高中数学第1章三角函数9三角函数的简单应用课件北师大版必修4
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图1－9－5
第三十二页，共34页。
【解】 (1)由题图可知，一天最大用电量为50万度，最小用电量为30万度． (2)b＝30＋2 50＝40，A×1＋40＝50⇒A＝10， 由图可知，T2＝14－8＝6， 则T＝12，ω＝2Tπ＝π6， 则y＝10sinπ6x＋φ＋40， 代入(8,30)得φ＝π6， ∴解析式为y＝10sinπ6x＋π6＋40，x∈[8,14]．
3．如图1－9－4所示，是一弹簧振子作简谐振动的图像，横轴表示振动的时 间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是________.
【导学号：66470033】
图1－9－4
第二十七页，共34页。
【解析】 设函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则由题意得 A＝2，T＝2×(0.5－0.1)＝0.8， ∴ω＝02.π8＝52π.又52π×0.1＋φ＝π2，∴φ＝π4， ∴解析式为y＝2 sin52πt＋π4. 【答案】 y＝2sin52πt＋π4
【精彩点拨】 (1)求t＝0时所对应的电压． (2)求函数的周期．(3)求函数的最值． 【自主解答】 (1)当t＝0时，E＝110 3(V)，即开始时的电压为110 3V. (2)T＝120π0π＝510(s)，即时间间隔为0.02 s. (3)电压的最大值为220 3V， 当100πt＋π6＝π2，即t＝3100(s)时第一次取得最大值．
第二十八页，共34页。
4．某同学利用描点法画函数y＝Asin(ωx＋φ) 其中0<A≤2，0<ω<2，－π2<φ<π2 的图象，列出的部分数据如下表：
x012 3 4 y 1 0 1 －1 －2 经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函数y＝ Asin(ωx＋φ)的解析式应是________．
第十一页，共34页。
(3)当t＝0时，s＝4sin
π 3
＝2
3 (cm)．故小球开始振动时，离开平衡位置的位
移是2 3 cm.
第十二页，共34页。
[探究共研型]
三角函数(sānjiǎhánshù)的实际应用
探究1 建立三角函数模型解决实际问题的思路是什么？ 【提示】(1)先寻找与角有关的信息，确定选用正弦、余弦还是正切函数模 型． (2)其次是搜集数据，建立三角函数解析式并解题． (3)最后将所得结果翻译成实际答案．
第三页，共34页。
2．解答三角函数应用题的一般步骤
第四页，共34页。
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝sin x在第一象限内是增函数．( )
(2)函数y＝3sin x－1的最大值为3.( )
(3)直线x＝π是函数y＝sin x的一条对称轴．( )
(4)函数y＝sin(πx－4)的周期为2.( )
【解析】
(1)由正弦函数图像知，正确；(2)最大值应该是3－1＝2；(3)x＝
π 2
＋kπ(k∈Z)是y＝sin x的对称轴；(4)T＝2ππ＝2. 【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)√
第五页，共34页。
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问 2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问 3：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________
知x＝1时函数取得最大值2，
∴函数的最小正周期为6.
∴ω＝π3. 【答案】
y＝2sinπ3x＋π6
第三十一页，共34页。
5．如图1－9－5，某地夏天8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx ＋φ)＋bA>0，ω>0，φ<π2.
(1)求这一天的最大用电量及最小用电量； (2)写出这段曲线的函数解析式．
第三十三页，共34页。
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
第二十一页，共34页。
【解】 (1)由表中数据可知，T＝12，所以ω＝π6.
又t＝0时，y＝1.5，
所以A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅为
1 2
，函数解析式为y
＝12cosπ6t＋1(0≤t≤24)．
第二十二页，共34页。
(2)因为y>1时，才对冲浪爱好者开放，所以 y＝12cosπ6t＋1>1，cosπ6t>0， 2kπ－π2<π6t<2kπ＋π2， 即12k－3<t<12k＋3(k∈Z)． 又0≤t≤24，所以0≤t<3或9<t<15或21<t≤24， 所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9<t<15.
