九年级数学相似三角形的判定人教实验版五四制知识精讲

九年级数学相似三角形的判定人教实验版五四制
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
相似三角形的判定
二. 重点、难点：
1. 重点：相似三角形的定义和判定方法。

2. 难点：灵活运用相似三角形的几种判定方法。

三. 具体内容：
1. 相似三角形的定义
对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形，两个三角形相似，用符号“∽”表示，读作“相似于”，如ABC ∆和DEF ∆相似，记作ABC ∆∽DEF ∆，我们把对应边的比叫做相似比，相似三角形的定义是最基本、最重要的判别方法，也是最本质、最重要的性质。

注：（1）若两个三角形的相似比为1，则这两个三角形全等，是相似的特殊情况，而两个三角形相似时不一定全等。

（2）相似比是有顺序性的。

若ABC ∆和DEF ∆的相似比为1k ，DEF ∆和ABC ∆的相似比为2k ，则121=k k 。

（3）根据相似三角形的定义可知：若ABC ∆∽111C B A ∆，111C B A ∆∽222C B A ∆，则ABC ∆∽222C B A ∆，即相似三角形也具有传递性。

2. 用定义证明三角形相似
如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么根据定义可证明这两个三角形相似，用这种方法判定两个三角形相似需要的条件较多。

一般不用，但定义法是基本的方法，用其可以推出其他的判定方法。

注：根据相似三角形的定义可以证明：平行于三角形一边有直线和其他两边（或两边延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似，这种方法叫做平行法。

如图1中（1）（2）（3）。

若DE//BC ，在（1），（3）中，ABC ∆∽ADE ∆，在（2）中，ABC ∆∽AED ∆。

图1
3. 用三边对应成比例判定两三角形相似
如果两三角形的三组对应边之比相等，那么这两个三角形相似。

如图2所示，在ABC
∆和C B A '''∆中，已知
C A AC C B BC B A AB '
'=''=''，在ABC ∆中截取B A AD ''=。

过点D 作DE//BC 交AC 于点E ，则有ADE ∆∽ABC ∆，又可证C B A ADE '''∆≅∆，所以有ABC ∆∽
C B A '''∆。

图2
注：判断三边是否成比例，应先将三角形的三边按大小顺序排列，然后分别计算它们对应边的比，最后由比值是否相等来确定两三角形是否相似。

4. 用三角形两边对应成比例且夹角相等判定三角形相似
注：用这个方法判定三角形相似时，这个角必须是两边的夹角，不能是其他角。

5. 用两角对应相等判定两三角形相似
相似三角形的判定方法三：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可以简述为：两角对应相等，两三角形相似。

这个判定方法告诉我们要识别三角形是否相似，只需找到这两个三角形有两组对应角相等即可，但对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，则这两个直角三角形相似。

【典型例题】
[例1] 如图1，P 是
ABCD 的边BC 延长线上的任一点，AP 分别交BD 和CD 于点M 和N ，求证：MP MN AM ⋅=2。

图1
证明：因为AD//BP
所以BMP ∆∽DMA ∆（平行于三角形一边的直线和其他两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似）
所以
MD MB MA MP =，又AB//DN ，所以AMB ∆∽NMD ∆，MD
MB MN MA = 所以MA MP MN MA = 即MP MN MA ⋅=2 点拨：本题通过用三角形相似证明了等式，证明这类问题通常是把它们化为比例式，然后确定其所在的三角形，利用相似三角形证明。

[例2] 如图2，小正方形的边长均为1，则图3中的三角形（阴影部分）与ABC ∆相似的哪一个？
图2
图3 解：由勾股定理知10=AB ，2=AC ，BC=2，图①中，三角形的三边长分别为22,5,1，图②中，三角形的三边长分别为5,2,1，图③中，三角形的三边长分别为3,5,2，图④中，三角形的三边长分别为13,5,2。

