高一数学上学期期中质检试题

邹城二中2011-2012学年高一上学期质量检测数学
一、选择题（本题共有12小题，每小题5分, 共60分） 1.sin 75cos30cos75sin 30-的值为( ) A.1 B.
1
2
C.22
D.32
2.函数2
()(sin cos )1f x x x =+-是 ( )
A.最小正周期为2π的偶函数
B.最小正周期为2π的奇函数
C.最小正周期为π的偶函数
D.最小正周期为π的奇函数
3.下列函数中，在区间(1,1)-内有零点且单调递增的是 ( ) A.2
1
2
y
x
B.3y x
C.21x
y =- D.12
log y
x
4.已知函数()cos f x x =在区间[,]a b 上是减函数，且()1f a =，()1f b =-，则sin 2a b
+=
( ) A.0 B.2
2
C.1
D.1-
5.若直线a ∥平面α，a ∥平面β，α
β=直线b ，则( )
A.a ∥b 或a 与b 异面
B. a ∥b
C. a 与b 异面
D. a 与b 相交
6. 函数y = 的定义域是（ ）
A ．[1,+∞）
B ．
C ．
D ．
7．设25a b
m ==，且
11
2a b
+=，则m =( ) A 10 B 10 C 20 D 100
8.已知6.3log ,2.3log ,6.3log 442===c b a ，则（ ） A .c a b << B .a b c << C. b a c << D.a c b <<
9若2
1025c
b
a ==且0≠abc ，则
=+b c a c （ ） A .2 B .1 C. 3 D .4
10已知函数|lg |)(x x f =，若b a <<0且)()(b f a f =，则b a 2+的取值范围是（ ） A. ),3(+∞ B. ),22[+∞ C . ),22(+∞ D. ),3[+∞
11在下列区间中，函数
34)(-+=x e x f x
的零点所在区间为（ ） A. )0,41(- B.
)41,0( C. )43,21( D. )
21
,41( 12设对任意实数]1,1[-∈x ，不等式032
<-+a ax x 恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A . 0>a B.
21>
a C. 0>a 或12-<a D. 41
>
a
二、填空题（本题共4小题, 每小题5分, 共20分）
13．已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是 ．
14．已知偶函数y ＝f (x )对任意实数x 都有f (x ＋1)＝－f (x )，且在[0,1]上单调递减，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72、f ⎝ ⎛⎭⎪⎫73、f ⎝ ⎛⎭⎪⎫75从
小到大的顺序 15.已知奇函数
是定义在
上的增函数，则不等式
的解集为 .
16．对于函数 定义域中任意的
，有如下结论：
①
； ②
；
③
；④
；
当 时，上述结论中正确结论的序号是 -----（写出全部正确结论的序号）
三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
骤）
16．（本题满分10分）
求74
log 23
27
log lg 25lg 473
+++的值．(10分)
17.（本题满分12分）
如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 的中点． （Ⅰ）求证：1//AC 平面BDE ；
（Ⅱ）判断并证明，点F 在棱1DD 上什么位置时，平面1//AC F 平面BDE .
18.（本小题满分12分）
设二次函数2
()f x ax bx c =++在区间[]2,2-上的最大值、最小值分别是M 、m ，集合{}|()A x f x x ==． （Ⅰ）若{1,2}A =，且(0)2f =，求M 和m 的值；
（Ⅱ）若{1}A =，且1a ≥，记()g a M m =+，求()g a 的最小值．
19. （本小题12分）
如果函数f (x )的定义域为{x |x >0}，且f (x )为增函数，f (x ·y )＝f (x )＋f (y )． （Ⅰ）求证： f ( x
y
)＝f (x ) －f (y )；
（Ⅱ）已知f (3)＝1，且f (a )－f (a －1)>2，求a 的取值范围．
20. （本小题共12分）
已知函数x
a b x f ⋅=)(（其中b a ,为常量且1,0≠>a a ）的图像经过点)32,3(),8,1(B A .
（Ⅰ）试求b a ,的值；
（Ⅱ）若不等式0
)1
()1(≥-+m b a x x 在]1,(-∞∈x 时恒成立，求实数m 的取值范围.
