莘县实验高中高三阶段性检测

莘县实验高中高三阶段性检测
数学(文)试题
(时间120分钟 满分150分) 命题人:焦长兴 审题人:延鸿彩
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的4个选项中，只有1项是符合题目要求的。

） 1. 设全集U 是实数集R ，{}2
|4M x x =>与{}|3,1N x x x =≥<或都是U 的子集（如图所示），则阴影部分所表示的集合为（ ） A. {}|21x x -≤< B. {}|22x x -≤≤
C. {}|12x x <≤
D. {}|2x x <
2．命题：“若220a b +=，（a , b ∈R ），则a=b=0”的逆否命题是（ ）
A ．若a ≠b ≠0（a , b ∈R ），则22a b +≠0 B.若a=b ≠0（a , b ∈R ），则22a b +≠0 C ．若a ≠0且b ≠0（a ，b ∈R ），则22a b +≠0 D.若a ≠0或b ≠0（a,b ∈R ），则22a b +≠0 3．设函数⎩⎨
⎧<≥-=)
1(1
)1(1)(x x x x f ，则)))2(((f f f =（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．2
4．函数的定义域为 ( )
A ．（
2
1，+∞） B ．［1，+∞) C ．（
2
1，1] D ．（－∞，1）
5. 已知cos （α-
6
π）+sin α=
的值是则)6
7sin(,35
4πα+
（ ） （A ）-
5
32 （B ）
5
32 (C)-5
4 (D)
5
4
6. 为得到函数πcos 23y x ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移
5π
12个长度单位 C ．向左平移
5π6
个长度单位
D ．向右平移
5π6
个长度单位
7.已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4
π
=
x 处取得最小
值，则函数)4
3(
x f y -=π是
A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称
B ．偶函数且它的图象关于点)0,2
3(
π对称
C ．奇函数且它的图象关于点)0,2
3(
π对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称
8.在ABC △中，π
33
A BC ==，，则ABC △的周长为（ ）
Ａ．π33B ⎛
⎫+
+ ⎪⎝
⎭
Ｂ．π36B ⎛
⎫+
+ ⎪⎝⎭
Ｃ．π6sin 33B ⎛
⎫
+
+ ⎪⎝
⎭
Ｄ．π6sin 36B ⎛⎫+
+ ⎪⎝
⎭
9.如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H 与下落时间t （分）的函数关系表示的图象只可能是 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10.已知函数2()23f x x x =-+在[]0,a 上有最大值3，最小值2，则a 的取值范围（ ）
[)
[]
[]
(]1,0,21,2,2A
B
C
D
+∞-∞
11.设0
00cos 25112
2
1log tan 70,log sin 25,()2
a b c ===，则它们的大小关系为（ ） A ．a<c<b
B ．b<c<a
C ．a<b<c
D ．b<a<c
12. 若函数2
()log (2)(01)a f x x x a a =+>≠且，在区间1(0,)2
内恒有()0f x >，则()
f x 的单调递增区间是（ ） A ．1(,)4-∞-
B ．（-
14
，+∞） C ．（0，+∞） D ．（-∞，-
12
）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案直接填在答案页相应横线上）
13．设集
合{|2}M x =，集合
N ＝
{}
2
|,y y x
x M =∈，则
M N = _________________
14．函数y=2
13
log (3)x x -的单调递减区间是
15.在A B C ∆中，1AB =，2B C =，则∠C 取值范围是__________________.
16..已知定义域为R 的函数)(x f 对任意实数x 、y 满足y x f y x f y x f cos )(2)()(=-++，且1)2
(,0)0(==π
f f .给出下列结论：
①2
1)4
(=
πf ②)(x f 为奇函数〕
③)(x f 为周期函数 ④),0()(π在x f 内单调递减 其中，正确的结论序号是 。

三.解答题：（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 17.（本小题满分12分）
已知p ：方程012=++mx x 有两个不等的负实根，
q ：方程01)2(442=+-+x m x 无实根． 若p 或q 为真，p 且q 为假． 求实数m 的取
值范围。

18. （本小题满分12分）在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，D 为B C 中点，且AD ＝4，求B C
19. （本小题满分12分）已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，其中0＜α＜β＜π．
(1)求证：a ＋b 与a －b 互相垂直；
(2)若k a ＋b 与a －k b 的长度相等，求β－α的值(k 为非零的常数)．
20（本小题满分12分）某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知该厂生产这种仪器，次品率p 与日产量x （件）之间大体满足关系：P=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈>∈≤≤-N),94(3
2N),941(961
x x x x x
.已知每生产一件合格的仪器可盈利A 元，但每生产一件次品将亏损
2
A 元，厂方希望定出适当的日产量.
（1）试判断：当日产量（件）超过94件时，生产这种仪器能否赢利？并说明理由； （2）当日产量x 件不超过94件时，试将生产这种仪器每天的赢利额T （元）表示成日产量x （件）的函数；
（3）为了获得最大利润，日产量x 件应为多少件？
21.. （本小题满分12分）已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[-1，1]上有零点，求实数a 的取值范围。

