高中数学1.1任意角的概念与蝗制1.1.2蝗制和蝗制与角度制的换算优化训练新人教B版必修9.doc

1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
5分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1.下列命题中，是假命题的为（ ）
A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B.一度的角是周角的
3601，一弧度的角是周角的π
21 C.根据弧度的定义，180°一定等于π弧度
D.不论是用角度制还是弧度制度量角，它们与圆的半径长短有关
解析：由角和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关. 答案：D
2.把-300°化为弧度是（ ）
A.34π-
B.3
5π- C.47π- D.67π- 解析：-300°=-300×3
5180π
π-
=. 答案：B 3.把3
8π
-
化成度是（ ） A.-960° B.-480° C.-120° D.-60° 解析：3
8
38-=-
π×180°=-480°. 答案：B
4.将-1 485°表示成2k π+α，k∈Z 的形式（0≤α＜2π）为___________________. 解：∵-1 485°=-5×360°+315°,又315°=315×4
7180
ππ
=
， ∴-1 485°=-10π+4
7π. 答案：-10π+
4
7π 10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.已知α=9 rad ，β=10 rad ，下面关于α和β的说法中正确的是（ ） A.都是第一象限角 B.都是第二象限角
C.分别是第二象限和第三象限角
D.分别是第三象限和第四象限角
解析一：由1 rad≈57°18′，故57°＜1 rad ＜58°.所以513°＜9 rad ＜522°，
即360°+153°＜9 rad ＜360°+162°，因此9 rad 是第二象限角.同理,570°＜10 rad ＜580°，360°+210°＜10 rad ＜360°+220°.因此10 rad 是第三象限角. 解析二：π≈3.14，
2π=1.57，2π×5＜9＜3π，即9∈（2π+2
π
，2π+π），故α为第二
象限角.同理,3π＜10＜3π+2
π
，β为第三象限角. 答案：C
2.在半径为2 cm 的圆中，有一条弧长为
3
π
cm ，它所对的圆心角为（ ） A.6π B.3π C.2π D.3
2π 解析：设圆心角为θ，则θ=6
23π
π
=.
答案：A
3.终边与坐标轴重合的角α的集合是（ ）
A.{α|α=2k π，k∈Z }
B.{α|α=k π，k∈Z }
C.{α|α=k π+
2
π
，k∈Z } D.{α|α=2πk ，k∈Z }
解析：终边与x 轴正半轴重合的角的集合为A={α|α=2k π，k∈Z }，
终边与x 轴负半轴重合的角的集合为B={α|α=2k π+π，k∈Z }， 故终边与x 轴重合的角的集合是C=A∪B={α|α=k π，k∈Z }. 同理可得，终边与y 轴重合的角的集合D={α|α=k π+2
π
，k∈Z }. 故终边与坐标轴重合的角的集合是C∪D={α|α=
2
π
k ，k∈Z }. 答案：D
4.集合A={α|α=2k π+π，k∈Z }，B={α|α=（4k±1）π，k∈Z }，则集合A 与B 的关系是（ ）
A.A=B
B.A ⊇B
C.A ⊆B
D.A≠B 解析：设α∈A，则α=2k π+π，k∈Z . 若k 为偶数，即k=2n ，n∈Z ，α=4n π+π； 若k 为奇数，即k=2n-1，n∈Z ，α=4n π-π. 故α∈B.所以A ⊆B.
设α∈B，则α=（4k+1）π或α=（4k-1）π，k∈Z .若α=（4k+1）π，则α=2（2k ）π+π； 若α=（4k-1）π，则α=2（2k-1）π+π.故α∈A.所以B ⊆A.故A=B.
答案：A
5.一时钟分针长3 cm ，经过20 min ，分针外端点转过的弧长为___________________. 解析：分针转过的圆心角为α=6020·2π=3
2π，所以分针转过的弧长为l=α·r=
3
2π
·3=2π（cm ）. 答案：2π cm
6.已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿. （1）当大轮转一周时小轮转动的角是多少度？是多少弧度? （2）如果大轮的转速为180 r/min ，小轮的半径为10.5 cm ，那么小轮周上一点每秒转过的弧长是多少？
解：（1）当大轮转一周时，小轮转2048=2.4周，即小轮转2.4×360°=864°，合5
24πrad. （2）大轮转速为180 r/min ，则小轮转速为每分180×5
12
=432 r ，每秒转角为
432×5
72602ππ=
. 故小轮周上一点每秒转过的弧长为5
72π
×10.5=151.2π cm.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后) 1.下列各角中与
12
7π
终边相同的角为（ ） A.435° B .465° C.225° D.-435° 解析：
12
7π
=7×15°=105°. 435°=360°+75°，465°=360°+105°，225°=360°-135°，-435°=-360°+（-75°）. 答案：B
2.一条弦的长度等于半径r ，则这条弦所对的圆心角及劣弧长为（ ）
A.1，r
B.
