吉林省松原市实验高级中学高二数学下学期期中试题理(2021年整理)

吉林省松原市实验高级中学2017-2018学年高二数学下学期期中试题理
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吉林省松原市实验高级中学2017—2018学年高二数学下
学期期中试题 理
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一．选择题（本题共12小题，每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）
1. 已知a 为实数，若复数2
(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，则2016
1a i i
++的值为（ ）
A ．1
B ．0
C ．1i +
D ．1i -
2．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是( )
A ．假设至少有一个钝角
B ．假设没有一个钝角
C ．假设至少有两个钝角
D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角
3．根据偶函数定义可推得“函数2()f x x =在R 上是偶函数”的推理过程是（ )
A.归纳推理
B 。

类比推理
C 。

演绎推理 D.非以上答案
4．已知随机变量X 服从正态分布()σ,3N ，且9.0)5(=<X P ，则
=<<)31(X P ( )
A.0.3
B.0.4
C.0。

1
D.0.9
5．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案,则第2016个图案中的白色地面砖有（ ）
A ．8 064块
B ．8066块
C ．8068块
D ．8070块
6. 在今年针对重启“六方会谈”的记者招待会上,主持人要从5名国内记者与4名国外记者中选出3名记者进行提问,要求3人中既有国内记者又有国外记者,且国内记者不能连续提问，不同的提问方式有（ ）
A.180种 B 。

220种 C.260种 D.320种 7。

在中心为O 的正六边形ABCDEF 的电子游戏盘中(如图)，按下开关键后,电子弹从O 点射出后最后落入正六边形的六个角孔内，且每次只能射出一个，现视A ，B ,C ,D ，E ，F 对应的角孔的分数依次记为1,2,3,4,5，6，若连续按下两次开关，记事件M 为“两次落入角孔的分数之和为偶数”，事件N 为“两次落入角孔的分数都为偶数”，则(|)P N M =（ ）
A ．23
B ．14 C. 13
D ．
1
2
8. 已知随机变量X 的分布列为若E(X ）=3，则D(X)=（ ） A ．0。

8 B ．1 C ．2 D 。

2。

4
9．10101010310321021109090)1(9090901C C C C C k k k +⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-+-除以88的余数是
（ ）
.A 1 .B 2 .C 86
.D 87
10。

某次国际象棋比赛规定,胜一局得3分，平一局得1分,负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a ，平局的概率为b ,负的概率为c (a ，b ，c ∈［0,1）），已知他比赛一局得分的数学期望为1，则ab 的最大值为( )
A 。

错误!
B 。

错误!
C 。

错误!
D 。

错误!
11。

已知曲线33y x x =-和直线y x =所围成图形的面积是m ,则()5m x +的展开式中3x 项的系数为( ）
A ．160
B ．480 C. 640 D ．1280
12.定义：如果函数()y f x =在区间[],a b 上存在()1212,x x a x x b <<<，满足
()()()'
1f b f a f x b a -=-，()()()'
2f b f a f x b a
-=-，则称函数()y f x =是在区间[],a b 上
的一个双中值函数，已知函数()326
5
f x x x =-是区间[]m ,0上的双中值函数，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．36,55⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．26,55⎛⎫
⎪⎝⎭
C 。

23,55⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．61,5⎛⎫
⎪⎝⎭
二. 填空题（本题共4小题,每题5分，共20分)
13。

()
5
22111⎪⎭
⎫
⎝⎛--x x 的展开式的常数项是_______。

14。

某处有供水龙头5个，调查表示每个水龙头被打开的可能性均为错误!, 2个水龙头同时被打开的概率为________．
15。

2017年吴京执导的动作、军事电影《战狼2》上映三个月，以56.8亿震撼世界的票房成绩圆满收官,该片也是首部跻身全球票房TOP100的中国电影．小明想约甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《战狼2》，并把标识分别为A ，B ,C ，D 的四张电影票放在编号分别为1，2，3，4的四个不同盒子里，让四位好朋友进行猜测：
甲说：第1个盒子里面放的是B ，第3个盒子里面放的是C ; 乙说：第2个盒子里面放的是B ,第3个盒子里面放的是D ； 丙说：第4个盒子里面放的是D ，第2个盒子里面放的是C ； 丁说:第4个盒子里面放的是A ，第3个盒子里面放的是C . 小明说：“四位朋友，你们都只说对了一半．” 可以推测,第4个盒子里面放的电影票为_________。

