泸科版九年级数学上册第21章达标检测卷附答案

泸科版九年级数学上册第21章达标检测卷一、选择题(每题4分，共40分)
1．下列函数中不属于二次函数的是()
A．y＝(x－1)(x＋2) B．y＝1
2(x＋1)
2C．y＝1－3x2D．y＝2(x＋3)2－2x2
2．为了更好地保护水资源，造福人类，某工厂计划建一个容积V(m3)一定的污水处理池，池的底面积S(m2)与其深度h(m)满足表达式V＝Sh(V≠0)，则S关于h的函数图象大致是()
3．若点A(a＋1，y1)，B(a－1，y2)在反比例函数y＝k
x(k<0)的图象上，且y1＜y2，则a的取值范围是()
A．a<－1 B．－1<a<1 C．a>1 D．a<－1或a>1 4．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2－4先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线对应的函数表达式为()
A．y＝(x＋2)2＋2 B．y＝(x－2)2－2 C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x＋2)2－2 5．已知点(3，y1)，(4，y2)，(5，y3)在函数y＝2x2＋8x＋7的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是()
A．y1>y2>y3B．y2>y1>y3C．y3>y2>y1D．y2>y3>y1
6．若函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则函数y＝ax＋b和y＝c
x在同一
平面直角坐标系中的图象大致是()
7．抛物线y＝－x2＋bx＋c上，部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表所示：
x…－2 －1 0 1 2 …
y…0 4 6 6 4 …
从上表可知，下列说法中错误的是()
A．抛物线与x轴的一个交点坐标为(－2，0)
B．抛物线与y轴的交点坐标为(0，6)
C．抛物线的对称轴是直线x＝0
D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的
8．在平面直角坐标系中，有M(2，1)，N(2，6)两点，过反比例函数y＝k
x的图象
上任意一点P作y轴的垂线PG，G为垂足，O为坐标原点．若反比例函数y
＝k
x的图象与线段MN相交，则△OGP的面积S的取值范围是()
A.1
2≤S≤3 B．1≤S≤6 C．2≤S≤12 D．S≤2或S≥12
9．某海滨浴场有100把遮阳伞，每把伞每天收费10元时，可全部租出；若每把伞每天收费提高2元，则减少10把伞租出；若每把伞每天收费再提高2元，则再减少10把伞租出……要使投资少而获利大，每把伞每天应提高()(注：提高钱数是2元的倍数)
A．4元或6元B．4元C．6元D．8元
10．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过点(－1，0)和点(0，－3)，且顶点在第四象限，设P＝a＋b＋c，则P的取值范围是()
A．－3＜P＜－1 B．－6＜P＜0 C．－3＜P＜0 D．－6＜P＜－3
二、填空题(每题5分，共20分)
11．小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x的边与这条边上的高之和为40，这个三角形的面积S随x的变化而变化．则S与x之间的函数表达式为____________________．
12．如图所示是一个横断面为抛物线形的拱桥，当水面宽6 m时，拱顶(拱桥洞的最高点)距离水面3 m，当水面下降1 m时，水面的宽度为________．13．如图，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A，D在x轴的正半轴上，
点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B，E在反比例函数y＝k
x的图象
上，且OA＝1，OC＝6，则正方形ADEF的边长为________．
14．P是抛物线y＝2(x－2)2的对称轴上的一个动点，直线x＝t平行于y轴，分别与直线y＝x，抛物线交于点A，B.若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，则满足条件的t的值为________．
三、解答题(15～18题，每题8分；19，20题，每题10分；21，22题，每题12
分；23题14分，共90分)
15．已知二次函数的图象经过点(0，－4)，且当x＝2时，y有最大值－2.求该二次函数的表达式．
16．如图，已知反比例函数y＝k
x与一次函数y＝x＋b的图象交于A(1，－k＋4)，B(k－4，－1)两点．
(1)试确定这两个函数的表达式；
(2)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．
17．(1)在同一直角坐标系中，画出函数y＝x2，y＝(x＋3)2，y＝(x－3)2的图象；
(2)比较(1)中的三个函数图象之间的位置关系，写出这三个函数图象的顶点坐
标和对称轴．
18．如图，一次函数y＝x＋5的图象与反比例函数y＝k
x(k为常数且k≠0)的图象相交于A(－1，m)，B两点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)将一次函数y＝x＋5的图象沿y轴向下平移b个单位(b>0)，使平移后的图
象与反比例函数y＝k
x的图象有且只有一个交点，求b的值．
19．已知二次函数y＝x2＋bx－c的图象与x轴两个交点的坐标分别为(m，0)和(－3m，0)(m≠0)．
(1)求证：4c＝3b2；
(2)若该函数图象的对称轴为直线x＝1，试求该二次函数的最小值．
20．已知二次函数y＝ax2＋bx－(a＋b)，a，b是常数，且a≠0.
