江苏省淮安市2018-2019学年度第一学期期末高二年级调研测试数学试题(解析版)

江苏省淮安市2018-2019学年度第一学期期末高二年级调研测试
数学试卷
一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）
1.直线的斜率为______．
【答案】
【解析】
【分析】
把直线方程化为斜截式即可得出斜率.
【详解】直线化为：，其斜率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了直线方程的一般式化为斜截式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．直线方程有五种形式：斜截式，点斜式，两点式，截距式，还有一般式.将一般式化为斜截式得到，其中是斜率.
2.若命题，则_____________．
【答案】
【解析】
因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“”的否定为“”，故答案
为.
3.已知函数，是的导函数，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】
求得函数的导数，代入进行计算即可．
【详解】函数的导数，
则，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查导数的计算，求出函数的导数利用代入法是解决本题的关键比较基础．4.双曲线的渐近线与准线在第一象限的交点坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】
由交点在第一象限确定渐近线与准线都是右支，联立方程求解即可．
【详解】交点在第一象限，，，，
双曲线的渐近线与准线方程为：
与，
联立得，
交点坐标为
故答案为：
【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，熟记渐近线与准线方程，是基础题．
5.直线与直线垂直，则实数a的值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】
利用直线相互垂直与斜率之间的关系即可得出．
【详解】由于两条直线垂直，故，解得.故答案为.
【点睛】本题考查了直线相互垂直与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.已知抛物线的焦点到原点的距离为5，则实数p的值为______．
【答案】10
【解析】
【分析】
抛物线的焦点到原点的距离为，由此求得p的值．
【详解】抛物线的焦点到原点的距离为5，则，解得．故答案为：10．
【点睛】本题考查了抛物线方程的应用问题，是基础题．
7.若圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则此圆锥的体积为______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面周长，然后求出底面半径，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．【详解】圆锥的侧面展开恰为一个半径为4的半圆，所以圆锥的底面周长为：，底面半径为：2，圆锥的高为：
；圆锥的体积为：故答案为：
【点睛】本题是基础题，考查圆锥的侧面展开图，利用扇形求出底面周长，然后求出体积，考查计算能力，常规题型．
8.若方程表示圆，则实数m的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】
把圆的一般方程化为标准方程，可得实数m的取值范围．
【详解】方程，即，表示圆，，求得，则实数m 的取值范围为，故答案为：
【点睛】本题主要考查圆的普通方程化为标准方程，考查二元二次方程是圆的方程的条件，考查配方法，属于
基础题．对于二元二次方程，可通过配方法配方成，当
时，表示点；当时，表示圆.
9.函数的图象在点处的切线方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】
求得的导数，可得切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程可得所求切线方程．
【详解】函数的导数为，
可得在处的切线斜率为，
，即，
可得切线方程为，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，考查运算能力，属于基础题．要求函数在某点处的切线方程，则先对函数求导，求得函数的导函数，将切点的横坐标代入原函数求得切点的坐标，将切点的横坐标代入导函数得到切线的斜率，由点斜式写出切线方程并化简为一般式，求得切线的方程.