第六页，共34页。
[小组合作型]
三角函数(sānjiǎhánshù)在物理学中的 应用
交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220 3 sin100πt＋π6来表示，求：
(1)开始时电压； (2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．
第七页，共34页。
第十四页，共34页。
某港口的水深y(单位：m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面 是水深数据：
t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/m 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 根据上述数据描出曲线，如图1－9－2所示，经拟合，该曲线可近似地看做函 数y＝Asin ωt＋b的图像．
第二十三页，共34页。
[构建·体系]
第二十四页，共34页。
1．如图1－9－3所示为一简谐振动的图像，则下列判断正确的是( )
A．该质点的振动周期为0.7 s
B．该质点的振幅为5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时振动速度最大
D．该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零
图1－9－3
【解析】 由图像可知，该质点的振动周期是2(0.7－0.3)＝0.8，故A不正
第二十页，共34页。
[再练一题] 2．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y ＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.5 经长期观测，y＝f(t)的图像可近似地看成函数y＝Acos ωt＋b的图像． (1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式； (2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结 论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？
确；振幅为5 cm，故选B. 【答案】 B
第二十五页，共34页。
2．某人的血压满足函数关系式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时
间，则此人每分钟心跳的次数为( )
A．60
B．70
C．80
D．90
【解析】 ∵T＝126π0π＝810，∴f＝T1＝80.
【答案】 C
第二十六页，共34页。
第十八页，共34页。
取k＝0，则1≤t≤5；取k＝1，则13≤t≤17； 取k＝2，则25≤t≤29(不合题意)． 因此，该船可以在凌晨1点进港，5点出港或在13点进港，17点出港，每次可 以在港口停留4小时．
第十九页，共34页。
根据给出的函数模型，利用表中的数据，找出变化规律，运用已学的知识与 三角函数的知识，求出函数解析式中的参数，将实际问题转化为三角方程或三角 不等式，然后解方程或不等式，可使问题得以解决．
第八页，共34页。
由于物理学中的单摆、光学、机械波、电学等知识都具有周期性，且均符合 函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的变换规律，因此可借助于三角函数模型来研 究物理学中的相关现象．
第九页，共34页。
[再练一题] 1.如图1－9－1，一弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移 s(cm)随时间t(s)的变化曲线是一个三角函数的图像，求：
第十六页，共34页。
【自主解答】 (1)从拟合曲线可知，函数y＝Asin ωt＋b在一个周期内由最大 变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12 h，
因此2ωπ＝12，得ω＝π6. ∵当t＝0时，y＝10，∴b＝10. ∵ymax＝13，∴A＝13－10＝3. ∴所求函数的解析式为y＝3sinπ6t＋10(0≤t≤24)．
第十七页，共34页。
(2)由于船的吃水深度为7 m，船底与海底的距离不少于4.5 m，故在船舶航行 时水深y应不小于7＋4.5＝11.5(m)．
∴当y≥11.5时就可以进港． 令y＝3sinπ6t＋10≥11.5，得sinπ6t≥12， ∴π6＋2kπ≤π6t≤56π＋2kπ(k∈Z)， ∴1＋12k≤t≤5＋12k(k∈Z)．
第二十九页，共34页。
【解析】 在平面直角坐标系中描出这五个点，如图所示． 根据函数图象的大致走势， 可知点(1,0)不符合题意； 又∵0<A≤2， 函数图象过点(4，－2)，∴A＝2， ∵函数图象过点(0,1)，∴2sin φ＝1.
