河北省保定市八校2012届高三3月联考数学(文)试题

数学试题（文） 2009.12
一、共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. (1) tan
159
π
＋cot 94π的值为
A. 31+,
B. 31-,
C. 31--,
D. 31+-
2．已知向量),2,1(),,2(==b t a 若1t t =时，a ∥b
；2t t =时，b a ⊥，则
A ．1,421-=-=t t
B . 1,421=-=t t C. 1,421-==t t D . 1,421==t t 3．函数y =sin(2x+
2
5π
)的图像的一条对称轴的方程是
A ． x =－2π, B. x =－4π C. 8
π
=x , D.45π=x
4.已知集合{}
47M x x =-≤≤，{
}
2
60N x x x =-->，则M
N 为
A ．{42x x -≤<-或}37x <≤ B.{
42x x -<≤-或}37x ≤< C.{2x x ≤-或}3x > D.{
2x x <-或}3x ≥ 5．“a =1”是“函数a x x f -=)(在区间［1，＋∞）上为增函数”的
A ．充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C. 充要条件 D . 既不充分也不必要条件
6在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边长分别为a ,b ,c .若sin A :sin B :sin C =5∶7∶8, ∠B 的大小是
A ．
23π B . 4π C. 6π D . 3
π 7．圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是
A ．36
B . 18 C. 26 D . 25 8．设点P 是函数()3sin f x x ω=的图象
C 的一个对称中心，点M 是与点P 最近的极值点，若|PM|=5，则)(x f 的最小正周期是
A ．20
B . 16 C. 8 D . 4 9.设4
7
10
31
()22222
()n f n n N +=++++⋅⋅⋅+∈,则()f n 等于
A ．
2(81)7n - B.2(81)7n + C.12(81)7n +- D.12
(81)7
n ++
10.
已知点A ，(0,0)B
，C ．设BAC ∠的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有
BC CE λ=，其中λ等于
A ．２ B.
12 C .－３ D.－13
11.若方程32
0x ax bx c +++=有三个不等实根123,,x x x 则123x x x ++等于
A.-a
B.-b
C.c
D.b 12.已知函数()2
2
()21f x x ax =-+若不等式()0f x <的解集中恰有3个整数解，则
A.()()120f f <
B.()()230f f <
C.()()340f f <
D.()()450f f < 二、填空题：本大题共4个小题每题5分
13.函数()l o g (3)101a y x a a =+->≠且的图像恒过定点A ，则点A 的坐标为___________(-2.-1)
14.若两圆()22224,21600x y x y ay a +=++-=>
的公共弦长为线的方程为____x=-1 15.下列4个命题：
①若函数()y f x =存在反函数()y g x =，则函数(1)y f x =+的反函数为1
(1)y f x -=+；
②非零向量,AB AC 成钝角的充分必要条件为0AB AC ∙<；
③若函数()(),y g x y f x ==均为定义在R 的奇函数，则()y g f x =⎡⎤⎣⎦为偶函数； 其中正确的是____________③
16.数列{}n a 满足11a =，()2,3,4
n a n =是非零整数，其前n 项和n S ，对与任意的正整数
,m n 都有1n m S S -≤则{}n a 的通项公式为_____________1(1)n n a +=-
三.解答题 本大题共6个小题 17. （本小题满分10分）
设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且a cos B ＝3，b sin A ＝4. （Ⅰ）求边长a ；
（Ⅱ）若△ABC 的面积S ＝10，求cosB 的值
.
C C
D AB D CD bsinA=4,BD=acosB=3,BCD 113
S=AB CD=AB 4=10,AB=5, acosB=3,cos B=
225
⊥⨯⨯⨯⨯解：⑴过作于，则由＝∴在直角三角形中，⑵由面积∴又∵∴
18．（本小题满分12分）
求函数2
()|2|f x x x =+-，[]0,4x ∈的值域.
