广东省东莞市2020届高三数学 小综合专题练习 三角与向量 理

2020届高三理科数学小综合专题练习——三角与向量
一、选择题 1．“53cos =
α”是“25
7
2cos -=α”的… A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．已知2sin(),(,0)32
π
απα-=
∈-且，则tan α等于 A ．
25
5 B ．5
5
-
C ．
52
D ．52
-
3．将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1、2、3、4、5、6的正方体玩具）先后抛掷2次，记第一次出现的点数为m ，记第二次出现的点数为n ，向量
)2 , 2(n m a --=，)1 , 1(=b ，则a 和b 共线的概率为
A ．
181 B ．121 C ．91 D ．12
5 4．已知a r =1，b r =2，a r 与b r 的夹角为120°，a r +b r +c r =0，则a r 与c r
的夹角为
A ．150°
B ．90°
C ．60°
D ．30°
5. 在ABC ∆中．2
2
2
sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-．则A 的取值范围是
A ．（0，
6π] B ．[6π，π） C ．（0，3π] D ．[3
π
，π） 6．函数c o s ()(0,0)y x ωϕωϕπ
=+><<为奇函数， 该函数的部分图像如图所示，A 、B 分别为最高点 与最低点，且||AB =2，则该函数图象的一条对 称轴为
A.2π
=
x B.2
π=
x C.2x =
D.1x =
7．在△ABC 中，P 是B C 边中点，角A
B C 、、的对边分别是a b c 、、，若0c A C a P A b P B ++=u u u r u u u r u u u r r
，则△ABC 的形状为
A.直角三角形
B.钝角三角形
O
x
y
A
B
C.等边三角形
D.等腰三角形但不是等边三角形. 8．如图，将︒45的直角三角板ADC 和︒30的直角三角板ABC 拼在一起组成平面四边形ABCD ，其中︒45的直角三角板的 斜边AC 与︒30的直角三角板的︒30所对的直角边重合，若
DC y DA x DB +=，则x ，y 分别等于
A
,1 B
,1 C
．2
,
1,
二、填空题
9. 在ABC ∆中，3
A π∠=
，6,3==AB BC ，则C ∠=________ 10. 已知向量i 与j 不共线,且,j m i AB +=j i n AD +=，若A 、B 、D 三点共线，则实数
m 、n 应该满足的条件是_______ 11. 已知)1 , 3(1-=e ，)2
3
, 21(2=e ，若221)3(e t e a ⋅-+=，21e t e k b ⋅+⋅-=，若⊥，则实数k 和t 满足的一个关系式是 ，t
t k 2
+的最小值为 ．
12. 如图，半圆的直径AB =6，O 为圆心，C 为半圆上
不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动
点，则()PA PB PC +⋅u u u r u u u r u u u r
的最小值是________
三、解答题
13.如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点． ⑴如果A 、B 两点的纵坐标分别为
45、12
13
，求c
o s α和sin β
⑵在⑴的条件下，求c o s ()β
α-的值；
⑶已知点C (1-，求函数()f O A O C
α=⋅u u u r u u u r
的值域．
第12题图
14题
14. 如图，在△ABC 中，已知B=
3
π
，3D 为BC 边上一点． ⑴若AD=2，S △ADC 3DC 的长； ⑵若AB=AD ，试求△ADC 的周长的最大值．
15.已知函数2()sin(2)2cos 1().6
f x x x x R π
=-
+-∈
⑴求)(x f 的单调递增区间；
⑵在ABC ∆中，三内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知，c a b ,,成等差数列，且
9=•AC AB ，求a 的值.
16. 已知函数b x b x x x f -+⋅=ωωω2
cos 2cos sin 2)(（其中0>b ，0>ω）的最大值为
2，直线1x x =、2x x =是)(x f y =图象的任意两条对称轴，且||21x x -的最小值为
2
π
． ⑴求b ，ω的值； ⑵若32)(=a f ，求)46
5sin(a -π的值．
17.已知函数21
()3sin cos cos ,2
f x x x x x R =--∈． (1)求函数)(x f 的最小值和最小正周期；
(2)已知ABC ∆内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且3,()0c f C ==，若向量
(1,sin )m A =u r 与(2,sin )n B =r
共线，求a b 、的值．
18.如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，33AD =，5sin 13
BAD ∠=
， 3
cos 5
ADC ∠=．
（1）求sin ABD ∠的值； （2）求BD 的长．
A
B
C
D
2020届高三理科数学小综合专题练习——三角与向量
参考答案
一、选择题 1—8：ABBB CDCB 二、填空题
9.0
45=C ; 10.1=mn ; 11.0433
=--k t t ,47-; 12.2
9
-。

