湖北省黄冈市浠水县实验高中平面向量及其应用经典试题(含答案) 百度文库

一、多选题
1．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A ．||||||a b a b ⋅≤
B ．若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =
C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向
D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
2．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知
cos cos 2B b
C a c
=-，
ABC S =
△b = ）
A ．1cos 2
B =
B ．cos 2
B =
C ．a c +=
D ．a c +=3．给出下列结论，其中真命题为（ ） A ．若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =
B ．向量a 、b 为不共线的非零向量，则22
()a b a b ⋅=⋅ C ．若非零向量a 、b 满足2
2
2
a b
a b +=+，则a 与b 垂直
D ．若向量a 、b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a b +与a b -的夹角是
2
π 4．已知在平面直角坐标系中，点()10,1P ，()24,4P .当P 是线段12PP 的一个三等分点时，点P 的坐标为（ ） A ．4,23⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．4,33⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．()2,3
D ．8
,33⎛⎫ ⎪⎝⎭
5．在ABC 中，AB =1AC =，6
B π
=，则角A 的可能取值为（ ）
A ．
6
π B ．
3
π C ．
23
π D ．
2
π 6．ABC 中，2AB =，30ACB ∠=︒，则下列叙述正确的是（ ） A ．ABC 的外接圆的直径为4.
B ．若4A
C =，则满足条件的ABC 有且只有1个 C ．若满足条件的ABC 有且只有1个，则4AC =
D ．若满足条件的ABC 有两个，则24AC <<
7．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .根据下列条件解三角形，其中有两
解的是（ ）
A ．10,45,70b A C ==︒=︒
B ．45,48,60b c B ===︒
C ．14,16,45a b A ===︒
D ．7,5,80a b A ===︒ 8．下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A ．()10,0e =，()21,1=e
B ．()11,2e =，()22,1e =-
C ．()13,4e =-，234,55⎛⎫=-
⎪⎝⎭
e D ．()12,6=e ，()21,3=--e
9．设a 、b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A ．若a b a b +=-，则存在实数λ使得λa b
B ．若a b ⊥，则a b a b +=-
C ．若a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影向量为a
D ．若存在实数λ使得λa
b ，则a b a b +=-
10．设a 、b 、c 是任意的非零向量，则下列结论不正确的是（ ） A ．00a ⋅= B ．()
()
a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ C ．0a b a b ⋅=⇒⊥
D ．(
)(
)
22
b b a b a a +-=⋅-
11．给出下面四个命题，其中是真命题的是（ ） A ．0AB
BA B ．AB BC AC C ．AB AC BC += D ．00AB +=
12．已知正三角形ABC 的边长为2，设2AB a =，BC b =，则下列结论正确的是（ ） A ．1a b +=
B ．a b ⊥
C ．()
4a b b +⊥
D ．1a b ⋅=-
13．已知实数m ，n 和向量a ，b ，下列说法中正确的是（ ） A ．()
m a b ma mb -=- B ．()m n a ma na -=-
C ．若ma mb =，则a b =
D ．若()0ma na a =≠，则m n =
14．对于ABC ∆，有如下判断，其中正确的判断是（ ） A ．若sin 2sin 2A B =，则ABC ∆为等腰三角形 B ．若A B >，则sin sin A B >
C ．若8a =，10c =，60B ︒=，则符合条件的ABC ∆有两个
D ．若222sin sin sin A B C +<，则ABC ∆是钝角三角形15．题目文件丢失！
二、平面向量及其应用选择题
16．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若1c =，45B =︒，
3
cos 5
A =
，则b 等于（ ） A ．
35 B ．
107
C ．
57
D
．
14
17．若点G 是ABC 的重心，,,a b c 分别是BAC ∠，ABC ∠，ACB ∠的对边，且
3
0aGA bGB cGC ++
=.则BAC ∠等于（ ） A ．90°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
18．已知非零向量AB 与AC 满足
0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪
⎝⎭
且1
2AB AC AB AC ⋅=，则ABC 的形状是（ ） A ．三边均不相等的三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形
D ．以上均有可能
19．在
ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若
lg lg lg sin a c B -==-，且0,2B π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，则ABC 的形状是（ ）
A ．等边三角形
B ．锐角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．钝角三角形