第三十页，共34页。
又∵－π2<φ<π2，∴φ＝π6，
由(0,1)，(2,1)关于直线x＝1对称，
图1－9－2
第十五页，共34页。
(1)试根据以上数据，求函数解析式； (2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5 m时是安全的， 如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m，那么该船何时能进入港口？在港 口能待多久？ 【精彩点拨】 (1)根据题意确定A，b，ω，φ. (2)根据题意水深y≥11.5可求解．
第十三页，共34页。
探究2 如何建立拟合函数模型？ 【提示】 (1)利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”． (2)观察“散点图”，并进行数据拟合，获得具体的函数模型． (3)利用这个函数模型解决相应的实际问题，并进行检验． 探究3 由图像怎样确定y＝Asin(ωx＋φ)＋bA>0，ω>0，|φ|<π2中的A和b. 【提示】 A＝ymax－2 ymin，b＝ymax＋2 ymin.
(1)经过多长时间，小球往复振动一次； (2)这条曲线的函数解析式； (3)小球开始振动时，离开平衡位置的位移．
【解】 (1)由图像可知，周期T＝2×71π2－1π2＝π， 所以小球往复振动一次所需要的时间为π s.
图1－9－1
第十页，共34页。
(2)由题意可设该曲线的函数解析式为 s＝Asin(ωt＋φ)，t∈[0，＋∞)． 从图像中可以看出A＝4，又2ωπ＝π，所以ω＝2. 从而s＝4sin(2t＋φ)，将t＝1π2，s＝4代入上式， 得sinπ6＋φ＝1，所以φ＝π3. 故这条曲线的函数解析式为 s＝4sin2t＋π3，t∈[0，＋∞)．
阶
段
阶
(j
段
iē
(j
d
iē
u
d
à
u
n)
à
一
§9 三角函数的简单应用
n) 三
阶
段
学
(j
业iē分d来自层u测
à
评
n)
二
第一页，共34页。
1．能用三角函数研究简单的实际问题，尤其是周期性问题．(重点) 2．将实际问题抽象为三角函数模型．(难点)
第二页，共34页。
[基础·初探] 教材整理 三角函数模型的应用 阅读教材P58～P59练习以上部分，完成下列问题． 1．三角函数模型的应用 (1)根据实际问题的图像求出函数解析式． (2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型． (3)利用收集的数据，进行函数拟合，从而得到函数模型．
第三十二页，共34页。
【解】 (1)由题图可知，一天最大用电量为50万度，最小用电量为30万度． (2)b＝30＋2 50＝40，A×1＋40＝50⇒A＝10， 由图可知，T2＝14－8＝6， 则T＝12，ω＝2Tπ＝π6， 则y＝10sinπ6x＋φ＋40， 代入(8,30)得φ＝π6， ∴解析式为y＝10sinπ6x＋π6＋40，x∈[8,14]．
3．如图1－9－4所示，是一弹簧振子作简谐振动的图像，横轴表示振动的时 间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是________.
【导学号：66470033】
图1－9－4
第二十七页，共34页。
【解析】 设函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则由题意得 A＝2，T＝2×(0.5－0.1)＝0.8， ∴ω＝02.π8＝52π.又52π×0.1＋φ＝π2，∴φ＝π4， ∴解析式为y＝2 sin52πt＋π4. 【答案】 y＝2sin52πt＋π4
【精彩点拨】 (1)求t＝0时所对应的电压． (2)求函数的周期．(3)求函数的最值． 【自主解答】 (1)当t＝0时，E＝110 3(V)，即开始时的电压为110 3V. (2)T＝120π0π＝510(s)，即时间间隔为0.02 s. (3)电压的最大值为220 3V， 当100πt＋π6＝π2，即t＝3100(s)时第一次取得最大值．
第二十八页，共34页。
4．某同学利用描点法画函数y＝Asin(ωx＋φ) 其中0<A≤2，0<ω<2，－π2<φ<π2 的图象，列出的部分数据如下表：
x012 3 4 y 1 0 1 －1 －2 经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函数y＝ Asin(ωx＋φ)的解析式应是________．
第十一页，共34页。
(3)当t＝0时，s＝4sin
π 3
＝2
3 (cm)．故小球开始振动时，离开平衡位置的位
移是2 3 cm.