由于5
102212==，故图②中的三角形和ABC ∆相似。

点拨：图中的三角形为格点三角形，可以根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边的长度的比是否成比例来判断哪两个三角形相似。

[例3] 如图4中（1），ABC ∆中，AB=9，AC=6，点M 在AB 上，且AM=3，点N 在AC 上，连接MN ，若AMN ∆与原三角形相似，试求AN 的值。

图4
（1）当AMN ∆∽ABC ∆时，由图4（2）可知
AC
AN AB AM = 因为AB=9，AC=6，AM=3，所以29
63=⨯=⋅=AB AC AM AN （2）当AMN ∆∽ACB ∆时，由图4（3）可知AB
AN AC AM =, 所以29693=⨯=⋅=AC AB AM AN ，所以AN 的长为2或29
[例4] 已知，如图5，在等腰ABC ∆中，AB=AC ，BD 为AC 边上的高，过C 作CE ⊥BC ，CE 与BD 的延长线交于点E ，F 为DB 上一点，且CF=CE ，求证CEF ∆∽ABC ∆。

图5
证明：因为AC BD ⊥，所以︒=∠+∠90CBE ACB
又BC CE ⊥，所以︒=∠+∠90CBE E ，所以ACB E ∠=∠
因为AB=AC ，CF=CE ，所以ACB ABC ∠=∠，CFE E ∠=∠
所以ABC E ∠=∠，ACB CFE ∠=∠，所以CEF ∆∽ABC ∆
点拨：根据题中的条件可以知道E ∠和ACB ∠都与CBE ∠互余，因此ACB E ∠=∠，从而证明等腰三角形CEF 与等腰三角形ABC 相似，通过角的互余、互补关系证明角相等是常用的方法之一。

[例5] 如图6，在ABC ∆中，AB=8厘米，BC=16厘米，点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以1厘米/秒的速度移动，点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2厘米/秒的速度移动，如果P 、Q 同时出发，经过几秒钟后，PBQ ∆与ABC ∆相似。

图6
解：设经过t 秒后，PBQ ∆与ABC ∆相似
（1）当BC BQ BA BP =时，BPQ ∆∽BAC ∆，所以16
288t t =-，解得4=t 所以经过4秒后，BPQ ∆∽BAC ∆
（2）当
BA BQ BC BP =时，BPQ ∆∽BCA ∆，所以8
2168t t =- 解得58=t ，所以经过5
8秒后，BPQ ∆∽BCA ∆ 所以经过4秒或58秒后，PBQ ∆与ABC ∆相似 点拨：本题中PBQ ∆与ABC ∆相似有两种情况，同学们可以自己画出草图，不要认为只有一种情况，在没有指明对应边的情况下，需要考虑全面
[例6] 如图7，ABC ∆中，AB=AC ，BD ⊥AC 于点D ，求证：AC CD BC ⋅=22。

图7
证明：作AE ⊥BC 于点E ，因为AB=AC ，AE ⊥BC ，所以BC CE 2
1=
因为︒=∠=∠90BDC AEC ，C ∠是BCD ∆和ACE ∆的公共角，所以BCD ∆∽ACE ∆。

所以BC AC CD CE =，所以AC CD BC CE ⋅=⋅，所以AC CD BC BC ⋅=⋅2
1 即AC CD BC ⋅=22
点拨：本题若直接证明则不易入手，不妨把结论转化为AC CD BC ⋅=22
1，即证明AC CD BC BC ⋅=⋅2
1。

由于条件中告诉了是等腰三角形，通过巧作辅助线——三角形底边上的高，从而转化为证明BCD ∆和ACE ∆相似。

[例7] 如图8（1），这个油桶中盛有一定数量的油，小明为测量桶内油的高度，把一根长长的木棒（体积忽略不计）从桶盖口斜插入桶内，一端到桶底，另一端正好到桶口，他抽出木棒测得木棒上浸油的部分长为，请你帮助小明计算出油桶内油的高度。