20．在ABC ∆中，
a 、
b 、
c 分别是角A 、B 、C 的对边，若
sin cos sin a b c
A B B
===ABC ∆
的面积为（ ） A ．2
B ．4
C
D ．21．在ABC 中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，过C 作直线CD 与边
AB 相交于点D ，90C ∠=︒，1CD =.当直线CD AB ⊥时，+a b 值为M ；当D 为边
AB 的中点时，+a b 值为N .当a ，b 变化时，记{}max ,m M N =（即M 、N 中较大
的数），则m 的最小值为（ ） A ．M B ．N
C ．22
D ．1
22．ABC ∆内有一点O ，满足3450OA OB OC ++=，则OBC ∆与ABC ∆的面积之比为
（ ） A ．1:4
B ．4:5
C ．2:3
D ．3:5
23．在ABC ∆中，若cos cos a A b B =，则ABC 的形状一定是（ ）
A ．等腰直角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰或直角三角形
24．在ABC ∆中，已知2AB =，4AC =，若点G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心，则
()AG AW BC +⋅=（ ）
A ．4
B ．6
C ．10
D ．14
25．在ABC ∆中||||AB AC AB AC +=-,3,4,AB AC ==则BC 在CA 方向上的投影为
（ ）． A ．4
B ．3
C ．-4
D ．5
26．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 满足()()1sin 2sin sin 2
A A
B
C C A B +-+=--+
，面积S 满足12S ≤≤，记a 、b 、c 分别为A 、B 、C 所对的边，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．()8bc b c +> B ．()162ab a b +> C ．612abc ≤≤
D ．1224abc ≤≤
27．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若222sin sin sin 0A B C +-=，
2220a c b ac +--=，2c =，则a =（ ）
A ．3
B ．1
C ．
12
D ．
32
28．如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 是BC 的中点，点F 在线段CD 上，且
2CF DF =，AE 与BF 交于点P ，若AP AE λ=，则λ=（ ）
A ．
34
B ．
58
C ．38
D ．
23
29．已知圆C 的方程为2
2
(1)(1)2x y -+-=，点P 在直线3y x
上，线段AB 为圆C
的直径，则PA PB ⋅的最小值为（） A ．2
B ．
52
C ．3
D ．
72
30．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且1
2
MP MN =，则P 点的坐标为( ) A ．(－8,1) B ．31,2⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭
C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．(8，－1)
31．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若
()()(23)a b c a c b ac +++-=+，则cos sin A C +的取值范围为
A ．33
)2
B ．3
(
3) C ．3(3]2
D ．3
(3)2
32．在ABC ∆中，60A ∠=︒，1b =
，ABC S ∆，则2sin 2sin sin a b c
A B C
++=++（ ）
A
．
3
B
C
D
．33．在ABC ∆中，下列命题正确的个数是（ ）
①AB AC BC -=；②0AB BC CA ++=；③点O 为ABC ∆的内心，且
()()20OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC ∆为等腰三角形；④0AC AB ⋅>，则
ABC ∆为锐角三角形．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
34．在ABC ∆中，2,2,120,,AC AB BAC AE AB AF AC λμ==∠=
==，M 为线段EF
的中点，若1AM =，则λμ+的最大值为（ ）
A B C ．2
D 35．在ABC 中，CB a =，CA b =，且sin sin a b OP OC m a B b A ⎛⎫
⎪=++ ⎪⎝⎭
，m R ∈，则点P 的轨迹一定通过ABC 的（ ） A ．重心
B ．内心
C ．外心
D ．垂心
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一、多选题 1．AC 【分析】
根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】
对于A ，由平面向量数量积定义可知 解析：AC 【分析】
根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】
对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ⋅=，则||||||a b a b ⋅≤，所以A
正确，
对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，
对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即
22||||a b a b -⋅=，cos 1θ=-，
则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角， 可得()0a a b λ⋅+>即2||0a a b λ+⋅>可得530λ+>，解得53
λ>-
， 当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+⇒= 所以a 与a b λ+的夹角为锐角时5
3
λ>-且0λ≠，故D 错误； 故选:AC. 【点睛】
本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.