第十二页，共34页。
[探究共研型]
三角函数(sānjiǎhánshù)的实际应用
探究1 建立三角函数模型解决实际问题的思路是什么？ 【提示】(1)先寻找与角有关的信息，确定选用正弦、余弦还是正切函数模 型． (2)其次是搜集数据，建立三角函数解析式并解题． (3)最后将所得结果翻译成实际答案．
第三页，共34页。
2．解答三角函数应用题的一般步骤
第四页，共34页。
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝sin x在第一象限内是增函数．( )
(2)函数y＝3sin x－1的最大值为3.( )
(3)直线x＝π是函数y＝sin x的一条对称轴．( )
(4)函数y＝sin(πx－4)的周期为2.( )
【解析】
(1)由正弦函数图像知，正确；(2)最大值应该是3－1＝2；(3)x＝
π 2
＋kπ(k∈Z)是y＝sin x的对称轴；(4)T＝2ππ＝2. 【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)√
第五页，共34页。
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问 2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问 3：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________
知x＝1时函数取得最大值2，
∴函数的最小正周期为6.
∴ω＝π3. 【答案】
y＝2sinπ3x＋π6
第三十一页，共34页。
5．如图1－9－5，某地夏天8～14时用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx ＋φ)＋bA>0，ω>0，φ<π2.
(1)求这一天的最大用电量及最小用电量； (2)写出这段曲线的函数解析式．
第三十三页，共34页。
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
第二十一页，共34页。
【解】 (1)由表中数据可知，T＝12，所以ω＝π6.
又t＝0时，y＝1.5，
所以A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅为
1 2
，函数解析式为y
＝12cosπ6t＋1(0≤t≤24)．
第二十二页，共34页。
(2)因为y>1时，才对冲浪爱好者开放，所以 y＝12cosπ6t＋1>1，cosπ6t>0， 2kπ－π2<π6t<2kπ＋π2， 即12k－3<t<12k＋3(k∈Z)． 又0≤t≤24，所以0≤t<3或9<t<15或21<t≤24， 所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9<t<15.
第六页，共34页。
[小组合作型]
三角函数(sānjiǎhánshù)在物理学中的 应用
交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220 3 sin100πt＋π6来表示，求：
(1)开始时电压； (2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．
第七页，共34页。
第十四页，共34页。
某港口的水深y(单位：m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面 是水深数据：
t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/m 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 根据上述数据描出曲线，如图1－9－2所示，经拟合，该曲线可近似地看做函 数y＝Asin ωt＋b的图像．
第二十三页，共34页。
[构建·体系]
第二十四页，共34页。
1．如图1－9－3所示为一简谐振动的图像，则下列判断正确的是( )
A．该质点的振动周期为0.7 s
B．该质点的振幅为5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时振动速度最大
D．该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零
图1－9－3
【解析】 由图像可知，该质点的振动周期是2(0.7－0.3)＝0.8，故A不正
第二十页，共34页。
[再练一题] 2．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y ＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.5 经长期观测，y＝f(t)的图像可近似地看成函数y＝Acos ωt＋b的图像． (1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式； (2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结 论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？
确；振幅为5 cm，故选B. 【答案】 B
第二十五页，共34页。
2．某人的血压满足函数关系式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时
间，则此人每分钟心跳的次数为( )
A．60
B．70
C．80
D．90
【解析】 ∵T＝126π0π＝810，∴f＝T1＝80.
