2021年湖北省荆州市监利县第一中学高三数学文模拟试题含解析

2021年湖北省荆州市监利县第一中学高三数学文模拟试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数（其中）的图象如右图所示，则函数的图象是（）
参考答案：
A
试题分析：由题意得，，为的零点，由图可知，，，∴的图象可由向下平移个单位得到，∵，由于，，故可知A符合题意，故选A．
考点：1、二次函数的性质；2、指数函数的图象与性质.
2. 抛物线的准线方程是
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
D
略
3. “”是“”成立的__________ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：
B
略
4. 已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积
为 ( )
A． B． C． D．
参考答案：
A
5. 已知双曲线的左右焦点分别为，在双曲线右支
上存在一点满足且，那么双曲线的离心率是（）A． B．C．D．
参考答案：
C
6. 若，则向量与的夹角为
A．B．C．D．
参考答案：
B
略
7. “”是“”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
参考答案：
C
略
8. 若复数（i为虚数单位），则（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
【分析】
易知，结合复数模的运算法则求解其值即可.
【详解】由题意可得：.
本题选择D选项.
【点睛】本题主要考查复数的运算法则及其应用，属于中等题.
9. 已知不等式组表示的平面区域为M，若直线y＝kx－3k与平面区域M有公共点，则k的取值范围是( )
A. B. C.
D.
参考答案：C
略
10. 在复平面内，复数的对应点位于（）
A、第一象限
B、第二象限
C、第三象限
D、第四象限
参考答案：
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点，过点作圆的切线，切点为使得，则椭圆的离心率的取值范围
是
．
参考答案：
12. 在直角中，，，，为斜边的中点，
则=
参考答案：
-1
13. 已知数列{a n}的前n项和为，且满足，数列{b n}满足，
则数列中第__________项最小．
参考答案：
4
分析：由题可得到数列为等差数列，首项为1，公差为1．可得数列满足
利用累加求和方法即可得出．可得，利用不等式的性质即可得出．
详解：由题时，化为
时，，解得
∴数列a1=1，a2=2的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为2，．
进而得到数列为等差数列，首项为1，公差为1．数列满足
时，
时也成立．
则数列中第4项最小．
即答案为4.
点睛：本题考查了数列递推关系、等差数列的定义项公式与求和公式、累加求和方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14. 已知实数x、y满足，则目标函数的最大值为______.
参考答案：
5
试题分析：可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，直线过点C 时取最大值1.
考点：线性规划
【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 15. 已知矩形 A BCD的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为．
参考答案：
13π
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【分析】正六棱柱的底面边长为x，高为y，则6x+y=9，0＜x＜1.5，表示正六棱柱的体积，利用基本不等式求最值，求出正六棱柱的外接球的半径，即可求出外接球的表面积．
【解答】解：设正六棱柱的底面边长为x，高为y，则6x+y=9，0＜x＜1.5，
正六棱柱的体积V==≤=，
当且仅当x=1时，等号成立，此时y=3，
可知正六棱柱的外接球的球心是其上下底面中心连线的中点，则半径为=，
∴外接球的表面积为=13π．
故答案为：13π．
16. 数列满足,其中为常数．若实数使得数列为等差数列或等比数列，数列的前项和为，则满足
．
参考答案：
10
17. 将圆的六个等分点分成相同的两组，它们每组三个点构成的两个正三角形除去内部的六条线段后可以形成一个正六角星．如图所示的正六角星的中心为点O，其中x，y分别为点O到两个顶点的向量．若将点O到正六角星12个顶点的向量都写成ax+by的形式，则a+b的最大值为．
参考答案：
5
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】根据题意，画出图形，结合图形，得出求a+b的最大值时﹐只需考虑图中6个顶点的向量即可，分别求出即得结论．
【解答】解：欲求a+b的最大值﹐只需考虑右图中6个顶点的向量即可，讨论如下﹔
（1）∵═﹐∴（a，b）=（1，0）；
（2）∵，所以（a，b）=（3，1）；
（3）∵，所以（a，b）=（2，1）；
（4）∵，所以（a，b）=（3，2）；
（5）∵，所以（a，b）=（1，1）；
（6）∵，所以（a，b）=（0，1）；
因此﹐a+b的最大值为3+2=5﹒
故答案为：5﹒
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生．某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图．
（Ⅰ）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关系．求y 关于x的线性回归方程，并预测M公司2017年4月份的市场占有率；
（Ⅱ）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车．现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的A、B两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因（如骑行频率等）会导致车辆报废年限各不相同．考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：
的使用寿命都是整数年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率．如果你是M 公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？
参考数据：，， =17.5．
参考公式：
回归直线方程为其中=， =﹣．
参考答案：
【考点】BK：线性回归方程．
【分析】（Ⅰ）求出回归系数，可得回归方程，即可得出结论；
（Ⅱ）分别计算相应的数学期望，即可得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）由题意， =3.5， =16， ==2， =﹣?=16﹣2×3.5=9，
∴=2x+9，
x=7时，=2×7+9=23，即预测M公司2017年4月份（即x=7时）的市场占有率为23%；
（Ⅱ）由频率估计概率，每辆A款车可使用1年，2年，3年、4年的概率分别为0.2，0.35，0.35，0.1，
∴每辆A款车的利润数学期望为×0.2+×0.35+×0.35+×0.1=175元；
每辆B款车可使用1年，2年，3年、4年的概率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，
∴每辆B款车的利润数学期望为×0.1+×0.3+×0.4+×0.2=150元；
∵175＞150，
∴应该采购A款车．
19.
（12分）设点A、B是直线与抛物线的两个交点，抛物线上的动点M 在A、B两点间移动，如图所示。

