近年高考数学一轮复习第九章解析几何课时达标检测(四十二)直线与圆、圆与圆的位置关系理(2021年整

（通用版）2019版高考数学一轮复习第九章解析几何课时达标检测（四十二）直线与圆、圆与圆的位置关系理
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课时达标检测（四十二）直线与圆、圆与圆的位置关系
［小题对点练-—点点落实]
对点练(一) 直线与圆的位置关系
1．直线y＝ax＋1与圆x2＋y2－2x－3＝0的位置关系是( ）
A．相切B．相交
C．相离D．随a的变化而变化
解析：选B ∵直线y＝ax＋1恒过定点（0,1)，又点（0,1)在圆(x－1)2＋y2＝4的内部，故直线与圆相交．
2．已知直线l：3x＋4y＋m＝0(m〉0)被圆C:x2＋y2＋2x－2y－6＝0所截的弦长是圆心C 到直线l的距离的2倍，则m＝( )
A．6 B．8
C．9 D．11
解析：选C 圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝8,圆心C(－1,1）,半径r＝22，圆心C到直线l 的距离d＝错误!＝错误!×2错误!＝2，解得m＝9或－11(m>0，舍去)，故选C.
3．已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2＝－2y＋3，直线l过点（1，0）且与直线x－y＋1＝0垂直．若直线l与圆C交于A，B两点，则△OAB的面积为（) A．1 B.错误!
C．2 D．2错误!
解析：选A 圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆心坐标为（0，－1)，半径r＝2.直线l的斜率为－1，方程为x＋y－1＝0.圆心到直线l的距离d＝错误!＝错误!,弦长｜AB|＝2错误!＝24－2＝2错误!，又坐标原点O到AB的距离为错误!,所以△AOB的面积为错误!×2错误!×错误!＝1。

故选A.
4．直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切,则b的值是( )
A．－2或12 B．2或－12
C．－2或－12 D．2或12
解析：选D 法一：由3x＋4y＝b得y＝－3
4
x＋错误!，代入x2＋y2－2x－2y＋1＝0,
并化简得25x2－2(4＋3b)x＋b2－8b＋16＝0，
Δ＝4（4＋3b)2－4×25(b2－8b＋16)＝0,
解得b＝2或b＝12。

法二：由圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0可知圆心坐标为(1，1)，半径为1,所以错误!＝1,解得b ＝2或b＝12。

5．已知圆C：(x＋1）2＋（y－1)2＝1与x轴切于A点,与y轴切于B点，设劣弧错误!的中点为M，则过点M的圆C的切线方程是________________．
解析:因为圆C与两轴相切,且M是劣弧错误!的中点,所以直线CM是第二、四象限的角平分线，所以斜率为－1,所以过M的切线的斜率为 1.因为圆心到原点的距离为错误!,所以|OM|＝错误!－1，所以M错误!，所以切线方程为y－1＋错误!＝x－错误!＋1，整理得x－y＋2－错误!＝0.
答案:x－y＋2－错误!＝0
6．过点M（1,2）的直线l与圆C：(x－3）2＋（y－4)2＝25交于A，B两点,C为圆心,当∠ACB最小时,直线l的方程是________________．
解析：由题意知，当∠ACB最小时，圆心C(3,4）到直线l的距离达到最大，此时直线l 与直线CM垂直，又直线CM的斜率为错误!＝1,所以直线l的斜率为错误!＝－1,因此所求的直线l的方程是y－2＝－(x－1），即x＋y－3＝0.
答案：x＋y－3＝0
对点练（二）圆与圆的位置关系
1．已知圆M：x2＋y2－4y＝0,圆N：（x－1)2＋(y－1)2＝1,则圆M与圆N的公切线条数是( ) A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B 由题意可知，圆M的圆心为（0,2），半径为2，圆N的圆心为（1,1），半径为1，MN＝2，且1<错误!<3，所以圆M与圆N相交，则圆M与圆N的公切线有两条,故选B.
2．圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0的公共弦长为( )
A。

错误! B.错误!
C．2错误!D．2错误!
解析：选C x2＋y2＝50与x2＋y2－12x－6y＋40＝0作差，得两圆公共弦所在的直线方程为2x＋y－15＝0，圆x2＋y2＝50的圆心（0,0)到2x＋y－15＝0的距离d＝3错误!，因此，公共弦长为2错误!＝2错误!。

故选C。

3．（2016·山东高考)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0）截直线x＋y＝0所得线段的长度是2错误!，则圆M与圆N：（x－1）2＋（y－1)2＝1的位置关系是（）
A．内切B．相交
C．外切D．相离
解析：选B 由题知圆M：x2＋（y－a)2＝a2(a＞0），圆心（0,a)到直线x＋y＝0的距离d ＝错误!,所以2错误!＝2错误!，解得a＝2。

圆M，圆N的圆心距｜MN｜＝错误!，两圆半径之差为1，两圆半径之和为3，故两圆相交．
4．圆心在直线x－y－4＝0上,且经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点的圆的方程为( ）
A．x2＋y2－x＋7y－32＝0
B．x2＋y2－x＋7y－16＝0
C．x2＋y2－4x＋4y＋9＝0
D．x2＋y2－4x＋4y－8＝0
解析:选A 设经过两圆的交点的圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28）＝0,即x2＋y2＋错误!x＋错误!y－错误!＝0，其圆心坐标为错误!，又圆心在直线x－y－4＝0上，所以－
错误!＋错误!－4＝0，解得λ＝－7,故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0。

