为．
参考答案：
2
略
17. 若满足约束条件：；则的取值范围为。

参考答案：
[-3,0]
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）以椭圆的中心O为圆心，为半径的圆称为该椭圆的“准圆”.设椭圆C的左顶点为P，左焦点为F，上顶点为Q，且满足
.
（I）求椭圆C及其“准圆”的方程；
（II）若椭圆C的“准圆”的一个弦ED（不与坐标轴垂直）与椭圆C交于M、N两点，试证明：当时，试问弦ED的长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
参考答案：
19. （本小题满分12分）
已知向量，且，若
相邻两对称轴的距离不小于。

（1）求正实数的取值范围；
（2）在中，分别是的对边，，当最大时，，试求的面积。

参考答案：20. 已知向量，且
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
参考答案：
（1）因为，所以，所以…………………………3分
又因为，所以，所以或，所以或…………7分
（漏1解扣2分）
（2）因为，所以，所以………… …10分
所以…………………………14分
（忘记开根号扣2分）
21. 在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线（a＞
0），已知过点P（－2，－4）的直线L的参数方程为：，直线L与曲线C分别交于M，N．
⑴写出曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；
⑵若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．
参考答案：
⑴
⑵直线的参数方程为（t为参数）,代入得到,则有因为，所以
解得
略
22. 设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．
（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）求四边形面积的最大值．
参考答案：
（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为
，．
又，所以四边形的面积为
，当，即当时，上式取等号．所以的最大值为．
解法二：由题设，，．
设，，由①得，，
故四边形的面积为
，
当时，上式取等号．所以的最大值为．
略。