化德县九中九年级数学上册 第24章 解直角三角形知识归纳 华东师大版

第24章 解直角三角形
考点一、直角三角形的性质
1. 直角三角形的两个锐角互余．
可表示如下：∠C =90°⇒∠A +∠B =90°
2. 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
301902A BCD AB C ∠=︒⎫⇒=⎬∠=︒⎭ 3. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
9012
ACB CD AB BD AD D AB ∠=︒⎫⇒===⎬⎭为的中点 4. 勾股定理
直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+．
5. 摄影定理
在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项．
22290CD AD BD ACB AC AD AB CD AB BC BD AB
⎧=•∠=︒⎫⎪⇒=•⎬⎨⊥⎭⎪=•⎩ 6. 常用关系式
由三角形面积公式可得：AB •CD =AC •BC
考点二、直角三角形的判定
1. 有一个角是直角的三角形是直角三角形．
2. 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
3. 勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形．
考点三、锐角三角函数的概念
1. 如图，在△ABC 中，∠C =90°
①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，
记为sinA ，即A a sin A c
∠==的对边斜边 ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为
cos A ，即A b cos A c
∠==的邻边斜边 ③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tan A ，即A a tan A A b ∠=
=∠的对边的邻边 ④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cot A ，即A b cot A A a
∠=
=∠的邻边的对边 2. 锐角三角函数的概念
锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数．
3. 各锐角三角函数之间的关系
（1）互余关系：sin A =cos(90°—A )，cos A =sin(90°—A )
tan A =cot(90°—A )，cot A =tan(90°—A )
（2）平方关系：1cos sin 22=+A A
（3）倒数关系：tan A •cot A =1
（4）弦切关系：tan A =A A cos sin ；cot A =cos sin A A
4. 锐角三角函数的增减性：当角度在0°~90°之间变化时，
（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
5. 一些特殊角的三角函数值
1. 解直角三角形的概念： 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
2. 解直角三角形的理论依据
在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c
（1）三边之间的关系：222c b a =+（勾股定理）
（2）锐角之间的关系：∠A +∠B =90°
（3）边角之间的关系：
sin ,cos ,tan ,cot sin ,cos ,tan ,cot a b a b A A A A c c
b a b a b a B B B B
c c a b
========
抛物线形问题
学习目的
【知识与技能】
能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的知识解决实际问题.
【过程与方法】
经历运用二次函数解决实际问题的探究过程，进一步体验运用数学方法描述变量之间的依赖关系，体会二次函数是解决实际问题的重要模型，提高运用数学知识解决实际问题的能力.
【情感态度】
1.体验函数是有效的描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决问题和进行交流的重要工具.
2.敢于面对在解决实际问题时碰到的困难，积累运用知识解决问题的成功经验.
学习重点
用抛物线的知识解决拱桥类问题.
学习难点
将实际问题转化为抛物线的知识来解决.
自学过程
一、情境导入，初步认识
1、如图所示的抛物线的解析式可设为______，若AB∥x轴，且
AB=4，OC=1，则点A的坐标为_____，点B的坐标为_________；
代入解析式可得出此抛物线的解析式为 __________ .
某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示。

现测得水面宽
AB=4m，涵洞顶点O到水面的距离为1m，于是你可推断点A
的坐标是 _____，点B的坐标为_______；根据图中的直角
坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数解析式可设为
__________.
二、思考探究，获取新知
探究直观图象的建模应用
例1 某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8m，两侧距地面3m高处各有一盏壁灯，两壁灯之间的水平距离是6m，如图所示，则厂门的高（水泥建筑物厚度不计，精确到0.1m)约为（）
【分析】因为大门是抛物线形，所以建立二次函数模型来解决问题.
先建立平面直角坐标系，如图，设大门地面宽度
为AB，两壁灯之间的水平距离为CD，则B，D坐标
分别为(4，0)，(3，3)，设抛物线解析式为y=ax2+h.
把（3，3），（4，0）代入解析式求得h≈
【自学说明】根据直观图象建立恰当的直角坐标系和解析式.