21.经市场调查，某种商品在120天内的日销售量和售价均为时间t （天）的函数，日销售量与时间的关系用图（1）的一条折线表示，售价与时间的关系用图（2）的一条折线表示。

（Ⅰ）写出图（1）表示的日销售量（千克）与时间t 的函数关系史)(t g Q =； 写出图（2）表示的售价（元 /千克）与时间t 的函数关系式)(t f P =；
（Ⅱ）求日销售额y （元）与时间的函数关系式，并求出日销售额最高的是哪一天？最高的销售额是多少？（注：
第19题图
E
D
1
A 1
D 1
B 1
C A B
C
日销售额＝日销售量×售价）
参考答案：
1-5 CDCCB 6-10 DADAA 11-12 DB
13．
14． )3
7()27()57
(f f f 〈〈15．)2,1( 16．①③④
16．解：原式＝2)425lg(3
3
log 4
33+⨯+ ＝210lg 3
log 24
13++-
＝4
15
2241=++-
17.解：（Ⅰ）设AC
BD O =，连OE
∵O 、E 为别为AC 、1CC 的中点
∴1//OE AC …………………4分
又1AC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE …………………5分
∴1//AC 平面BDE …………………6分
（Ⅱ）点F 在棱1DD 的中点时，平面1//AC F 平面BDE .…………………7分 证明：∵点F 为棱1DD 中点，E 为1CC 的中点．
∴1//DF C E 且 111
2
DF C E CC ==
∴1DFC E 为平行四边形 …………………9分 ∴1//FC DE …………………10分
∵1
11FC AC C =…………………11分
∴平面1//AC F 平面BDE .…………………12分
18. 解：（Ⅰ）由(0)22f c ==可知，……………………………1分
又{}2A 1212(1)0.ax b x c =+-+=，
，故，是方程的两实根 1-b 1+2=a ,c 2=a
⎧
⎪⎪∴⎨⎪⎪⎩ 1,2a b ==-解得…………3分
[]22()22(1)1,
2,2f x x x x x ∴=-+=-+∈-
min 1()(1)1,1x f x f m ====当时，即
max 2()(2)10,10.x f x f M =-=-==当时，即……………………………5分
（Ⅱ）2(1)0ax b x c +-+=由题意知，方程有两相等实根x=2, x=1
∴ ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧--=+a c a
b 2111， 即⎩⎨⎧=-=a
c a b 21 ……………………………6分
∴f （x ）=ax 2
+（1-2a ）x+a, x ∈[-2,2]
其对称轴方程为x=
=-a a 214-1a
21
又a ≥1，故1-
⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡∈1,2121a ……………………………7分 o
t
P 5
10 15 20 25 30 30
60 90
120 35 40 o t
Q 5 10 15 20 25 30 30
60 90
120 图1
图2
∴M=f （-2）=9a-2
m=a
a a f 41
1)212(
-
=- ……………………………9分 g （a ）=M+m=9a-a
41
-1
[)min 63()1,1().4g a a g a +∞∴==
又在区间上为单调递增的，当时，=4
31
……12分 19.解：（Ⅰ）证明：∵f(x)＝f( x y ·y)＝f( x
y )＋f(y)，
∴f ( x
y
)＝f (y )－f (x )． ………………4分
（Ⅱ）∵f (3)＝1，由条件f (x ·y )＝f (x )＋f (y )，∴f (3)＋f (3)＝f (9)， ……6分 ∵f (a )－f (a －1)>2，由（1）得f (a
a －1)>f (9)．
∵f (x )是增函数，∴
a
a －1
>9. ………………10分 又a >0，a －1>0，∴1<a <9
8
.
∴a 的取值范围是1<a <9
8
. ………………12分
综上
2243,2()1,21
2,1m m m g m m m m m ⎧++≤-⎪
=--<<-⎨⎪+≥-⎩
21． （Ⅰ）解：由已知可得8=⋅a b 且
243223=⇒=⇒=⋅a a a b 且4=b ……4分 （Ⅱ）解：由（1）可得]1,(,)41()21(-∞∈+≤x m x x 令=u ]
1,(,)41
()21(-∞∈+x x x ，只需 min u m ≤……6分，易得=u ]
1,(,)41
()21(-∞∈+x x x 在]1,(-∞为单调减函数，……9分43
43min ≤∴=
∴m u .……12分
21解：（Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤<+=)
12060(6021)600(154
1
)(x t x t t g ， ⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤<+-=)12060(1512
1
)600(4031)(x t x t t f
（Ⅱ）⎪⎩⎪⎨⎧≤<+--≤<++-=)
12060(90025
24
1)
600(600512122x t t x t t y
当600≤<x 时 675)30(1212
+--=x y 当x ＝30时y max ＝675；
当12060≤<x 时,935)30(24
1
2++-=x y 因为当12060≤<x 时函数单调递减
所以y max <615,综上所述：在第30天的时候销售额最大，最高额为675元。