三、解答题
13. 解：（1）根据三角函数的定义，得4sin 5α=
，12
sin 13
β=． 又α是锐角，所以3
cos 5
α=． （2）由（1）知12sin 13
β=
． 因为β是钝角，所以5cos 13
β=-
． 所以5312433
c o s ()c o s c o ss i n s i n ()13513565
βαβαβα-=+=-⨯+⨯=
． （3）由题意可知，(c o s s i n)O A αα=u u u r ，
，(O C u u u r ．
所以()i nc o s 2s i n ()
6
f O A πα
ααα
=⋅-=-u u u r u ， 因为02πα<<，所以663πππ
α-<-<
，1s i n ()26a π-<-
从而1()f α-<，因此函数()f O A O C α=⋅u u u r u u u r
的值域为(1-．
14.解：(Ⅰ
) DAC S ∆=Q
1sin 2
AD AC DAC ∴⋅⋅⋅∠= ∴1sin 2
DAC ∠=
． ∵23
3
DAC BAC π
ππ∠<∠<-=
, ∴6
DAC π
∠=
．
在△ADC 中，由余弦定理，得
6
cos 2222π
AC AD AC AD DC ⋅-+=,
23
448224328
DC ∴=+-⨯⨯⨯=, 27DC ∴=．
（2）∵AB AD =，3
B π
=，
∴ABD ∆为正三角形，
在ADC ∆中，根据正弦定理，可得
⎪⎭
⎫
⎝⎛-=
=C DC
C A
D 3sin 32sin 34sin ππ , 8sin AD C ∴=，8sin 3DC C π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
,
∴ADC ∆的周长为
8sin 8sin 43
3AD DC AC C C π⎛⎫
∴++=+-+ ⎪⎝⎭
34cos 23
sin 21834sin 21cos 23sin 8+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=C C C C C 8sin 433C π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭,
2203
3
3
3
3
ADC C C ππ
π
π
π∠=
∴<<
∴
<+
<
Q ，，， () 3.3
26
C C f A π
π
π
∴+
=
当，即＝时，有最大值16+8 ADC ∆的周长最大值为348+．
15．解：（1）x x x x x x f 2cos 2cos 2
12sin 231cos 2)6
2sin()(2+-=
-+-=π
x x 2cos 2
12sin 23+==)62sin(π+x
由c a b ,,成等差数列得：c b a +=2，
由9=•AC AB 得9cos =A bc ，18,92
1==bc bc
由余弦定理得，bc c b A bc c b a 3)(cos 22
222-+=-+=，
于是54422-=a a ，182
=a ，23=a
16．解：⑴)2sin(12cos 2sin )(2ϕωωω++=+=x b x b x x f ，
ππ
=⨯=2
2T ，
ω
π
ωπ==
22T ，所以1=ω， 解212=+b 得3±=b ， 因为0>b ，所以3=b 。

⑵)3
2sin(2)(π
+=x x f ，
由32)(=
a f 得3
1)32sin(=+πα， )3
2(2cos )]32(223sin[)465sin(
παπαπαπ+-=+-=- 1)32(sin 22-+
=π
α9
7
-=．
sin 2sin 6
26
,C 0 1
)2sin( 01)6
2sin()((2) 5 .,2)( 3 1)6
2sin( 12cos 2
1
2sin 2321cos cos sin 3)( )1.(172共线，与即由分最小正周期为为的最小值为分
-∴<
-
<-
<<=-
=--=-∴--
=--=--=A B n m C C C C f x f x x x x x x x f ΘΘΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛπππππππ
,2b ,sin sinA
a B
b
a ==得由正弦定理：① 又c=3，由余弦定理，得,3
cos
292
2
π
ab b a -+= ②
解方程组①②，得⎩
⎨⎧==323
b a 。

18.解：（1）因为3
cos 5
ADC ∠=
，
所以4sin 5
ADC ∠==． 因为5sin 13
BAD ∠=
，
所以12cos 13
BAD ∠==． 因为ABD ADC BAD ∠=∠-∠，
所以()sin sin ABD ADC BAD ∠=∠-∠
sin cos cos sin ADC BAD ADC BAD =∠∠-∠∠
4123533
51351365
=⨯-⨯=
． （2）在△ABD 中，由正弦定理，得sin sin BD AD
BAD ABD =
∠∠， 所以533sin 132533sin 65
AD BAD BD ABD
⨯
⨯∠==
=∠．。