学高中数学解析几何初步直线与直线的方程直线的倾斜角和斜率教师用书教案北师大版必修

§１直线与直线的方程１．１直线的倾斜角和斜率
学习目标核心素养
１．理解直线的倾斜角和斜率的概念．（重点）
２．掌握过两点的直线斜率的计算公式．（重点）
１．通过直线的倾斜角和斜率的概念培养数学抽象
素养．
２．通过学习过两点的直线的斜率公式的应用培养
数学运算素养.
１．直线的确定及直线的倾斜角
（１）直线的确定：在平面直角坐标系中，确定直线位置的几何条件是：已知直线上的一个点和这条直线的方向．
（２）直线的倾斜角：１定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角，通常用α表示．２范围：0°≤α<１80°.
思考１：若一条直线的倾斜角为0°时，此直线与x轴什么关系？
提示：平行或重合．
２．直线的斜率
（１）直线的斜率：
直线倾斜角α的正切值叫作直线的斜率，即k＝错误!
（２）经过两点的直线斜率的计算公式：
经过两点P１（x１，y１），P２（x２，y２）（其中x１≠x２）的直线的斜率公式为k＝错误!.
（３）斜率与倾斜角的关系：
图示
倾斜角α＝0°0°＜α＜90°α＝90°90°＜α
（范围）＜１80°
斜率
k＝0k＞0不存在k＜0
（范围）
思考２：所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？
提示：不是．若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为90°.
思考３：在同一直线（与x轴不重合）上任意取不同的两点的坐标计算的斜率都相等吗？
提示：相等．对于一条直线来说其斜率是一个定值，与所选择点的位置无关，所以取任意不同的两点的坐标计算同一条直线的斜率一定相等．
１．若直线l的倾斜角为60°，则该直线的斜率为________．
错误![k＝tan 60°＝错误!.]
２．经过两点A（３,２），B（４,7）的直线的斜率是________．
５[k＝错误!＝错误!＝５．]
３．经过两点P（１，—４），Q（—１，—４）的直线的倾斜角是________．
0°[k＝tan α＝错误!＝错误!＝0，∴α＝0°.]
直线的倾斜角
角为（）
Ａ．αＢ．１80°—α
Ｃ．１80°—α或90°—αＤ．90°＋α或90°—α
D[如图，当直线l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当直线l向上方向的部分在y 轴右侧时，倾斜角为90°—α.
]
求直线的倾斜角的方法及两点注意：
１方法：结合图形，构造含倾斜角的特殊三角形求解.
２两点注意：１当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°；
２注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜１80°.
错误!
１．设直线l与x轴交于点A，其倾斜角为α，直线l绕点A顺时针旋转４５°后得直线l１，有下列四个选项：１α＋４５°；２α＋１３５°；３α—４５°；４１３５°—α，则直线l１的倾斜角可能的取值是（）
Ａ．１２Ｂ．２３
Ｃ．３４Ｄ．１４
B[当α≥４５°时，直线l绕点A顺时针旋转４５°后得直线l１的倾斜角为α—４５°；当0°≤α<４５°时，直线l１的倾斜角为１80°—（４５°—α）＝１３５°＋α，故选Ｂ．]
求直线的斜率
AB （２）已知过A（３,１），B（m，—２）的直线的斜率为１，则m的值为________．
[思路探究] 利用直线的斜率公式求解．
（１）—１（２）0 [（１）k AB＝错误!＝错误!＝—１．
（２）当m＝３时，直线AB平行于y轴，斜率不存在．
当m≠３时，k＝错误!＝—错误!＝１，解得m＝0．]
１．熟记斜率公式是解答本题的关键．
２．求直线的斜率有两种思路：一是公式，二是定义．当两点的横坐标相等时，过这两个点的直线与x轴垂直，其斜率不存在，不能用斜率公式求解，因此，用斜率公式求斜率时，要先判断斜率是否存在．
错误!
２．已知直线l经过两点P１（２,１）和P２（m,２）（m∈R）．
（１）求直线l的斜率；
（２）若直线l的倾斜角α为４５°，求m的值．
[解] （１）当m＝２时，x１＝x２＝２，∴直线l垂直x轴，故直线l的斜率不存在．
当m≠２时，直线l的斜率k＝错误!＝错误!.