三、运用新知，深化理解
1.某溶洞是抛物线形，它的截面如图所示.现测得水面宽
AB=1.6m，溶洞顶点O到水面的距离为2.4m，在图中直角坐标系
内，溶洞所在抛物线的函数关系式是（）
A.y=15
4 x2 B.y=
15
4x2+
12
5
C.y=-15
4x2 D.y=-
15
4x2+
12
5
2.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（）
A.50m
B.100m
C.160m
D.200m
第2题图第3题图
3.如图，济南建邦大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx，小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需 ___________秒.
四、预习小结
你学到了什么？还有哪些疑惑？
建立二次实际问题的一般步骤:(1)根据题意建立适当的平面直角坐标系.(2)把已知条件转化为点的坐标.(3)合理设出函数解析式.(4)利用待定系数法求出函数解析式.(5)根据求得的解析式进一步分析，判断并进行有关的计算.
第4章 单元检测题
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(本题共12小题，每题3分，共36分)
1．计算：sin 60°·tan 30°＝( B ) A ．1 B ．12 C ．32
D ．2 2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果AC ＝4，BC ＝3，那么∠A 的正切值为( A )
A ．34
B ．43
C ．35
D ．45
3．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，cos A ＝23
，那么AB 的长是( B ) A ．5 B ．6 C ．8 D ．9
4．如图，为测量河两岸相对两电线杆A ，B 间的距离，在距A 点16 m 的C 处(AC ⊥AB)，测得∠ACB ＝52°，则A ，B 之间的距离应为( C )
A ．16sin 52° m
B ．16cos 52° m
C ．16tan 52° m
D ．16tan 52°
m 第4题图 第5题图 第6题图
第7题图
5．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝45
，则sin B ＝( A ) A ．45 B ．54 C ．53 D ．35
6．如图所示，△ABC 在正方形网格中的位置如图示(A ，B ，C 均在格点上)，AD ⊥BC 于点D.下列四个选项中正确的是( C ) A ．sin α＝cos α B ．sin α＝tan α C ．sin β＝cos β D ．sin β＝tan β
7．为了方便行人推车过某天桥，市政府在10 m 高的天桥一侧修建了40 m 长的斜道(如图所示)，我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是( A )
A ．2ndF sin 0 · 2 5 ＝
B ．sin 2ndF 0 · 2 5 ＝
C ．sin 0 · 2 5 ＝
D ．2ndF cos 0 · 2 5 ＝
8．若锐角三角函数tan 55°＝a ，则a 的范围是( B )
A ．0＜a ＜1
B ．1＜a ＜2
C ．2＜a ＜3
D ．3＜a ＜4
9．如果sin 2α＋cos 230°＝1，那么锐角α的度数是(A )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
10．(2019·杭州)如图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边(OC ⊥OB ，点A ，B ，C ，D ，O 在同一平面内)，已知AB ＝a ，AD ＝b ，∠BCO ＝x ，则点A 到OC 的距离等于( D )
A ．a sin x ＋b sin x
B ．a cos x ＋b cos x
C ．a sin x ＋b cos x
D ．a cos x ＋b sin x
第10题图 第11题图 第12题图
11．如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝8，CD 是AB 边上的中线，作CD 的垂直平分线与CD 交于点E ，与BC 交于点F.若CF ＝x ，tan A ＝y ，则x 与y 之间满足( A )
A ．4y 2 ＋4＝x 2
B ．4y 2 －4＝x 2
C ．8y 2 －8＝x 2
D ．8y
2 ＋8＝x 2 12．(2019·长沙)如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，tan A ＝2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD ＋55
BD 的最小值是( B ) A ．25 B ．45 C ．53 D ．10
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)
13．计算：4cos 60°＝__2__．
14．(2019·怀化)已知∠α为锐角，且sin α＝12
，则∠α＝__30°__． 15．如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点
都在格点上，则∠BAC 的余弦值是__255
__． 第15题图 第16题图 第17题图
第18题图