(1)判断该二次函数图象与x轴交点的个数；
(2)若该二次函数的图象过A(－1，4)，B(0，－1)，C(1，1)三个点中的两个点，
求该二次函数的表达式；
(3)若a＋b<0，点P(2，m)(m>0)在该二次函数的图象上，求证：a>0.
21．某中学为预防秋季呼吸道疾病的传播，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y(mg)与时间x(min)之间的关系如图所示(即图中线段OA和双曲线在A点右侧的部分)．根据图象所示信息，解答下列问题：
(1)写出从药物释放开始，y与x之间的函数表达式及自变量的取值范围；
(2)据测定，只有当空气中每立方米的含药量不低于5 mg时，且至少持续作
用20 min以上对预防才有作用，请问这次消毒是否有作用？
22．国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围内，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x(套)与每套的售价y1(万元)之间的关系是y1＝170－2x，月产量x(套)与生产总成本y2(万元)之间存在如图所示的函数关系．
(1)直接写出
．．．．y2与x之间的函数表达式；
(2)求月产量x的范围；
(3)当月产量为多少时，这种设备的月利润最大？最大月利润是多少？
23．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C分别为坐标轴上的三个点，且OA＝1，OB＝3，OC＝4.
(1)求经过A，B，C三点的抛物线所对应的函数表达式；
(2)在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以点A，B，C，P为顶点
的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若点M为该抛物线上一动点，在(2)的条件下，求出当|PM－AM|取最大值
时点M的坐标，并直接写出|PM－AM|的最大值．
答案
一、1.D 2.C 3.B 4.B 5.C 6.D
7．C8.B9.C
10．B【点拨】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过点(－1，0)和点(0，－3)，∴0＝a－b＋c，－3＝c，∴b＝a－3.∴P＝a＋b＋c＝a＋a－3－3＝2a－6.∵顶点在第四象限，a＞0，∴b＝a－3＜0，∴a＜3，∴0＜a＜3，∴－6＜2a－6＜0，即－6＜P＜0.故选B.
二、11.S＝－1
2x
2＋20x12.4 3 m
13．214.5±5
2或1或3
三、15.解：∵当x＝2时，y有最大值－2，
∴设所求的二次函数的表达式为y＝a(x－2)2－2(a≠0)．∵它的图象过点(0，－4)，
∴－4＝a(0－2)2－2，解得a＝－1 2.
∴y＝－1
2(x－2)
2－2.
16．解：(1)反比例函数的表达式为y＝2
x，一次函数的表达式为y＝x＋1.
(2)由图象可知，当反比例函数的值大于一次函数的值时，x的取值范围是x<－2或0<x<1.
17．解：(1)如图．
(2)三条抛物线的形状相同．抛物线y＝(x＋3)2是由抛物线y＝x2向左平移3个单位长度而得到的；抛物线y＝(x－3)2是由抛物线y＝x2向右平移3个单位长度而得到的．抛物线y＝x2的顶点坐标是(0，0)，对称轴是y轴；抛物线y＝(x＋3)2的顶点坐标为(－3，0)，对称轴是直线x＝－3；抛物线y＝(x－3)2的顶点坐标为
(3，0)，对称轴是直线x＝3.
18．解：(1)∵一次函数y＝x＋5的图象与反比例函数y＝k
x(k为常数且k≠0)的图
象相交于A(－1，m)，∴m＝4.
∴k＝－1×4＝－4.
∴反比例函数的表达式为y＝－4 x.
