高中数学 2.7向量应用举例课时作业 北师大版必修4

向量应用举例
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.(2014·榆林高一检测)若向量=(1,1),=(-3,-2)分别表示两个力F1,F2,则|F1+F2|为( )
A. B.2 C. D.
【解析】选C.由于F1+F2=(1,1)+(-3,-2)=(-2,-1),所以|F1+F2|=
=.
2.在四边形ABCD中,·=0,且=,则四边形ABCD是( )
A.梯形
B.菱形
C.矩形
D.正方形
【解析】选C.由·=0,得AB⊥BC,又=,所以AB与DC平行且相等,从而四边形ABCD是矩形.
3.(2014·安庆高一检测)如图所示,一力作用在小车上且力F的大小为10N,方向与水平面成60°,当小车向前运动10m时,力F做的功为( )
A.100焦耳
B.50焦耳
C.50焦耳
D.200焦耳
【解题指南】先定位移,再求功.
【解析】选B.设小车位移为s,则|s|=10,
W F=F·s=|F|·|s|·cos60°=10×10×=50(焦耳).
4.过点A(2,3),且垂直于向量a=(2,1)的直线方程为( )
A.2x+y-7=0
B.2x+y+7=0
C.x-2y+4=0
D.x-2y-4=0
【解析】选A.设P(x,y)为直线上一点,则⊥a,
即(2-x)×2+(3-y)×1=0,即2x+y-7=0.
5.(2014·渭南高一检测)在△ABC中,AB=4,∠ABC=30°,D是边上的一点,且·=·,则
·的值等于( )
A.-4
B.0
C.4
D.8
【解析】选C.由·=·得·(-)=·=0,即⊥,所以||=2,∠BAD=60°,
所以·=2×4×=4.
【变式训练】点O是三角形ABC所在平面内的一点,满足·=·=·,则点O是△ABC 的( )
A.三个内角的角平分线的交点
B.三条边的垂直平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高的交点
【解析】选D.由·=·,得·=0,即⊥,同理可得⊥,⊥. 故点O是△ABC的三条高的交点.
6.(2013·宿州高一检测)在△ABC所在的平面内有一点P,满足++=,则△PBC与△ABC的面积之比是( )
A. B. C. D.
【解题指南】关键将面积之比转化为PC与AC之比求解.
【解析】选C.由++=,得+++=0,即=2,
所以点P是CA边上的三等分点,如图所示.故==.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.(2014·汉中高一检测)已知向量a表示“向东航行3km”,b表示“向南航行
3 km”,则a+b表示.
【解析】作出图形可知.
知a+b表示向东南航行3km.
答案:向东南航行3km
【误区警示】本题易忽视a+b的物理意义,只关注数量而没有指出方向导致错误.
8.(2014·江苏高考)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3,·=2,则·的值是.
【解题指南】选取一组不共线向量为基底,一般选取,,用这组向量表示题目中的其他向量进而用数量积公式求解.
【解析】由题干图知,在三角形ADP中=+=+,
在三角形BPC中=+=+=-,
所以·=·
=-·-=2,
即25-·-×64=2,·=22.
答案:22
9.已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB上的动点,则·的最大值为.
【解析】设与的夹角为θ,
则·=||·||cosθ,
而||cosθ就是向量在方向上的射影,要想让·最大,即让射影最大,此时E点与B点重
合,射影为||,所以最大值为1.
答案:1
【变式训练】(2013·通州高一检测)在边长为1的等边△ABC中,D为BC边上一动点,则·的取值范围是.
【解析】因为D在BC上,所以设BD=x,0≤x≤1,则=x.
所以·=·(+)=+·
=1+xcos120°=1-x,
因为0≤x≤1,所以≤1-x≤1,
即·的取值范围是.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.(2014·阜阳高一检测)如图所示,正方形ABCD中,P为线段BD上任一点,PECF为矩形,求证:
(1)PA=EF.
(2)PA⊥EF.
【证明】以D为坐标原点,DC,DA所在直线为x轴,y轴建立坐标系.
设C(1,0),A(0,1),P(x,x),
则E(x,0),F(1,x),
故=(-x,1-x),=(1-x,x),
(1)||==,
||==,
所以||=||,
所以PA=EF.
(2)因为·=(-x)(1-x)+(1-x)x=0.
所以⊥,所以PA⊥EF.
11.如图,重力为G的均匀小球放在倾斜角为α的斜面上,球被与斜面夹角为θ的木板挡住,斜面、木板均光滑,若使球对木板压力最小,求木板与斜面间的夹角θ应为多大.