图8
解：如图8（2），因为ED//AC ，所以BDE ∆∽BCA ∆，所以
BA BE CA DE = 设DE 的长为xm ，则4
.29.02=x 解得75.0=x ，即油桶内油的高度为m 75.0
点拨：垂直油面测量油桶内油的高度不易测量，且误差较大，本题根据题意画出示意图，利用相似三角形求油的高度。

现实生活中许多类似的问题可以通过相似三角形解决。

[例8] 在ABC ∆中，D 为BC 的中点，E 为AC 上任意一点，BE 交AD 于点O ，某同学在研究这个问题时，发现了如下规律：
（1）当11121+==AC AE 时，有1
2232+==AD AO （如图9）
图9
（2）当21131+==AC AE 时，有2
2242+==AD AO （如图10）
图10 （3）当31141+==AC AE 时，有3
2252+==AD AO （如图11）
图11
在图12中，当
n AC AE +=11时，参照上述研究结论，请你猜想用n 表示AD
AO 的一般结论，并给出证明（其中n 是正整数）
图12
解：猜想：当n AC AE +=11时，n
AD AO +=22。

证明：过D 作DF//BE 交AC 于点F ，如图13，所以AFD AED ∠=∠∠=∠,21 ADF AOE ∠=∠，所以AOE ∆∽ADF ∆，所以AF
AE AD AO =。

图13
又因为C C ∠=∠，所以CFD ∆∽CEB ∆，所以
CE
CF CB CD = 又因为D 为BC 的中点，所以F 为CE 的中点，所以EC EF 21=，因为n AC AE +=11
所以
n
EC
AE1
=
，所以
n
n
EF
AE2
2
1
=
=，所以
n
EF
AE
AF
AF
AE
+
=
+
=
2
2
所以
n
AD
AO
+
=
2
2
点拨：①本题展现了在研究新问题时的思维方法和探索过程，渗透了从特殊到一般的数学思想方法，从特殊事例中的规律和验证方法中猜测一般性结论及对结论的验证思路，同时还要根据具体情况进行灵活的变化，因为
【模拟试题】
1. 所有的直角三角形都相似吗？所有的等腰直角三角形都相似吗？为什么？
2. 已知一个三角形的各边之比为6:5:2，与它相似的另一个三角形的最大边长为cm
15，试求它的最小边的长度。

3. 如图所示，在ABC
∆中，DE//BC，AD=EC，DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm。

求DE的长。

4. 已知在ABC
∆和C
B
A'
'
'
∆中，cm
AC
cm
BC
cm
AB8
,
6
,
4=
=
=，cm
B
A8
='
'，
cm
C
A
cm
C
B16
,
12='
'
='
'，则ABC
∆与C
B
A'
'
'
∆是否相似，为什么？
5. 如图所示，小明把ABC
∆各边的中点连接得到的DEF
∆涂色，DEF
∆和ABC
∆相似吗？为什么？
6. 如图，E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且CAD
BAE
AD
AC
AE
AB
∠
=
∠
=,。

求证：AED
ABC∠
=
∠。

7. 如图，已知
AE
AC
DE
BC
AD
AB
=
=，那么BAD
∆是否与CAE
∆相似。

8. 如图所示，已知D 为ABC ∆内一点，E 为ABC ∆外一点，且43,21∠=∠∠=∠，求证ABC ∆∽DBE ∆。

9. 在ABC ∆和DEF ∆中，︒=∠︒=∠︒=∠︒=∠40,80,80,60F E B A ，求证ABC ∆∽DEF ∆。

10. 已知，如图所示，DE//BC ，EF//AB ，则：①
BC DE DB AD =，②CB
DE AB EF =，判断以上两结论是否正确。

【试题答案】
1. 解：所有的直角三角形的直角相等，其余两对应角不一定相等的，故它们不都相似，所有的等腰直角三角形的角度都为︒︒︒90,45,45，边长中斜边和直角边的比为1:2，故所有的等腰直角三角形都相似。