16．(2019·醴陵期末)如图，有一斜坡AB ，坡顶B 离地面的高度BC 为30 m ，斜坡AB 的坡度为1∶2，则此斜坡AB 长为__30 5 _m __．
17．如图，△ABC 中，cos B ＝22 ，sin C ＝35 ，BC ＝7，则△ABC 的面积是__212
__． 18．如图，在△ABC 中，AD 平分∠CAB 交BC 于点E.若∠BDA ＝90°，E 是AD 中
点，DE ＝2，AB ＝5，则AC 的长为__53
__．
三、解答题(本大题共8个小题，第19，20题每题6分，第21，22题每题8分，第23，24题每题9分，第25，26题每题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤)
19．计算：2cos 60°＋4sin 60°·tan 30°－6cos 245°. 解：原式＝2×12 ＋4×32 ×33 －6×(22
)2＝1＋2－3＝0
20．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝ 5 ，b ＝15 ，解这个直角三角形．
解：在Rt △ABC 中，∵a 2＋b 2＝c 2，a ＝ 5 ，b ＝15 ，∴c ＝（5）2＋（15）2 ＝
2 5 ，∵tan A ＝a b ＝515
＝33 ，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝90°－∠A ＝90°－30°＝60°
21．在一个Rt △ABC 中，∠C ＝90°，当∠A ＝30°时，∠A 的对边与斜边的比都等于12 ，是一个固定值；当∠A ＝45°时，∠A 的对边与斜边的比都等于22
，也是一个固定值，这就引发我们产生这样一个疑问；当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
探究：任意画Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′，使得∠C ＝∠C′＝90°，∠A ＝∠A′＝a ，那么BC AB 与B′C′A′B′
有什么关系，你能解释一下吗？
解：BC AB ＝B′C′A′B′
，理由：∵∠C ＝∠C′＝90°，∠A ＝∠A′＝a ，∴Rt △ABC ∽Rt △A ′B ′C ′，∴
BC AB ＝B′C′A′B′
22．(2019·西藏)由我国完全自主设计，自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成首次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达B 处时，测得小岛A 在北偏东60°方向上，航行20海里到达C 点，这时测得小岛A 在北偏东30°方向上，小岛A 周围10海里内有暗礁，如果航母不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．
解：如果航母不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险，理由如下：过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，根据题意可知∠ABC ＝30°，∠ACD ＝60°，∵∠ACD ＝∠ABC ＋∠BAC ，∴∠BAC ＝30°＝∠ABC ，∴CB ＝CA ＝20，在Rt △ACD 中，∠ADC ＝90°，∠ACD ＝60°，sin ∠ACD ＝AD AC ，∴sin 60°＝AD 20 ，∴AD ＝20×sin 60°＝20×32
＝10 3 ＞10，∴航母不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险
23．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，BD ⊥AC ，BC ＝1，AC ＝ 5 .
(1)求sin A 的值．
(2)你能通过sin A 的值求sin ∠CBD 的值吗？若能，请求出sin ∠CBD 的值，若不能，请说明理由．
解：(1)在Rt △ABC 中，sin A ＝BC AC ＝15
＝55 (2)能．∵BD ⊥AC ，∴∠BDC ＝90°，∵∠CBD ＋∠C ＝90°，∠A ＋∠C ＝90°，∴∠A ＝∠CBD ，∴sin ∠CBD ＝sin A ＝55
24．(2019·天水)某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1∶1，文化墙PM 在天桥底部正前方8米处(PB 的长)，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1∶ 3 .(参考数据： 2 ≈1.414， 3 ≈1.732)
(1)若新坡面坡角为α，求坡角α度数；
(2)有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由．
解：(1)∵新坡面坡角为α，新坡面的坡度为1∶ 3 ，∴tan α＝
13
＝33 ，∴α＝30° (2)该文化墙PM 不需要拆除，理由：作CD ⊥AB 于点D ，则CD ＝6米，∵新坡面
的坡度为1∶ 3 ，∴tan ∠CAD ＝CD AD ＝6AD ＝13 ，解得AD ＝6 3 米，∵坡面BC 的坡度为1∶1，CD ＝6米，∴BD ＝6米，∴AB ＝AD －BD ＝(6 3 －6)米，又∵PB ＝8米，∴PA ＝PB －AB ＝8－(6 3 －6)＝14－6 3 ≈14－6×1.732＝3.6米＞3米，∴该文化墙PM 不需要拆除
25．在△ABC 中，∠ABC ＝90°，tan ∠BAC ＝12
.