(2)一次函数y＝x＋5的图象沿y轴向下平移b个单位(b>0)得到的图象对应的函数表达式为y＝x＋5－b.
∵平移后的图象与反比例函数y＝k
x的图象有且只有一个交点，
即x＋5－b＝－4
x有两个相等的实数根．
即x2＋(5－b)x＋4＝0.
∴Δ＝(5－b)2－16＝0，
解得b＝9或1.
19．(1)证明：由题意知m，－3m是一元二次方程x2＋bx－c＝0的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系，得
m＋(－3m)＝－b，m·(－3m)＝－c，
∴b＝2m，c＝3m2，
∴4c＝12m2，3b2＝12m2，
∴4c＝3b2.
(2)解：由题意得－b
2＝1，
∴b＝－2.由(1)得c＝3
4b
2＝
3
4×(－2)
2＝3，∴y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，
∴该二次函数的最小值为－4.
20．(1)解：∵b2＋4a(a＋b)＝b2＋4ab＋4a2＝(b＋2a)2，∴当b＋2a＝0时，图象与x轴有一个交点；
当b＋2a≠0时，图象与x轴有两个交点．
(2)解：∵当x＝1时，y＝a＋b－(a＋b)＝0，
∴图象不可能过点C(1，1)．
∴函数的图象经过A (－1，4)，B (0，－1)两点， 可得⎩⎨⎧a －b －（a ＋b ）＝4，－（a ＋b ）＝－1，
解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝－2.
∴该二次函数的表达式为y ＝3x 2－2x －1.
(3)证明：∵点P (2，m )(m >0)在该二次函数的图象上， ∴m ＝4a ＋2b －(a ＋b )＝3a ＋b >0. 又∵a ＋b <0， ∴(3a ＋b )－(a ＋b )>0， 整理，得2a >0， ∴a >0.
21．解：(1)设反比例函数的表达式为y ＝k x (k ≠0)，将点(25，6)的坐标代入y ＝k
x (k ≠0)，得k ＝25×6＝150，
则反比例函数的表达式为y ＝150x .
将y ＝10代入y ＝150x ，得10＝150
x ， 解得x ＝15， 故A (15，10)．
设正比例函数的表达式为y ＝nx (n ≠0)， 将点A (15，10)的坐标代入y ＝nx (n ≠0)， 得n ＝1015＝23，
则正比例函数的表达式为y ＝2
3x . 综上，可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧23x （0≤x ≤15），
150x （x ＞15）.
(2)将y ＝5代入y ＝150
x ，得x ＝30；
将y ＝5代入y ＝2
3x ，得x ＝7.5.
∵30－7.5＝22.5(min)，22.5＞20， ∴这次消毒有作用．
22．解：(1)y 2与x 之间的函数表达式为y 2＝500＋30x . (2)依题意，得⎩⎨⎧500＋30x ≤50x ，
170－2x ≥90.
解得25≤x ≤40.
(3)设这种设备的月利润为w 万元，则w ＝xy 1－y 2＝x (170－2x )－(500＋30x )＝－2x 2＋140x －500， ∴w ＝－2(x －35)2＋1 950. ∵－2＜0，25<35<40, ∴当x ＝35时，w 最大＝1 950.
即当月产量为35套时，这种设备的月利润最大，最大月利润是1 950万元． 23．解：(1)设抛物线所对应的函数表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，由题易知A (1，0)，B (0，3)，C (－4，0)． ∵点A ，B ，C 在抛物线上，
∴⎩⎨⎧a ＋b ＋c ＝0，c ＝3，16a －4b ＋c ＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－34，
b ＝－94，
c ＝3.
∴经过A ，B ，C 三点的抛物线所对应的函数表达式为y ＝－34x 2－9
4x ＋3. (2)存在．理由：当点P 在第一象限时，如图，作平行四边形ACBP .
∵OB ＝3，OC ＝4，OA ＝1，∠BOC ＝90°， ∴BC ＝AC ＝5.