10.动点P的坐标为，点Q是圆C：上一点，线段PQ长度的最小值为______【答案】
【解析】
【分析】
写出P所在直线方程，求出圆心到直线的距离，减去半径得答案．
【详解】设，则，消去t，可得．
圆C：的圆心坐标为，
C到直线的距离．
线段PQ长度的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查点与点，直线与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的应用，是基础题．
11.已知正四棱柱的底面边长为2，侧面积为24，则此正四棱柱的外接球表面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】
先由侧面积求出正四棱柱的高h，再计算出正四棱柱底面外接圆直径2r，然后利用公式计算出球的半径R，最后利用球体表面积公式可计算出答案．
【详解】设正四棱柱的高为h，则该正四棱柱的侧面积为，解得，
底面正方形的外接圆直径为，
设外接球的半径为R，则，
因此，该正四棱柱的外接球的表面积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查球体的表面积的计算，考查了正四棱柱的外接球，解决这题的关键在于找出合适的模型求出
球体的半径，属于中等题．
12.已知椭圆方程为，双曲线方程为，若该双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点以及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点，则椭圆的离心率与双曲线的离心率之和为
______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用已知条件求出正六边形的顶点坐标，代入椭圆方程，求出椭圆的离心率；利用渐近线的夹角求解双曲线的离心率即可．
【详解】椭圆方程为，双曲线方程为，
若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，
可得椭圆的焦点坐标，，正六边形的一个顶点
，
，
椭圆离心率，
同时，双曲线的渐近线的斜率为，即，
可得双曲线的离心率为．
故答案为：．
【点睛】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力属于中档题．
13.在平面直角坐标系中，已知点在圆C：内，直线AB过点P，且与圆C交于A，B两点，若面积的最大值为5，则实数m的取值范围为______．
【答案】或
【解析】
【分析】
点P在圆内可得，面积的最大值为5，，
，圆心到直线AB的距离，，可解得．
【详解】点在圆C：内，，解得：面积的
最大值为5，，，圆心到直线AB的距离，又
，
，解得或，
又，或，
故答案为或．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查不等式的解法，属中档题．
14.已知函数，，若方程有四个不同的实数解，则实数m的取值范围是______．【答案】
【解析】
【分析】
由方程的解与函数图像的交点的关系可得：方程有四个不同的实数解等价于图像与直线，
的交点个数之和为4,，利用导数研究函数的单调性，最值及图像可得：当或时，，
当时，，则在，上为减函数，在为增函数，再观察图像即可得解.
【详解】由，
得，
当或时，，
当时，，
则在，上为减函数，
在为增函数，
设，其图像如图所示：
设，是方程，
方程有四个不同的实数解等价于图像与直线，的交点个数之和，
由图可知：方程有两大于1的不等实根，
即，解得：，故答案为：
【点睛】本题考查了方程的解与函数图像的交点，利用导数研究函数的单调性，最值及图像，属中档题．
二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）
15.命题p：方程有实数解，命题q：方程表示焦点在x轴上的椭圆．
若命题p为真，求m的取值范围；
若命题为真，求m的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
直接利用一元二次方程有解的条件求出结果．
利用真值表和椭圆的方程的性质的应用求出结果．
【详解】命题p：方程有实数解，
由于命题p为真，
则：，
解得：．
命题q：方程表示焦点在x轴上的椭圆．
由于命题为真，所以：p真q真，
故：，
解得：，
故，
即：．
【点睛】本题考查的知识要点：真值表的应用，椭圆的定义和方程的应用，不等式的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
16.如图，在直三棱柱中，点D，E分别是边BC，中点，且．
求证：平面；
平面平面．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
推导出，从而四边形是平行四边形，进而，由此能证明平面D.
推导出，，从而平面由此能证明平面平面．
【详解】在直三棱柱中，点D，E分别是边BC，中点，
，四边形是平行四边形，
，
平面，平面，
平面 D.
在直三棱柱中，，，
点D别是边BC，且，，
，平面．
平面，平面平面．
【点睛】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位
置关系等基础知识，考查空间想象，逻辑推理能力，是中档题．
17.已知的三个顶点，，，其外接圆为圆H．
求圆H的标准方程；
若直线l过点C，且被圆H截得的弦长为2，求直线l的方程．
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
【分析】
根据题意，由三点的坐标求出直线AB、BC的垂直平分线，联立直线的方程即可得圆心的坐标，进而求出圆的半径，计算可得答案；
根据题意，由直线与圆的位置关系，求出圆心到直线的距离，分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，求出直线的方程，综合可得答案．
【详解】根据题意，，，，
则AB的垂直平分线是，
又由，，则BC的方程为，BC中点是，
则BC的垂直平分线是，
联立，解可得，即圆心H的坐标为，
又由，
则圆H的方程为；
根据题意，若直线l被圆H截得的弦长为2，则圆心H到直线的距离，
若直线l的斜率不存在，直线l的方程为，符合题意；
若直线l的斜率存在，设其方程为，
有，解可得，
则直线l的方程为，即，
则直线l的方程为或．
【点睛】本题考查直线与圆的方程，涉及直线与圆的位置关系以及弦长的计算，属于基础题．
18.如图为一个已搭好的临时帐篷，其形状为五面体ABCDEF，底面四边形ABCD为矩形，，是正三角形，平面平面ABCD．
若，求五面体ABCDEF的侧面积；
若，，问AD长为多少时，五面体ABCDEF的体积最大．
【答案】（1）；（2）当时，V有最大值为.