(1)如图1，分别过A ，C 两点作经过点B 的直线的垂线，垂足分别为M ，N ，若点B 恰好是线段MN 的中点，求tan ∠BAM 的值；
(2)如图2，P 是边BC 延长线上一点，∠APB ＝∠BAC ，求tan ∠PAC 的值．
解：(1)∵AM ⊥MN ，CN ⊥MN ，∴∠M ＝∠N ＝90°，∴∠MAB ＋∠ABM ＝90°，∵∠ABC ＝90°，∴∠NBC ＋∠ABM ＝90°，∴∠MAB ＝∠NBC ，∴△AMB ∽△BNC ，∴BN AM ＝BC AB ＝tan ∠BAC ＝12 .∵点B 是线段MN 的中点，∴BM ＝BN ，∴在Rt △AMB 中，tan ∠BAM ＝BM AM ＝12
(2)如图2，过点C 作CD ⊥AC 交AP 于点D ，过点D 作DE ⊥BP 于点E.∵tan ∠BAC ＝12 ，∠APB ＝∠BAC ，∴tan ∠BAC ＝BC AB ＝12 ，tan ∠APB ＝AB BP ＝12
.设BC ＝x ，则AB ＝2x ，BP ＝4x ，则CP ＝BP －BC ＝4x －x ＝3x.同理(1)中，可得∠BAC ＝∠ECD ，∴∠APB
＝∠ECD.∵DE ⊥BP ，∴CE ＝EP ＝12 CP ＝32 x.同理(1)中，可得△ABC ∽△CED ，∴CD AC
＝CE AB ＝32x 2x ＝34 ，∴在Rt △ACD 中，tan ∠PAC ＝CD AC ＝34
26．(2019·江西)图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线B －A －O 表示固定支架，AO 垂直水平桌面OE 于点O ，点B 为旋转点，BC 可转动，当BC 绕点B 顺时针旋转时，投影探头CD 始终垂直于水平桌面OE ，经测量：AO ＝6.8 cm ，CD ＝8 cm ，AB ＝30 cm ，BC ＝35 cm .(结果精确到0.1)
(1)如图2，∠ABC ＝70°，BC ∥OE.
①填空：∠BAO ＝________°；
②求投影探头的端点D 到桌面OE 的距离；
(2)如图3，将(1)中的BC 向下旋转，当投影探头的端点D 到桌面OE 的距离为6 cm 时，求∠ABC 的大小．(参考数据：sin 70°≈0.94，cos 20°≈0.94，sin 36.8°≈0.60，cos 53.2°≈0.60)
解：(1)①过点A 作AG ∥BC ，如图1，则∠BAG ＝∠ABC ＝70°，∵BC ∥OE ，∴AG
11 ∥OE ，∴∠GAO ＝∠AOE ＝90°，∴∠BAO ＝90°＋70°＝160°，故答案为：160
②过点A 作AF ⊥BC 于点F ，如图2，则AF ＝AB·sin ∠ABF ＝30sin 70°≈28.2(cm )，∴投影探头的端点D 到桌面OE 的距离为：AF ＋OA －CD ＝28.2＋6.8－8＝27(cm )
(2)过点D 作DH ⊥OE 于点H ，过点B 作BM ⊥CD ，与DC 延长线相交于点M ，过A 作AF ⊥BM 于点F ，如图3，则∠MBA ＝70°，AF ＝28.2 cm ，DH ＝6 cm ，BC ＝35 cm ，CD ＝8 cm ，∴CM ＝AF ＋AO －DH －CD ＝28.2＋6.8－6－8＝21(cm )，∴sin ∠MBC ＝CM BC ＝21
35 ＝0.6，∴∠MBC ＝36.8°，∴∠ABC ＝∠ABM －∠MBC ＝33.2°。