又∵四边形ACBP 是平行四边形， ∴四边形ACBP 为菱形． 易知此时点P 的坐标为(5，3)．
当点P 在第二、三象限时，以点A ，B ，C ，P 为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，则当点P 的坐标为(5，3)时，以点A ，B ，C ，P 为顶点的四边形为菱形．
(3)设直线P A 对应的函数表达式为y ＝kx ＋m (k ≠0)， ∵A (1，0)，P (5，3)， ∴⎩
⎨⎧5k ＋m ＝3，k ＋m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3
4，
m ＝－3
4，
∴直线P A 所对应的函数表达式为y ＝34x －3
4.
∵当点M 与点P ，A 不在同一直线上时，根据三角形的三边关系知|PM －AM |＜P A ，当点M 与点P ，A 在同一直线上时，|PM －AM |＝P A ，
∴当点M 与点P ，A 在同一直线上时，|PM －AM |的值最大，即点M 为直线P A 与抛物线的交点．
解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝34x －34，
y ＝－34x 2－9
4x ＋3，
得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝0或⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－5，
y ＝－92.
∴当点M 的坐标为(1，0)或⎝ ⎛
⎭⎪⎫－5，－92时，|PM －AM |的值最大，此时|PM －AM |
的值为5.
沪科版九年级数学上册期末测试卷
一、选择题(每题4分，共40分)
1.2sin 60°的值等于()
A．1 B. 2 C. 3 D．2 2．下列函数属于二次函数的是() A．y＝2x－1 B．y＝x2＋2x－3
C．y＝1
x2＋3 D．y＝
5
x
3．抛物线y＝3x2－3向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为() A．y＝3(x－3)2－3 B．y＝3x2
C．y＝3(x＋3)2－3 D．y＝3x2－6
4．在R t△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝15，则∠A＝() A．90°B．60°C．45°D．30°
5．若点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)都是反比例函数y＝－1
x图象上的点，并且y1
＜0＜y2＜y3，则下列各式中正确的是()
A．x1＜x2＜x3B．x1＜x3＜x2
C．x2＜x1＜x3D．x2＜x3＜x1
6．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE∶S△COA＝1∶9，则S△BDE与S△CDE的比是()
A．1∶3 B．1∶2
C．1∶4 D．1∶9
7．下表是一组二次函数y＝x2＋3x－5的自变量x与函数值y的对应值：
x 1 1.1 1.2 1.3 1.4
y－1 －0.49 0.04 0.59 1.16
那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是()
A．1 B．1.1 C．1.2 D．1.3
8．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论中正确的是()
A．abc＞0 B．2a－b＝0
C．2a＋b＝0 D．a－b＋c＞0
(第8题) (第9题)
9．如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A2 020A2 021，过点
A1、A2、A3、…、A2 020、A2 021分别作x轴的垂线与反比例函数y＝2
x(x≠0)的
图象相交于点P1、P2、P3、…、P2 020、P2 021，得直角三角形OP1A1、A1P2A2、A2P3A3、…、A2 020P2 021A2 021，并设其面积分别为S1、S2、S3、…、S2 020、S2 021，则S2 021的值为()
A.
1
2 020 B.
1
2 021 C.
1
1 010 D.
2
2 021
10．如图，正方形ABCD的边长为3 cm，动点P从B点出发以3 cm/s的速度沿着边BC→CD→DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x(s)，△BPQ的面积为y(cm2)，则y关于x的函数图象是()
二、填空题(每题5分，共20分)
11．若抛物线y＝ax2＋k与y＝3x2的形状和开口方向相同，且其顶点坐标是(0，
1)，则其表达式为____________________．
12．若a
b＝
c
d＝
e
f＝2，且b＋d＋f＝4，则a＋c＋e＝________．
13．已知α是锐角，若sin α＝cos 15°，则α＝________°.
14．在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90°，AD ＝2 cm ，AB ＝7 cm ，BC ＝3 cm ，
试在AB 边上确定P 的位置，使得以P 、A 、D 为顶点的三角形与以P 、B 、C 为顶点的三角形相似，则AP 的长是__________________________． 三、(每题8分，共16分)
15．计算：2cos 45°－tan 60°＋sin 30°－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12 .