5．已知圆C1:x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线,若a，b∈R且ab≠0，则错误!＋错误!的最小值为（)
A．2 B．4
C．8 D．9
解析:选D 圆C1的标准方程为(x＋2a）2＋y2＝4，其圆心为(－2a,0)，半径为2；圆C2的标准方程为x2＋（y－b)2＝1，其圆心为（0，b），半径为1.因为圆C1和圆C2只有一条公切线,
所以圆C1与圆C2相内切，所以－2a－02＋0－b2＝2－1，得4a2＋b2＝1，所以错误!＋1
＝错误!（4a2＋b2）＝5＋错误!＋错误!≥5＋2错误!＝9，当且仅当错误!＝错误!，且4a2＋b2＝1，b2
即a2＝错误!，b2＝错误!时等号成立．所以错误!＋错误!的最小值为9.
6．已知圆C1：(x－1)2＋y2＝2与圆C2：x2＋（y－b）2＝2(b〉0）相交于A，B两点,且|AB|＝2，则b＝________.
解析：由题意知C1（1,0),C2（0，b)，半径r1＝r2＝2，所以线段AB和线段C1C2相互垂直
平分，则｜C1C2|＝2，即1＋b2＝4，又b〉0，故b＝错误!。

答案：错误!
7．过圆x2＋y2＋4x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的相交弦端点的圆中周长最小的圆的方程是____________________________________________________________．解析：联立圆方程得错误!
解得错误!或错误!
∴两圆的两个交点分别为A错误!,B(－1，－2）．
过两交点的圆中,以AB为直径的圆的周长最小．
∴该圆圆心为错误!,
半径为错误!＝错误!，
∴所求圆的方程为错误!2＋错误!2＝错误!。

答案：错误!2＋错误!2＝错误!
[大题综合练—-迁移贯通]
1．(2018·河南洛阳模拟)已知圆（x－1）2＋y2＝25,直线ax－y＋5＝0与圆相交于不同的两点A，B.
(1）求实数a的取值范围;
(2）若弦AB的垂直平分线l过点P(－2，4），求实数a的值．
解：(1)由题设知错误!〈5，故12a2－5a>0，
所以a〈0或a〉错误!。

故实数a的取值范围为(－∞,0)∪错误!。

（2）圆(x－1）2＋y2＝25的圆心坐标为(1，0)，
又弦AB的垂直平分线过圆心（1,0）及P(－2,4），∴k l＝错误!＝－错误!，
又k AB＝a，且AB⊥l，∴k l·k AB＝－1，
即a·错误!＝－1，∴a＝错误!。

2。

如图,已知以点A(－1，2）为圆心的圆与直线l 1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2，0)的动直线l与圆A相交于M,N两点,Q是MN的中点,直线l与l
相交于点P.
1
（1）求圆A的方程;
(2）当｜MN｜＝2错误!时，求直线l的方程．
解：(1）设圆A的半径为r.
由于圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，
∴r＝错误!＝2错误!。

∴圆A的方程为(x＋1）2＋(y－2)2＝20。

（2)①当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意；
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)．
即kx－y＋2k＝0。

连接AQ,则AQ⊥MN.
∵｜MN|＝219,
∴|AQ|＝错误!＝1，
则由|AQ|＝错误!＝1，
得k＝错误!,∴直线l：3x－4y＋6＝0.
故直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0。

3．(2016·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4）．
（1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程;
（2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程;
（3）设点T（t，0）满足:存在圆M上的两点P和Q，使得错误!＋错误!＝错误!,求实数t 的取值范围．
解:圆M的标准方程为(x－6）2＋(y－7）2＝25，
所以圆心M(6，7)，半径为5。

(1)由圆心N在直线x＝6上,可设N（6,y0）．
因为圆N与x轴相切,与圆M外切，
所以0＜y0＜7，圆N的半径为y0，从而7－y0＝5＋y0,解得y0＝1。

因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1）2＝1。

（2）因为直线l∥OA，
所以直线l的斜率为错误!＝2。

设直线l的方程为y＝2x＋m，
即2x－y＋m＝0，
则圆心M到直线l的距离d＝错误!＝错误!。

因为BC＝OA＝22＋42＝2错误!,而MC2＝d2＋错误!2,
所以25＝错误!＋5,解得m＝5或m＝－15。

故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.
(3）设P(x1，y1）,Q（x2,y2)．
因为A(2,4)，T(t，0），错误!＋错误!＝错误!，
所以错误!①
因为点Q在圆M上，所以(x2－6)2＋（y2－7)2＝25。

②
将①代入②，得（x1－t－4)2＋（y1－3)2＝25。

于是点P（x1，y1）既在圆M上,又在圆[x－(t＋4)］2＋（y－3)2＝25上,
从而圆（x－6)2＋(y－7)2＝25与圆［x－（t＋4)］2＋（y－3）2＝25有公共点，所以5－5≤错误!≤5＋5，
解得2－221≤t≤2＋2错误!.
因此，实数t的取值范围是[2－2错误!，2＋2错误!］．。