【解析】
【分析】
由已知可得四边形BAEF与四边形CDEF为全等的直角梯形，为等腰三角形，求出三角形BFC的底边
BC上的高，然后由三角形及梯形面积公式求解；设，则，又，得
，由棱柱及棱锥体积作和求得五面体ABCDEF的体积，利用导数求最值．
【详解】如图，底面四边形ABCD为矩形，且平面平面ABCD，
由平面与平面垂直的性质，可得，，
又是正三角形，四边形BAEF与四边形CDEF为全等的直角梯形，
则，得为等腰三角形，
取AD中点O，BC中点H，连接OH，过F作，
垂足为G，可得为．
，，
五面体ABCDEF的侧面积；
设，则，
又，，
则五面体ABCDEF的体积．
，
由，可得舍或．
当时，，当时，，
当，即时，V有最大值为．
【点睛】本题考查柱、锥、台体积的求法，训练了利用导数求最值，考查
计算能力，是中档题．
19.已知椭圆的离心率是，且过点.直线与椭圆相交于两点. （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求的面积的最大值；
（Ⅲ）设直线，分别与轴交于点，.判断，大小关系，并加以证明.
【答案】（1）（2）（3）见解析
【解析】
试题分析：
(1)由题意求得，所以椭圆的方程为．
(2) 联立直线与椭圆的方程，由题意可得．三角形的高为．，面积表达式
，当且仅当时，．即的面积的最大值是．(3)
结论为．利用题意有．所以．
试题解析：
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为．
因为椭圆的离心率是，
所以，即．
由解得
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）将代入，
消去整理得．
令，解得．
设．
则，．
所以
．
点到直线的距离为．
所以的面积
，
当且仅当时，．
所以的面积的最大值是．
（Ⅲ）．证明如下：
设直线，的斜率分别是，，
则．
由（Ⅱ）得
，
所以直线，的倾斜角互补．
所以，
所以．
所以．
20.已知函数，e是自然对数的底．
证明：任意，恒成立；
若存在，使得成立，求a的取值范围；
若曲线，，在点P处的切线与x轴平行，且在点处的切线与直线OP平行为坐标原点证明：．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.
【解析】
【分析】
由的导数，可得单调性和最小值，可得，由不等式的性质即可得证；由题意得
的最大值，构造，，求得导数和单调性、极值，可得的最大值，可得a的范围；求得的导数，可得切线斜率，可得P的坐标和OP的斜率，求得在M处的切线斜率，要证，即证，需要证，即证，构造函数即可得证．
【详解】证明：由的导数为，
可得时，，函数y递增；当时，，函数y递减，
可得处函数y取得极小值，且为最小值0，
可得，即，
即任意，恒成立；
存在，使得成立，
即为，
令，，可得
，
由的导数为，
当时，函数y递增，当时，函数y递减，
可得处y取得极小值，且小于0；时，，时，，
可得在恒成立，
即有时，递减；时，递增；
可得处取得极大值，且为最大值，
即有；
证明：，
设点则，
在点P处的切线与x轴平行，
，即：，
，
将代入得，
，
，
要证，即证，
需要证，
即证，
因此构造函数，
则，由得．
当时，，
当时，，
的最小值为，
，
，
，
即，
．
【点睛】本题考查函数的导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查构造函数法，以及分析法，考
查化简运算能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题．。