16．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 在AC 上，∠BDC ＝45°，BD ＝102，
AB ＝20. (1)求BC 的长； (2)求AC 的长； (3)求∠A 的大小．
四、(每题8分，共16分)
17．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 的一些对应值如表：
x … －1 0 1 2 3 4 … y ＝ax 2＋bx ＋c
…
3
－1
3
…
(1)根据表格中的数据，确定二次函数的表达式；
(2)补全表格中空白处的对应值并利用表格，用五点作图法，在图中画出二次函
数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象；(不必重新列表) (3)根据图象回答：
①当1≤x≤4时，求y的取值范围；
②当x取何值时，y＞0?
18．如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°，现有一架长为6 m的梯子AB，当梯子底端离墙面的距离AC＝2 m时，此时人是否能够安全地使用这架梯子？(参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，sin 75°≈0.97，cos 75°≈0.26)
五、(每题10分，共20分)
19．如图，已知△ABD∽△ACE.求证：
(1)∠DAE＝∠BAC；
(2)△DAE∽△BAC.
20．如图，已知A(－4，2)，B(n，－4)是一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函
数y＝m
x(m≠0)的图象的两个交点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)根据图象写出使一次函数的函数值小于反比例函数的函数值的x的取值范围．
六、(12分)
21．如图，图中的小方格是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
(1)画出位似中心点O；
(2)求出△ABC与△A′B′C′的相似比；
(3)以点O为位似中心，在图中画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比等于3∶
2.
七、(12分)
22．某公司生产a型活动板房的成本是每个425元．图①表示a型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD＝4 m，宽AB＝3 m，抛物线的最高点E到BC的距离为4 m.
(1)按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝kx2＋m(k≠0)表示．求该抛物线
的函数表达式；
(2)现将a型活动板房改造为b型活动板房．如图②，在抛物线与AD之间的区域
内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户的成本为50元/m2.已知GM＝2 m，求每个b型活动板房的成本是多少？
(每个b型活动板房的成本＝每个a型活动板房的成本＋一扇窗户FGMN的成本)
(3)根据市场调查，以单价650元销售(2)中的b型活动板房，每月能售出100个，
而单价每降低10元，每月能多售出20个．公司每月最多能生产160个b型活动板房．不考虑其他因素，公司将销售单价n(元)定为多少时，每月销售b 型活动板房所获利润w(元)最大？最大利润是多少？
八、(14分)
23．如图，R t△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB ＝∠BPC＝135°.
(1)求证：△P AB∽△PBC；
(2)求证：P A＝2PC；
(3)若点P到三角形的三边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证：h12＝
h2·h3.
答案
一、1．C
2．B 点拨：A.y ＝2x －1是一次函数，故A 错误；B.y ＝x 2＋2x －3是二次函数，
故B 正确；C.y ＝1x 2＋3中自变量x 的指数为－2，故C 错误；D.y ＝5
x 是反比例函数，故D 错误．故选B. 3．A
4．D 点拨：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝15，
∴tan A ＝BC AC ＝515＝3
3.
又∵tan 30°＝
3
3
， ∴∠A ＝30°.故选D.
5．D 点拨：∵反比例函数y ＝－1
x 中k ＝－1＜0，
∴此函数的图象在第二、四象限，且在每一象限内y 随x 的增大而增大． ∵y 1＜0＜y 2＜y 3，
∴点(x 1，y 1)在第四象限，(x 2，y 2)、(x 3，y 3)两点均在第二象限， ∴x 2＜x 3＜x 1.故选D. 6．B 点拨：∵DE ∥AC ，
∴△DOE ∽△COA . 又S △DOE ∶S △COA ＝1∶9， ∴DE AC ＝13. ∵DE ∥AC ， ∴BE BC ＝DE AC ＝13， ∴BE CE ＝12，
∴S △BDE 与S △CDE 的比是1∶2.故选B. 7．C
8．C 点拨：A.由抛物线的开口向下知a ＜0，∵对称轴为直线x ＝－b
2a ＞0，a
＜0，∴a 、b 异号，即b ＞0.
∵由图象知抛物线与y 轴交于正半轴，∴c ＞0， ∴abc ＜0，故本选项不符合题意； B ．∵a ＜0，b ＞0，
∴2a －b ＜0，故本选项不符合题意； C ．由图象可知，对称轴是直线x ＝1， ∴－b
2a
＝1，
∴2a ＋b ＝0，故本选项符合题意；
D ．根据图象的对称性可知当x ＝－1时，y ＜0，即a －b ＋c ＜0，故本选项不符合题意，故选C.