解：当[]0,2x ∈时2
()2f x x x =-+则()7,44
f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
当[]2,4x ∈时2
()2f x x x =+-则()[]4,18f x ∈
综上()7,184f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
19. 已知函数f (x )=
x
x
cos 2sin 1-
(Ⅰ)若f (x )>0,求x 的取值范围； (Ⅱ)设α是第四象限的角，且tan α=3
4
-
，求f (α)的值. 解(Ⅰ) 若f (x )>0即1sin 202,22,2cos 0
2442x x k k k k k Z ππππππππ-≠⎧⎛
⎫⎛⎫⇔∈-+⋃++∈⎨ ⎪ ⎪>⎝⎭⎝⎭⎩
(Ⅱ) tan α=3
4
-，所以43sin ,cos 55αα=-=， f (α)=4915
20. 如图，曲线G
的方程为y =直线BC 与曲线G 交于点A ，设B(0,b ),C(c ,0),点A 的横坐
标为a ,当OA OB =时，
（Ⅰ）求点A 的横坐标a 与点C 的横坐标c 的关系式；
（Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为a ＋2，求直线CD 的倾斜角.
解：
（Ⅰ）由题意知，(A a ．因为OA t =，所以2
2
2a a t +=．
由于0t >
，故有t = （1）由点(0)(0)B t C c ，，，
的坐标知， 直线BC 的方程为
1x y
c t
+=．
G
又因点A 在直线BC
上，故有
1a c +=，将（1
）代入上式，得1a c +=，
解得2c a =+
（Ⅱ）因为(2D a +，所以直线CD 的斜率为
1CD k =
===-．
所以直线CD 的倾斜角为135.
21. 已知函数4
3
2
()2f x x ax x b =+++（x R ∈），其中R b a ∈,． （I ）当[2,2]a ∈-时，求函数()f x 的极值点；
（II ）若对于任意的[2,2]a ∈-，不等式()1f x ≤在[1,1]-上恒成立，求b 的取值范围．
解：（I ）2()(434)f x x x ax '=++，显然[2,2]a ∈- 24340x ax ++>．
当()(),0,()0;0,,()0x f x x f x ''∈-∞<∈+∞>所以(0)f b =是唯一极值． （Ⅱ）由条件[2,2]a ∈-，可知2
9640a ∆=-<，从而2
4340x ax ++>恒成立． 当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>．
因此函数()f x 在[1,1]-上的最大值是(1)f 与(1)f -两者中的较大者．
为使对任意的[2,2]a ∈-，不等式()1f x ≤在[1,1]-上恒成立，当且仅当1
11))1
((f f ≤-≤⎧⎨
⎩，即
22b a b a
≤--≤-+⎧⎨
⎩
，在[2,2]a ∈-上恒成立． 所以4b ≤-，因此满足条件的b 的取值范围是(,4]-∞-．
（文）22.设{a n }是正数组成的数列，其前n 项和为S n ，并且对于所有的自然数n ，a n 与2的等差中项等于S n 与2的等比中项．
(I)求数列{a n }的首项，并证明数列{a n }为等差数列； (II)令()11
n n
n n n a a b n a a ++=
+∈+N ，求证1222n b b b n +++-<
解：(1)由题意，当n =1时有
1122
2
S a =+，S 1=a 1， ∴
1122
2
a a =+， 解得
a 1=2．
解：由题意，有
()N n S a n n ∈=+222，整理得S n =8
1
(a n +2)2， 由此得 S n +1 =
81
(a n +1+2)2， ∴a n +1= S n +1－S n =8
1
[(a n +1+2)2－(a n +2)2]，
整理得(a n +1+ a n )( a n +1－a n －4)=0， 由题意知 a n +1+a n ≠0，∴a n +1－a n =4． 即数列{ a n }为等差数列. (II)解：令c n =b n －2，则
11
2n n
n n n a a c a a ++=
+- 1122121n n ⎛⎫=-
⎪-+⎝⎭
， b 1+b 2+…+b n －n =c 1+c 2+…+c n =1111
1123352121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+
+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
2
221
n =-
+．。