16。

函数y=f （x ）图象上不同两点A （x 1，y 1)，B(x 2,y 2）处的切线的斜率分
别是k A ，k B ，规定 φ（A,B)=叫做曲线在点A 与点B 之间的“弯曲度"．设曲线y=e x
上不
同的两点
A （x 1，y 1），
B （x 2，y 2)，且x 1﹣x 2=1，若t •φ（A ，B ）＜2恒成立，则实数t 的取值范围是_________.
三. 解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共70分）.
17.（本题满分10分）
在数列｛n a }中，21=a ,且1++n n a a =2（n ＋1)2，n ∈N ＊。

(1）求;,,432a a a
(2）猜想{n a }的通项公式,并用数学归纳法证明．
18.（本题满分12分）
设n n n x a x a x a a x +•••+++=-2210)12(展开式中只有第1010项的二项式系数最大． (1）求n ；
(2）求||||||||210n a a a a +•••+++; （3）求
n n a a a a 2
22233
221+•••+++. 19.(本题满分12分) 某学校高三有
名学生,按性别分层抽样从高三学生中抽取名男生，名女
生期末某学科的考试成绩，得到如下所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图.
（1)试计算男生考试成绩的平均分x （每组数据取区间的中点值）； （2）根据频率分布直方图可以认为，男生这次考试的成绩服从正态分布
，试计算男生成绩落在区间内的概率及全校考试成绩在
内的男生的人数(结果保留整数)；
（3）若从抽取的名学生中考试成绩优秀（分以上包括分）的学生中再选取名学生,作学习经验交流，记抽取的男生人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望.
参考数据，若
，则6827.0)(=+<<-σμσμZ P ，
9545.0)22(=+<<-σμσμZ P ，9973.0)33(=+<<-σμσμZ P 。

20. (本题满分12分）
某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究,他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数,得到如下资料:
日期
3月1日
3月2日 3月3日 3月4日 3月5
日 温差x
10
11
13
12
8
（1）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为,m n ，求事件
“,m n 均小于25”的概率；
（2）请根据3月2日至3月4日这三天的数据，求出y 关于x 的线性回归方程
ˆˆˆy
bx a =+； (3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过2颗，
则认为得到的线性回归方程是可靠的，请用3月1日和3月5日的数据检验(2）所得的线性回归方程是否可靠?
（参考公式:线性回归方程为ˆˆˆy
bx a =+，其中1
2
2
1
ˆn
i i
i n
i
i x y nx y
b x
nx ==-⋅=-∑∑，
或x b y a
x x
y y x x
b
n
i i
n
i i i
ˆˆ,)()
)((ˆ1
2
1
-=---=∑∑==）
21。

（本题满分12分）
“微信运动”已成为当下热门的健身方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的40人（男、女各20人），记录了
他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：
（1）已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定“积极型”，否则为“懈怠型",根据题意完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？
附：()
()()()()
2
2
n ad bc k a b c d a c b d -=++++，
(2）若小王以这40位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布,现从小王的所有微信好友中任选2人，其中每日走路不超过5000步的有X 人，超过10000步的有Y 人，设X Y ξ=-,求ξ的分布列及数学期望.
22。

（本题满分12分)
设函数()()22ln ,f x x m x g x x x a =-=-+．
（1）当0a =时，()()f x g x ≥在()1,+∞上恒成立，求实数m 的取值范围； (2）当2m =时,若函数()()()h x f x g x =-在[]1,3上恰有两个不同的零点，求实
数a 的取值范围；
(3）是否存在常数m ，使函数()f x 和函数()g x 在公共定义域上具有相同的单
调性?若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案
满分:150分考试时间:120分钟
二、填空题答案(每题5分,共20分）
729
13。