9．B 点拨：因为OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝A 3A 4＝A 4A 5，所以由k 的几何意义得，
S 1＝1，S 2＝12S 1＝1
2， S 3＝13S 1＝13， S 4＝14S 1＝14， S 5＝15S 1＝1
5，… 依次类推：S n 的值为1
n . 当n ＝2 021时，S 2 021＝1
2 021. 故选B.
10．C 点拨：由题意可得BQ ＝x .
①0≤x ≤1时，P 点在BC 边上，BP ＝3x ， 则△BPQ 的面积＝1
2BP ·BQ ， 即y ＝12·3x ·x ＝32x 2，故A 选项错误； ②1＜x ≤2时，P 点在CD 边上， 则△BPQ 的面积＝1
2BQ ·BC ，
即y ＝12·x ·3＝ 32x ，故B 选项错误；
③2＜x ≤3时，P 点在AD 边上，AP ＝9－3x ， 则△BPQ 的面积＝12AP ·BQ ，
即y ＝12·(9－3x )·x ＝92x －32x 2，故D 选项错误．故选C. 二、11．y ＝3x 2＋1
12．8 点拨：由a b ＝c d ＝e
f ＝2及等比性质知，a ＋c ＋e b ＋d ＋f
＝a ＋c ＋e 4＝2，
∴a ＋c ＋e ＝8. 故答案为8.
13．75 点拨：∵sin α＝cos 15°，
∴α＝90°－15°＝75°. 故答案为75. 14.14
5 cm 或1 cm 或
6 cm
点拨：设AP ＝x ，则BP ＝7－x . ∵AD ∥BC ，∠A ＝90°， ∴∠B ＝∠A ＝90°.
当∠APD ＝∠BPC 时，△APD ∽△BPC ， ∴AP BP ＝AD BC ，即x 7－x ＝23，
解得x ＝14
5；
当∠APD ＝∠BCP 时，△APD ∽△BCP ，
∴AP BC ＝AD PB ，即x 3＝27－x
，解得x ＝1或x ＝6.
综上所述，当AP 的长为14
5 cm 或1 cm 或
6 cm 时，以P 、A 、D 为顶点的三
角形与以P 、B 、C 为顶点的三角形相似．故答案为14
5 cm 或1 cm 或
6 cm.
三、15．解：原式＝2×22－3＋12－1
2＝2－ 3. 16．解：(1)在Rt △BCD 中，
∵sin ∠BDC ＝BC BD ，∴BC ＝BD ·sin ∠BDC ＝102×2
2＝10.
(2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝20，BC ＝10， ∴AC ＝AB 2－BC 2＝10 3. (3)在Rt △ABC 中，sin A ＝BC AB ＝12， 又∵∠A 为锐角，∴∠A ＝30°.
四、17.解：(1)∵由表格可知，x ＝0时，y ＝3；x ＝2时，y ＝－1；x ＝4时，y ＝3，
∴⎩⎨⎧c ＝3，4a ＋2b ＋c ＝－1，16a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝3.
∴二次函数的表达式为y ＝x 2－4x ＋3. (2)补全表格：
x … －1 0 1 2 3 4 … y ＝ax 2＋bx ＋c …
8
3
－1
3
…
函数图象如图所示：
(3)①由(2)的函数图象可知，当 1≤x ≤4时，y 的取值范围是－1≤y ≤3； ②由函数图象可知，当x ＜1或x ＞3时，y ＞0. 18．解：在Rt △ABC 中，
∵cos α＝AC AB ， ∴AC ＝AB ·cos α，
当α＝50°时，AC ＝AB ·cos 50°≈6×0.64＝3.84(m)， 当α＝75°时，AC ＝AB ·cos 75°≈6×0.26＝1.56(m)．
即要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子底端离墙面的距离应该在1.56 m ～3.84 m 之间，故当梯子底端离墙面的距离AC ＝2 m 时，人能够安全地使用这架梯子．
五、19.证明：(1)∵△ABD ∽△ACE ，
∴∠BAD ＝∠CAE ，
∴∠BAD ＋∠BAE ＝∠BAE ＋∠CAE ， ∴∠DAE ＝∠BAC . (2)∵△ABD ∽△ACE ， ∴AD AE ＝AB AC ， ∴AD AB ＝AE AC .