【解析】如图所示,小球重力为G(竖直向下),设斜面对小球的压力为N1(垂直于斜面向上),木板对小球的压力为N2(垂直于木板向下),
则N1+N2+G=0.
所以N1与N2的合力大小为
|G|,方向竖直向上,如图,
于是|N2|=||sin
sin
a
q
G
.
所以当sinθ=1,即θ=90°时,|N2|取最小值|G|sinα.
故要使球对木板压力最小,木板与斜面间的夹角应为90°.
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.已知A,B是圆心为C,半径为的圆上两点,且||=,则·等于
( )
A.-
B.
C.0
D.
【解析】选A.易知△ABC为正三角形,·=·cos120°=-.
2.(2014·马鞍山高一检测)一条河的宽度为d,一船从A出发到河的正对岸B处,船速为|v1|,水速为|v2|,
则船行到B 处时,行驶速度的大小为 ( ) A.v 12
-v 22
B.|v 1|2-|v 2|2
C.2
2
12+v v
D.22
12||-v v
【解析】选D.如图,由平行四边形法则和解直角三角形知识知|v |2
=|v 1|2
-|v 2|2
.
所以行驶速度的大小为|v |=2
2
12||-v v .
3.(2013·兰州高一检测)已知平面上三点A,B,C 满足(+
)·
=0,则△ABC 的形状是 ( )
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.等腰直角三角形
【解析】选A.设AC 的中点为D, 则
+
=2,
所以2
·
=0,所以AC ⊥BD,
所以△ABC 是等腰三角形.
【变式训练】已知A(1,2),B(4,1),C(0,-1),则△ABC 的形状为 . 【解析】因为A(1,2),B(4,1),C(0,-1), 所以=(3,-1),=(-1,-3), 所以|
|=|
|=
,
·
=(3,-1)·(-1,-3)
=3×(-1)+(-1)×(-3)=0, 所以
⊥
,所以△ABC 是等腰直角三角形.
答案:等腰直角三角形
4.(2014·南昌高一检测)如图,在△ABC中,AD⊥AB,=,||=1,则·= ( )
A.2
B.
C.
D.
【解析】选 D.因为=+=+,所以·=(+)·=·+·,
又因为AB⊥AD,所以·=0,
所以·=·
=||·||·cos∠ADB
=||·cos∠ADB=·||=.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(x,y),合力F1+F2+F3=0,则F3的坐标为.
【解析】由F1+F2+F3=0,
得(3,4)+(2,-5)+(x,y)=(0,0),
即所以所以F3=(-5,1).
答案:(-5,1)
6.(2014·宝鸡高一检测)已知向量a=(6,2),b=,过点A(3,-1)且与向量a+2b平行的直线l的方程为.
【解析】由题意得a+2b=(-2,3),则直线l的方程为
3(x-3)+2(y+1)=0,即3x+2y-7=0.
答案:3x+2y-7=0
【拓展延伸】向量在解析几何中的作用
(1)载体作用:向量在解析几何问题中出现,多用于“包装”,解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算
脱去“向量外衣”,导出曲线上点的坐标之间的关系,从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.
(2)工具作用:利用a⊥b等价于a·b=0,a∥b等价于a=λb(b≠0),可解决垂直、平行问题,特别地,向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法.
三、解答题(每小题12分,共24分)
7.已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上),F的大小为50N,F拉着一个重80N的木块在摩擦系数μ=0.02的水平平面上运动了20m,由力F和摩擦力f所做的功分别是多少?
【解析】力在位移上所做的功是向量乘积的物理含义,设木块的位移为s,
则F·s=|F|·|s|cos30°=50×20×=500(J).
F在铅垂方向上合力大小为|F|sin30°=50×
=25(N),
所以摩擦力f的大小为|f|=(80-25)×0.02
=1.1(N),
所以f·s=|f|·|s|cos180°
=1.1×20×(-1)=-22(J),
所以F,f所做的功分别是500J,-22 J.
8.(2014·合肥高一检测)如图,正三角形ABC中,D,E分别是AB,BC上的一个三等分点,且AE,CD交于点P.用向量法求证:BP⊥CD.
【解题指南】先将,分别用向量与表示,再计算·=0即可.
【证明】设=λ(λ∈R),正三角形ABC的边长为a,
则=+=λ+
=λ+=(2λ+1)-λ. 又=-,∥,
所以=k(k∈R),
所以(2λ+1)-λ=k-k.
于是有解得
所以=,=,
=+=+
=+,
所以=+,=-,
从而·=·
=a2-a2-a2cos60°=0,
即⊥,故BP⊥CD.。