6 14。

10000
15。

A或D 16。

（﹣∞,2］
三、解答题（17题10分，18-22每题12分，共70分）
17、（本题满分10分）解：（1）a2＝6，a3＝12,a4＝20。

…………………3分
（2)猜想n a＝n(n＋1)，n∈N＊. …………………4分
用数学归纳法证明如下：
①当n＝1时,a1＝1×（1＋1)＝2，猜想成立; …………………5分
②假设当n＝k（k≥1)时,猜想成立．即k a＝k（k＋1)，
那么当n＝k＋1时，
a＝2（k＋1）2－k a
k
1
＝2（k＋1)2－k（k＋1)
＝（k＋1）（2k＋2－k）
＝(k＋1）(k＋2)
＝(k＋1)[(k＋1）＋1]
所以当n＝k＋1时，猜想也成立，…………………9分
由①②可得对于任意的正整数n,都有n a＝n（n＋1）．…………………10分
18. （1)由二项式系数的对称性，1101020182
n n +=∴=…………………4分 （2）令1-=x ,得201801220180122018||||||||=3a a a a a a a a ++++-++
+= (8)
分
(3）令 ,1,00==a x 令21
=x ，得02
222332210=+•••++++n
n a a a a a . 所以
1222233
221-=+•••+++n
n a a a a . ……………12分 19. 解析:（1）男生的平均分为x =
. ………2分
(2）由(1）知，可知.
可知成绩落在
内的概率为
6827.0)5.6725.672()5.785.65(=+<<-=<<Z P Z P ,所求考试成绩在
内的男生的人数大约为4106827.010005
3
≈⨯⨯（人)。

………4分
（3）根据频率分布直方图可知男生的考试成绩在的人数为，女
生的人数为，可知随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3.
，
，
，
.
随机变量的分布列为
ξ0123
………10分。

……………12分
20。

解：（Ⅰ）,m n构成的基本事件(),m n有：()()()
23,25,23,30,23,26，()()()
23,16,25,30,25,26，()()()()
25,16,30,26,30,16,26,16，共有10个。

“,m n均小于25”的有1个,其概率为
1
10
……4分
（Ⅱ）∵12,27
x y
==，∴
2222
112513301226312275
1113123122
b
⨯+⨯+⨯-⨯⨯
==
++-⨯
……6分于是，
5
27123
2
a=-⨯=-故所求线性回归方程为ˆ
5
3
2
y x
=-……8分（Ⅲ）由(2）知ˆ
5
3
2
y x
=-，当10
x=时, 22
y=；当8
x=时, 17
y=
与检验数据的误差均为1，满足题意．
故认为得到的线性回归方程是可靠
的. ……12分
21.答案解：（1)
积极型懈怠型总计
男14620
女 8 12 20 总计
22
18
40
()841.3636.311
4018222020861214402
2
<≈=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K ,
故没有95%以上的把握认为二者有
关； ………4分
（2）由题知,小王的微信好友中任选一人，其每日走路步数不超过5000步的概
率为18，超过10000步的概率为1
4
，ξ的可能取值为0,1，
2 ………6分
且当0X Y ==或1X Y ==时，0ξ=，12551129888464
P C =⨯+⋅=
； 当1X =，0Y =或0X =,1Y =时，1ξ=,1122151530884864
P C C =⋅+⋅=；
当2X =,0Y =或0X =，2Y =时，2ξ=，22
1154864P ⎛⎫⎛⎫
=+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ………9分
即ξ的分布列为：
…………10分 所以E （ξ)=85
64526430164290=⨯+⨯+⨯ …………12分
22.（1)当0a =时，由()()0f x g x -≥得ln m x x ≤， ∵1x >，∴ln 0x >,∴有ln x
m x
≤在()1,+∞上恒成立， 令()()2
ln 1
,ln ln x x h x h x x x
-'=
=,由()0h x '=得x e =， 当()(),0,0,00x e h x x e h ''>><<<，∴()h x 在()0,e 上为减函数，在(),e +∞上为增函数，
∴()()min h x h e e ==，∴实数m 的取值范围为m e ≤； …………4分 （2）当2m =时，函数a x x x g x f x h --=-=ln 2)()()(，
()h x 在[]1,3上恰有两个不同的零点，即2ln x x a -=在[]1,3上恰有两个不同的零
点，
令()2ln x x x φ=-,则()22
1x x x x
φ-'=-
=
， 当12x <<，()0x φ'<;当23x <<，()0x φ'>,
∴()x φ在()1,2上单减，在()2,3上单增，()()min 222ln 2x φφ==-，
又()()11,332ln 3φφ==-，()()13φφ>如图所示，所以实数a 的取值范围为
()22ln 2,32ln 3--．
……………8分
（3）函数()f x 和函数()g x 在公共定义域为()0,+∞，
∴()2g x x x a =-+在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，
函数()()22
2ln ,x m
f x x m x f x x
-'=-=，
0m ≤时，()0f x '>恒成立,()f x 在()0,+∞上单调递增,不合题意，
0m >时，当2m x ⎛∈ ⎝时()0f x '<,当2m x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时,()0f x '>， ()f x 在2m ⎛ ⎝上单调递减，在2m ⎫+∞⎪⎪⎭
上为单调递增, 要使()f x 与()g x 具有相同的单调性，须0
212
m m >⎧=，解得12m =．
存在常数1
2
m =时，使()f x 与()g x 具有相同的单调性． ………12分。