又∵∠DAE ＝∠BAC ， ∴△DAE ∽△BAC .
20．解：(1)把A (－4，2)代入y ＝m
x 中，得m ＝－8，
则反比例函数的表达式是y ＝－8
x . 把(n ，－4)代入y ＝－8
x ，得n ＝2， 则点B 的坐标是(2，－4)．
把A (－4，2)，B (2，－4)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧－4k ＋b ＝2，
2k ＋b ＝－4，
解得⎩⎨⎧k ＝－1，
b ＝－2，
则一次函数的表达式是y ＝－x －2.
(2)由图象及(1)可知使一次函数的函数值小于反比例函数的函数值的x 的取值范围是－4＜x ＜0或x ＞2.
六、21．解：(1)如图所示，点O 即为所求．
(2)△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为OA OA ′＝612＝1
2. (3)如图所示，△A 2B 2C 2即为所求．
七、22．解：(1)∵AD ＝4 m ，
∴D (2，0)．
由题意知EH ＝4 m ，OH ＝AB ＝3 m ， ∴EO ＝EH －OH ＝4－3＝1(m)， ∴E (0，1)．
把点D (2，0)，E (0，1)的坐标代入y ＝kx 2
＋m ，得⎩
⎨⎧0＝4k ＋m ，
1＝m ，
解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－14，
m ＝1，
∴该抛物线的函数表达式为y ＝－1
4x 2＋1. (2)∵GM ＝2 m ， ∴OM ＝OG ＝1 m ，
当x ＝1时，y ＝－14×12＋1＝3
4， ∴N ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1，34，
∴MN ＝3
4 m ，
∴S 长方形FGMN ＝MN ·GM ＝34×2＝3
2(m 2)， ∴每个b 型活动板房的成本是 425＋32×50＝500(元)． (3)根据题意，得
w ＝(n －500)⎣⎢⎡
⎦⎥⎤100＋
20（650－n ）10＝－2(n －600)2＋20 000， ∵每月最多能生产160个b 型活动板房， ∴100＋
20（650－n ）
10
≤160，解得n ≥620，∵－2＜0，
∴当n ≥620时，w 随n 的增大而减小， ∴当n ＝620时，w 有最大值，W 最大值＝19 200.
答：公司将销售单价定为620元时，每月销售b 型活动板房所获利润最大，最大利润是19 200元．
八、23．证明：(1)∵∠ACB＝90°，
AC＝BC，
∴∠ABC＝45°＝∠PBA＋∠PBC.
又∵∠APB＝135°，
∴∠P AB＋∠PBA＝45°，
∴∠PBC＝∠P AB.
又∵∠APB＝∠BPC＝135°，
∴△P AB∽△PBC.
(2)∵△P AB∽△PBC，
∴P A
PB＝
PB
PC＝
AB
BC.
在R t△ABC中，AB＝AC2＋BC2＝2BC，
∴AB
BC＝2，
∴PB＝2PC，P A＝2PB，
∴P A＝2PC.
(3)如图，过点P作PD⊥BC交BC于点D，PE⊥AC交AC于点E，PF⊥AB 交AB于点F，
∴PF＝h1，PD＝h2，PE＝h3.
∵∠CPB＋∠APB＝135°＋135°＝270°，
∴∠APC＝360°－270°＝90°，
∴∠EAP＋∠ACP＝90°.
又∵∠ACB＝∠ACP＋∠PCD＝90°，
∴∠EAP＝∠PCD.
又∵∠AEP＝∠CDP＝90°，
∴R t△AEP∽R t△CDP，
∴PE
DP＝
AP
PC＝2，
即h3
h2＝2，
∴h3＝2h2.
∵△P AB∽△PBC，
∴h1
h2＝
AB
BC＝2，∴h1＝2h2，
∴h12＝2h22＝2h2·h2＝h2h3，即h12＝h2·h3.。