关于排列数和组合数的一些性质

(n − m)!
= (n − m)! = Amn
从 n 个不同元素种取出 m(m ≤ n) 个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素种取出 m 个元素的组合数，用符号Cmn 表示。
组合数的一些性质
n!
1.
Cmn = (n − m)!m!
2.
Cmn = Cmn−1 + Cmn−−11 可以用动态规划的思想理解
n
∑
6.
(x + y)n = i= 0Cinxiyn− i
n
n
∑∑
7.
i= 0Cinxi = i= 01n− iCinxi = (1 + x)n
n
n
∑∑
8.
i= 0Cin = i= 01i × 1n− iCin = (1 + 1)n = 2n
n
n
∑
∑
9.
i=0( − 1)iCin = i=01n−i( − 1)iCin = (1 + ( − 1))n = 0
3.
Cmn = Cnm− m
m
∑
4.
i= 0Cin+ i = C0m + C1m+ 1 + C2m+ 2 + . . . + Crm+ r = C1m + C1m+ 1 + C2m+ 2 + . . . + Crm+ r = C1m+ 2 + C2m+ 2 + . . . + Crm+ r = Crm+ r+ 1
博客园 用户登录 代码改变世界 密码登录 短信登录 忘记登录用户名 忘记密码 记住我 登录 第三方登录/注册 没有账户, 立即注册
关于排列数和组合数的一些性质
从 n 个不同元素种取出 m(m ≤ n) 个元素的所有不同排列的个数，叫做从 n 个不同元素种取出 m 个元素的排列数，用符号 Amn 表示。
排列数的一些性质
n!
1.
Amn = (n − m)!
(n − 1)! ⋅ n
n!
2.
nAmn−−11 = (n − 1 − m + 1)! = (n − m)! = Amn
m(n − 1)! (n − 1)! m(n − 1)! + (n − m)(n − 1)!
n!
3.
mAmn−−11 + Amn−1 = (n − m)! + (n − m − 1)! =
n
n
∑
∑
15.
f(n) = i=0( − 1)iCing(i) ⇔ g(n) = i=0( − 1)iCinf(i)
n
n
∑
∑
16.
f(n) = i=0Cing(i) ⇔ g(n) = i=0( − 1)n−if(i)
m
m
∑
∑
17.
f(n) = i=nCni g(i) ⇔ g(n) = i=n( − 1)i−nCni f(i)来自n∑10.
Cnm+ n = i= 0CinCim
n
11.
Cmn = m Cnm−−11
12.
∑ ∑ ∑ ∑ n
n
n!
n (n − 1)!
n−1
i=1Cin ⋅ i = i=1 (i − 1)!(n − i)! = ni=1 (i − 1)!(n − i)! = n i=0 Cin−1 = n2n−1
n
n−1
n−1
n−1
∑
∑
∑
∑
13.
i= 1Cini2 = n i= 0 Cin− 1(i + 1) = n( i= 0 Cin− 1i + i= 0 Cin− 1) = n((n − 1)2n− 2 + 2n− 1) = n(n + 1)2n− 2
n
n
∑∑
14.
i= 0(Cin)2 = i= 0CinCnn− i = Cn2n
m
∑
5. 设Smn = i= 0Cin, 则Smn + 1 = Smn + Cmn + 1Smn+ 1 = C0n+ 1 + C1n+ 1 + C2n+ 1 + ⋯ + Cmn+ 1 = C0n + (C0n + C1n) + (C1n + C2n) + ⋯ + (Cmn − 1 + Cmn ) = 2Smn −