（２）∵α＝４５°，∴k＝tan α＝１，
∴错误!＝１，即m—２＝１，∴m＝３．
斜率的应用
１．若三点A（２，—３），B（４,３），C（５，k）在同一条直线上，求k的值．
提示：∵A，B，C在同一条直线上，∴k AB＝k BC，
∴错误!＝错误!，解得k＝6．
２．已知点A（—１，—３），B（0，—１），C（４,7），试判断这三点是否共线？
提示：∵k AB＝错误!＝２，k AC＝错误!＝２，
∴k AB＝k AC.
∴直线AB与AC重合，∴点A，B，C共线．
【例３】已知坐标平面内三点A（—１,１），B（１,１），C（２，错误!＋１）．（１）求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；
（２）若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围．
[思路探究] （１）解题时可利用斜率公式求出斜率，再求倾斜角；
（２）可采用数形结合法来解．
[解] （１）由斜率公式得
k AB＝错误!＝0，k BC＝错误!＝错误!，
k AC＝错误!＝错误!.
∵tan 0°＝0，∴AB的倾斜角为0°；
tan 60°＝错误!，∴BC的倾斜角为60°；
tan ３0°＝错误!，∴AC的倾斜角为３0°.
（２）如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由k CA增大到k CB，所以k的取值范围是错误!.
１．将本例（２）中条件改为“若点D为BC边上的一动点”，其它条件不变，试求直线AD斜率k 的变化范围．
[解] 依题意直线AD与BC始终有交点，
所以k AB≤k AD≤k AC，所以0≤k AD≤错误!，所以直线AD斜率的范围为错误!.
２．将本例（２）中条件改为“若点D为AC边上的一动点”，其它条件不变，试求直线BD斜率k 的变化范围．
[解] 依题意，直线BD始终与AC有交点，
所以应有k BD≥k BC或k BD≤k AB，
所以k BD≥错误!或k BD≤0．
所以直线BD斜率的变化范围为（—∞，0]∪（错误!，＋∞）．
１．求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再得到斜率的范围．
２．利用斜率可解决点共线问题，点A，B，C共线⇔k AB＝k AC或k AB与k AC都不存在．
３．错误!的几何意义是直线的斜率，用之可通过几何方法解决函数的值域问题．
１．求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与x轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围．
２．求直线斜率时，一定要根据题目条件对斜率是否存在做出判断，以免漏解．
３．当直线的倾斜角α∈[0°，90°）时，随着α的增大，直线的斜率k为非负值且逐渐变大；当直线的倾斜角α∈（90°，１80°）时，随着α的增大，直线的斜率k为负值且逐渐变大．
１．思考辨析
（１）任何一条直线都有斜率．（）
（２）斜率相等的两直线倾斜角相等．（）
（３）直线的倾斜角越大，则直线的斜率越大．（）
[答案] （１）×（２）√（３）×
２．若经过P（—２，m）和Q（m,４）的直线的斜率为１，则m等于（）
Ａ．１Ｂ．４
Ｃ．１或３Ｄ．１或４
A[由题意，得k PQ＝错误!＝１，解得m＝１．]
３．在平面直角坐标系中，直线AB的位置如图所示，则直线AB的倾斜角为________，斜率为________．
３0°错误![根据倾斜角定义可知直线AB的倾斜角为３0°，
∴k＝tan ３0°＝错误!.]
４．如图，四边形OABC为等腰梯形，其中上底长为１，下底长为３，高为１，求梯形各边所在直线的倾斜角和斜率．
[解] 如图，分别过点B，C作x轴的垂线，垂足分别为D和E，
则有OE＝ED＝DA＝１，CE＝BD＝１，所以C（１,１），B（２,１），A（３,0），所以k OC＝错误!＝１，k OA＝k BC＝0，所以OA，BC，CO三边所在直线的倾斜角分别为0°，0°，４５°.又OC与AB倾斜角互补，则直线AB的倾斜角为１80°—４５°＝１３５°，直线AB的斜率k AB＝tan １３５°＝—１．。