3π,3
πr C.2π，2πr D.6π，6
πr 解析：弦AB=r ，圆心为O ，△AOB 为正三角形，∠AOB=60°=3π，故劣弧长为3
π
r. 答案：B 3.已知2k π+
32π＜α＜2k π+65π（k∈Z ），则2
α
为（ ）
A.第一或第二象限角
B.第一或第三象限角
C.第二或第三象限角
D.第三或第四象限角
解析：由2k π+
32π＜α＜2k π+65π，得k π+3π＜2
α
＜k π+125π（k∈Z ）.当k 为偶数时，
设k=2n （n∈Z ），2n π+3π＜2α
＜2n π+125π，2
α为第一象限角；
当k 为奇数时，设k=2n+1（n∈Z ），2n π+34π＜2α
＜2n π+π+125π，2
α为第三象限角.
答案：B
4.已知角α的终边经过点P （-1，-1），则角α为（ ）
A.α=k π+
45π（k∈Z ） B.α=2k π+4
3π
（k∈Z ） C.α=k π+4
π
(k∈Z ） D.α=2k π-43π（k∈Z ） 解析：由终边过点P （-1，-1），知α为第三象限角，在（-2π，0）上，α=4
3π
-.故由终边相同的角，得α=2k π4
3π
-
（k∈Z ）.
答案：D
5.设两个集合M=｛x|x=
2πk +4π，k∈Z ｝，N=｛x|x=k π-4
π,k∈Z ｝,则（ ） A.M=N B.M N C.M N D.M∩N=∅
解析：集合M 、N 分别如图（1）和图（2）所示.
由图形可知M N. 答案：B 6.sin
3π·tan 3π+tan 6π·cos 6π-tan 4π·cos 2
π
=________________. 解析：原式=23×3+33×23-1×0=2
1
23+=2. 答案：2
7.角α、β的终边关于x+y=0对称，且α=3π
-，则β=______________. 解析：终边与α相同的角的集合是{x|x=2k π-3
π
,k∈Z }，而关于x+y=0与α对称的角为
6π-,∴β={x|x=2k π6
π
-，k∈Z }. 答案：{x|x=2k π6
π
-，k∈Z }
8.已知角α的终边与3π的终边相同，在[0，2π]内终边与3
α
角的终边相同的角为
___________.
解析：因为α角的终边与
3π的终边相同，所以α=2k π+3π（k∈Z ），所以3
α=332π
π+
k （k∈Z ）.又0≤3
α
＜2π，所以0≤32πk +3π＜2π（k∈Z ）.当k=0，1，2时，有
3α=9π,9
7π,913π时，满足条件，所以9π,97π,913π为所求.
答案:9π,97π,9
13π
9.(2006山东淄博统考)已知扇形OAB 的圆心角为120°，半径长为6，则的长为
_____________，弓形AOB 的面积为_____________. 解析：因为α=120°=
3
2π
rad ，r=6,
所以l=
=
32π
×6=4π. 又因为S 扇形OAB =2
1
21=lr ×4π×6=12π,
S △AOB =
221r ·sin
32π=392362
12
=⨯⨯, 所以，S 弓形OAB =S 扇形OAB -S △AOB =12π-39. 答案:4π 12π-39
10.用弧度制表示，并分别写出:
（1）终边在x 轴上的角的集合;（2）终边在y 轴上的角的集合. 解：（1）终边在x 轴上的角的集合为{α|α=2k π，k∈Z }∪{α|α=2k π+π，k∈Z }={α|α=k π，k∈Z }.
（2）终边在y 轴上的角的集合为{α|α=2k π+2π
，k∈Z }∪{α|α=2k π+2
3π，k∈Z }={α|α=k π+
2
π
，k∈Z }. 11.已知α、β满足3π≤α+β≤3
4π
，32π-≤α-β≤3π-，求2α-β的范围.
解：由2α-β=21（α+β）+23（α-β），而6π≤21（α+β）≤32π，-π≤2
3
（α-β）
≤2π-，以上两式相加即得65π-≤2α-β≤6
π.。