22..（本小题满分14分）
如右图，两条相交成60°角的直路EF 和MN 交于O ， 起初甲在OE 上距O 点3km 的点A 处，乙在OM 上距O 点 1km 的点B 处，现在他们同时以4km/h 的速度行走，且甲沿 EF 方向，乙沿NM 的方向.
（1）求行走t 小时后两人之间的距离（用t 表示）； （2）当t 为何值时，甲乙两人之间的距离最近？
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数学(文)试题参考答案
一.选择题: 1.A 2.D 3.B 4.C 5 C. 6. C 7. D 8. D 9. B 10 C. 11. A 12. D 二.填空题: 13. [)4,+∞ 14．（３，＋∞）
15. 在ΔABC 中，AC ()2
2
2
2
21
331,3,cos 444
4AC AC AC C
AC
AC
AC
+-+∈=
=
=
+
cos 2
2
C ≥
∴≥
.当且仅当
34
4AC AC
=
即()1,3AC =
时等号成立，∴0,
6πθ⎛⎤
∈ ⎥⎝
⎦
.
16. ②③
三.解答题:
17.解：由题意，p ， q 中有且仅有一为真，一为假。

p 真⇔⎪⎩⎪
⎨⎧>=<-=+>∆01002
121x x m x x ⇔m >2， q 真⇔∆<0⇔1<m <3。

若p 假q 真，则⎩⎨
⎧<<≤31,
2m m ⇔1<m ≤2； 若p 真q 假，则⎩⎨⎧≥≤>3
12
m m m 或⇔m ≥3。

综上所述：m ∈(1，2]∪[3，+∞)．
18解：设BC 边为ｘ，则由D 为BC 中点，可得BD ＝DC ＝
2
x ，
在△ADB 中，cos ADB ＝
,2425
)2(422
222
2
2
x
x BD
AD AB
BD
AD
⨯
⨯-+=⋅⋅-+
在△ADC 中，cos ADC ＝
.2
423
)2(422
222
2
2
x
x DC
AD AC
DC
AD
⨯
⨯-+=⋅⋅-+
又∠ADB ＋∠ADC ＝180°
∴cos ADB ＝cos （180°－∠ADC ）＝－cos ADC
∴2
423
)2(42425)2(42
22222x
x x x ⨯
⨯-+-=⨯⨯-+
解得，ｘ＝2 , 所以，BC 边长为2
19.解：(1)由题意得：a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β) a －b ＝(cos α－cos β， sin α－sin β)
∴(a ＋b )·(a －b )＝(cos α＋cos β)(cos α－cos β)＋(sin α＋sin β)(sin α－sin β) ＝cos 2α－cos 2β＋sin 2α－sin 2β＝1－1＝0 ∴a ＋b 与a －b 互相垂直．
(2) 方法一：k a ＋b ＝(k cos α＋cos β，k sin α＋sin β)， a －k b ＝(cos α－k cos β， sin α－k sin β)
| k a ＋b |＝1)cos(22+-+αβk k ，| a －k b |＝1)cos(22+--αβk k 由题意，得4cos (β－α)＝0，因为0＜α＜β＜π ，所以β－α＝2
π
．
方法二：由| k a ＋b |＝| a －k b |得：| k a ＋b |2
＝| a －k b |2
即(k a ＋b )2＝( a －k b )2，k 2| a |2＋2k a ⋅b ＋| b |2＝| a |2－2k a ⋅b ＋k 2| b |2 由于| a |＝1，| b |＝1
∴k 2＋2k a ⋅b ＋1＝1－2k a ⋅b ＋k 2，故a ⋅b ＝0， 即(cos α，sin α)⋅ (cos β，sin β)＝0 10分 ⇒ 0)cos(0sin sin cos cos =-⇒=+αββαβα 因为0＜α＜β＜π ，所以β－α＝
2
π
．
20.解: 解：（1）当x >94时，p =3
2，故每日生产的合格品约为
3
1x 件，次品约为
3
2x 件，
合格品共可赢利
3
1xA 元，次品共亏损3
2x ·
3
12
=
A xA 元.
因盈亏相抵，故当日产量超过94件时，不能赢利.
（2）当1≤x ≤94时，p =
x
-961，
每日生产的合格品约为x （1－
x
-961
）件，次品约为
x
x -96件，∴T =x （1－
x
-961）A
－x
x -96·
2
A =［x －
)
96(23x x -］A （1≤x ≤94）.
（3）由（1）可知，日产量超过94件时，不能盈利. 当1≤x ≤94时，.]96144)96(2
196
[)9614423(A x
x A x
x T --
--=--
+=.
∵x ≤94，96－x ＞0， ∴T ≤.02
147]96144)96(22
197
[>=
-⋅
--A A x
x
当且仅当（96－x ）=x
-96144时，即x =84时，等号成立.故要获得最大利润，日产量应为84件.
21.解:当a=0时，函数为f (x)=2x -3，其零点x=2
3不在区间[-1，1]上。

当a ≠0时，函数f (x) 在区间[-1，1]分为两种情况： ①函数在区间[─1，1]上只有一个零点，此时
⎩⎨
⎧≤--=-≥---=∆0
)1)(5()1()1(0)3(84a a f f a a
或⎪⎩
⎪⎨⎧≤-≤-=---=∆121
10)3(84a a a 解得1≤a ≤5或a=
2
7
3-
-
②函数在区间[─1，1]上有两个零点，此时
()()2
082440111
21010a a a a f f >⎧
⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪
≥⎪
⎪
-≥⎩
或()()2
082440
1
11
21010a a a a f f <⎧
⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪
≤⎪
⎪
-≤⎩
解得a ≥5或a<
2
7
3-
-
综上所述，如果函数在区间[─1，1]上有零点，那么实数a 的取值范围为
(-∞, ]∪[1, +∞)
22解：（1）设t 小时后，他们两人的位置分别是P 、Q ，则AP =4t ，BQ =4t ①当60cos )41)(43(2)41()43(4302
22
t t t t ，PQ
t ＜+--++-=≤时°;
②当444
3143=⨯+
=+==BQ OB ，PQ t 时；
③当︒+--++-=>
120cos )41)(34(2)41()34(4
32
2
2
t t t t ，PQ
t 时.
∴⎪
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧+-=≤≤+-=)43(72448)43(4)430(724482
2
t ＞t t t t t t PQ
（2）由（1）知，当4
30≤≤t 时，
273--
即甲、乙两人之间的距离最小为2km.。