（1）试求M的坐标，使得△MAB的面积最大；
（2）试证明：抛物线上平行于AB的弦恒被一条定直线平分。

参考答案：
解析：（1）设点M的坐标为,由于线段AB的长是定值,所以只要点M到直线AB的距离最大即可.平行移动AB到与抛物线相切的位置时,切点到直线AB的距离最大.因为
,,于是代入中得,因此当点M的坐标为时, 使得△MAB的面积最大. …………… 6分
（2）设抛物线平行于直线AB的弦的方程为弦的两个端点为
、，则所以
即.若设弦的中点为,则x=－1,即弦的中点的轨迹方程为x=－1,因此抛物线上平行于AB的弦恒被一条直线平分 .....12分
20. 已知函数
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）求时函数f（x）的最大值和最小值．
参考答案：
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【分析】（1）化简得f（x）=sin（2x﹣）+．令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解出单调递减区间；
（2）根据x的范围求出2x﹣的范围，结合正弦函数的单调性求出最值．
【解答】解：（1）f（x）=sinxcosx+?=sin2x﹣cos2x+
=sin（2x﹣）+．
∴f（x）的最小正周期是T=π．
令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得+kπ≤x≤+kπ，
∴f（x）的单调减区间是[+kπ， +kπ]，k∈Z．
（2）∵，∴2x﹣∈[0，]，
∴当2x﹣=0 时，f（x）取得最小值，
当2x﹣=时，f（x）取得最大值+1．
21. （本小题满分12分）已知数列
(I)若，求x的取值集合D；
(Ⅱ)当函数的定义域为(I)中的集合D时，设函数，
求函数的值域。

参考答案：
22. 已知函数f（x）=x4﹣4x3+ax2﹣1在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减．
（1）求a的值；
（2）记g（x）=bx2﹣1，若方程f（x）=g（x）的解集恰有3个元素，求b的取值范围．
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．
【专题】综合题；压轴题；方程思想．
【分析】（1）根据函数f（x）=x4﹣4x3+ax2﹣1在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减，知道x=1是f（x）的极值点，求导，令
f′（1）=0，可得a的值；（2）把f（x）和g（x）代入方程f（x）=g（x），因式分解，转化为一元二次方程根的问题，求得b的取值范围．
【解答】解：（1）f′（x）=4x3﹣12x2+2ax，因为f（x）在[0，1]上递增，在[1，2]上递减，所以x=1是f（x）的极值点，
所以f′（1）=0，
即4×13﹣12×12+2a×1=0．
解得a=4，经检验满足题意，所以a=4．
（2）由f（x）=g（x）可得
x2（x2﹣4x+4﹣b）=0，
由题意知此方程有三个不相等的实数根，
此时x=0为方程的一实数根，则方程x2﹣4x+4﹣b=0应有两个不相等的非零实根，所以△＞0，且4﹣b≠0，
即（﹣4）2﹣4（4﹣b）＞0且b≠4，
解得b＞0且b≠4，
所以所求b的取值范围是（0，4）∪（4，+∞）．
【点评】考查利用导数研究函数的单调性和极值，以及一元二次方程根的存在性的判定，体现了数形结合的思想方法，属中档题．。