【答案】 C
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第十八页，共34页。
取k＝0，则1≤t≤5；取k＝1，则13≤t≤17； 取k＝2，则25≤t≤29(不合题意)． 因此，该船可以在凌晨1点进港，5点出港或在13点进港，17点出港，每次可 以在港口停留4小时．
第十九页，共34页。
根据给出的函数模型，利用表中的数据，找出变化规律，运用已学的知识与 三角函数的知识，求出函数解析式中的参数，将实际问题转化为三角方程或三角 不等式，然后解方程或不等式，可使问题得以解决．
第八页，共34页。
由于物理学中的单摆、光学、机械波、电学等知识都具有周期性，且均符合 函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的变换规律，因此可借助于三角函数模型来研 究物理学中的相关现象．
第九页，共34页。
[再练一题] 1.如图1－9－1，一弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移 s(cm)随时间t(s)的变化曲线是一个三角函数的图像，求：
第十六页，共34页。
【自主解答】 (1)从拟合曲线可知，函数y＝Asin ωt＋b在一个周期内由最大 变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12 h，
因此2ωπ＝12，得ω＝π6. ∵当t＝0时，y＝10，∴b＝10. ∵ymax＝13，∴A＝13－10＝3. ∴所求函数的解析式为y＝3sinπ6t＋10(0≤t≤24)．
第十七页，共34页。
(2)由于船的吃水深度为7 m，船底与海底的距离不少于4.5 m，故在船舶航行 时水深y应不小于7＋4.5＝11.5(m)．
∴当y≥11.5时就可以进港． 令y＝3sinπ6t＋10≥11.5，得sinπ6t≥12， ∴π6＋2kπ≤π6t≤56π＋2kπ(k∈Z)， ∴1＋12k≤t≤5＋12k(k∈Z)．
第二十九页，共34页。
【解析】 在平面直角坐标系中描出这五个点，如图所示． 根据函数图象的大致走势， 可知点(1,0)不符合题意； 又∵0<A≤2， 函数图象过点(4，－2)，∴A＝2， ∵函数图象过点(0,1)，∴2sin φ＝1.
第三十页，共34页。
又∵－π2<φ<π2，∴φ＝π6，
由(0,1)，(2,1)关于直线x＝1对称，
图1－9－2
第十五页，共34页。
(1)试根据以上数据，求函数解析式； (2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5 m时是安全的， 如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m，那么该船何时能进入港口？在港 口能待多久？ 【精彩点拨】 (1)根据题意确定A，b，ω，φ. (2)根据题意水深y≥11.5可求解．
第十三页，共34页。
探究2 如何建立拟合函数模型？ 【提示】 (1)利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”． (2)观察“散点图”，并进行数据拟合，获得具体的函数模型． (3)利用这个函数模型解决相应的实际问题，并进行检验． 探究3 由图像怎样确定y＝Asin(ωx＋φ)＋bA>0，ω>0，|φ|<π2中的A和b. 【提示】 A＝ymax－2 ymin，b＝ymax＋2 ymin.
(1)经过多长时间，小球往复振动一次； (2)这条曲线的函数解析式； (3)小球开始振动时，离开平衡位置的位移．
【解】 (1)由图像可知，周期T＝2×71π2－1π2＝π， 所以小球往复振动一次所需要的时间为π s.
图1－9－1
第十页，共34页。
(2)由题意可设该曲线的函数解析式为 s＝Asin(ωt＋φ)，t∈[0，＋∞)． 从图像中可以看出A＝4，又2ωπ＝π，所以ω＝2. 从而s＝4sin(2t＋φ)，将t＝1π2，s＝4代入上式， 得sinπ6＋φ＝1，所以φ＝π3. 故这条曲线的函数解析式为 s＝4sin2t＋π3，t∈[0，＋∞)．
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二
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1．能用三角函数研究简单的实际问题，尤其是周期性问题．(重点) 2．将实际问题抽象为三角函数模型．(难点)
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[基础·初探] 教材整理 三角函数模型的应用 阅读教材P58～P59练习以上部分，完成下列问题． 1．三角函数模型的应用 (1)根据实际问题的图像求出函数解析式． (2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型． (3)利用收集的数据，进行函数拟合，从而得到函数模型．