点拨：在本题中只能根据相似三角形的定义去判断，对于两个等腰直角三角形，对应角相等，对应边的比相等。

2. 解：设三角形最小边的长度为xcm ，则根据题意可得6
215=x 。

解得5=x 答：该三角形最小边的长为cm 5。

点拨：确定好对应边，正确地列出比例式是解本题的关键，本题根据此例关系还可以求出另一边的长度。

3. 解：因为DE//BC ，所以ADE ∆∽ABC ∆，所以AC
AE BC DE AB AD ==，又 AD=EC ，所
以AD AE AE DB AD AD +=+，即441+=+AD AD AD ，解得AD=2，所以5
32DE =，解得=DE 3
10。

点拨：本题直接列比例式求DE 不大好解，可以根据相似的条件列出比例式后结合比例的性质来求解。

4. 解：相似。

因为21168,21126,2184==''==''==''C A AC C B BC B A AB ，所以C B BC B A AB ''='' C A AC '
'=，所以ABC ∆∽C B A '''∆。

点拨：已知三条边的长度判定两个三角形是否相似，一般通过三边是否对应成比例来判断。

5. 解：相似。

因为E 、F 是AC 、AB 边上的中点，所以BC EF 21=，同理AB ED 21=，AC DF 21=。

所以2===FD
AC ED AB EF BC ，所以ABC ∆∽DEF ∆（三边对应成比例，两角三角相似）
点拨：根据题意可知EF 、FD 、ED 都是ABC ∆的中位线，故可以根据中位线定理证明三边对应成比例判定两个三角形相似。

6. 证明：因为CAD BAE ∠=∠，所以EAC CAD EAC BAE ∠-∠=∠-∠，即
EAD BAC ∠=∠。

又因为AD
AC AE AB =，所以ABC ∆∽AED ∆，所以AED ABC ∠=∠。

点拨：解决本题的关键是确定两边的夹角对应相等，BAE ∠和CAD ∠都减去公共的角可得这两个角相等。

7. 解：这两个三角形相似，因为
AE
AC DE BC AD AB ==，所以ABC ∆∽ADE ∆，所以 DAE BAC ∠=∠，又因为DAC ∠是公共角，所以CAE BAD ∠=∠，且AE
AD AC AB =。

因此BAD ∆∽CAE ∆。

点拨：正确使用有关边的比例关系，并认识其所在的三角形，有利于我们寻找相似的三角形。

8. 证明：因为43,21∠=∠∠=∠，所以ABD ∆∽CBE ∆，所以BE BD CB AB =，所以BE
CB BD AB =。

因为21∠=∠，所以DBC DBC ∠+∠=∠+∠21，即DBE ABC ∠=∠，所以ABC ∆∽DBE ∆。

点拨：欲证ABC ∆∽DBE ∆，应从两方面入手，一找角的相等，二找边的比例，由21∠=∠可得DBE ABC ∠=∠，其余的角，边没有关系，再由已知21∠=∠，43∠=∠，可考虑从ABD ∆与CBE ∆入手。

9. 证明：因为在ABC ∆中，︒=∠︒=∠80,60B A ，所以︒=︒-︒-︒=∠408060180C 。

因为在DEF ∆中，︒=∠80E ，︒=∠40F ，所以E B ∠=∠，F C ∠=∠，所以ABC ∆∽DEF ∆。

点拨：本题中可以根据三角形内角和定理求出各角的度数，从而根据两角对应相等判定
两三角形相似。

10. 解：①、②均不正确，理由；因为BC DE //，所以ADE ∆∽ABC ∆，所以有AC
AE BC DE AB AD ==。

显然①式中AD 的对应边应是AB 而不是DB 。

同理：EF//AB ，则CEF ∆∽CAB ∆，所以CB CF CA CE AB EF ==，故②式中，AB EF 与BC
DE 是不成比例的。

点拨：用平行法判定两三角形相似时，应分清有哪些线段的对应比相等。