2．AD 【分析】
利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简，结合，可求，结合范围，可求，进而根据三角形的面积公式和余弦定理可得. 【详解】 ∵，
整理可得：， 可得，
∵A 为三角形内角，， ∴，故A 正确
解析：AD 【分析】
利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简
cos cos 2B b
C a c
=-，结合sin 0A ≠，可求1cos 2
B =
，结合范围()0,B π∈，可求3B π
=，进而根据三角形的面积公式和余弦定理
可得a c += 【详解】 ∵
cos sin cos 22sin sin B b B
C a c A C
==--， 整理可得：sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-，
可得()sin cos sin cos sin sin 2sin cos B C C B B C A A B +=+==， ∵A 为三角形内角，sin 0A ≠， ∴1
cos 2
B =
，故A 正确，B 错误， ∵()0,B π∈， ∴3
B π
=
，
∵4
ABC S =△，且3b =，
11sin 22ac B a c ==⨯⨯=， 解得3ac =，
由余弦定理得()()2
2
22939a c ac a c ac a c =+-=+-=+-，
解得a c +=C 错误，D 正确. 故选：AD. 【点睛】
本题主要考查正弦定理，余弦定理以及两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
3．CD 【分析】
对于A 由条件推出或，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断与垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量与的夹角是，所以该命题是真命题. 【详解
解析：CD 【分析】
对于A 由条件推出0b =或a b ⊥，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出
()
()()
2
2
2
a b a b ⋅≠⋅，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断a 与b 垂直，判断该命题
是真命题；对于D 由条件推出向量a b +与a b -的夹角是2
π
，所以该命题是真命题. 【详解】
对于A ，若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =或a b ⊥，所以该命题是假命题； 对于B ，()(
)
2
2
2
2
2cos cos a b
a b a b α
α⋅==，而()()
2
2
2
2
a b
a b ⋅=，
由于a 、b 为不共线的非零向量，所以2
cos
1α≠，所以()()()2
2
2
a b a b ⋅≠⋅，
所以该命题是假命题；
对于C ，若非零向量a 、b 满足2
2
2
a b
a b +=+，22222a b a b a b ++⋅=+，所以
0a b ⋅=，则a 与b 垂直，所以该命题是真命题；
对于D ，以a 与b 为邻边作平行四边形是正方形，则a b +和a b -所在的对角线互相垂直，所以向量a b +与a b -的夹角是2
π
，所以该命题是真命题. 故选：CD. 【点睛】
本题考查平面向量的线性运算与数量积运算、向量垂直的判断，是基础题.
4．AD 【分析】
设，则，然后分点P 靠近点，靠近点两种情况，利用平面向量的线性运算求解. 【详解】 设，则，
当点P 靠近点时，， 则， 解得， 所以，
当点P 靠近点时，， 则， 解得， 所以， 故选：
解析：AD 【分析】
设(),P x y ，则()()1
2,1,4,4=-=--PP x y PP x y ，然后分点P 靠近点1P ，靠近点2P 两种情况，利用平面向量的线性运算求解. 【详解】
设(),P x y ，则()()1
2,1,4,4=-=--PP x y PP x y ， 当点P 靠近点1P 时，121
2
PP
PP =， 则()()1421142x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩
，
解得432
x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，
所以4,23P ⎛⎫
⎪⎝⎭
， 当点P 靠近点2P 时，12
2PP PP =， 则()()24124x x y y ⎧=-⎪⎨-=-⎪⎩
， 解得833
x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，
所以8,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 故选：AD 【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
5．AD 【分析】
由余弦定理得，解得或，分别讨论即可. 【详解】 由余弦定理，得， 即，解得或.
当时，此时为等腰三角形，，所以； 当时，，此时为直角三角形，所以. 故选：AD 【点睛】 本题考查余弦
解析：AD 【分析】
由余弦定理得2222cos AC BC BA BC BA B =+-⋅⋅，解得1BC =或2BC =，分别讨论即可. 【详解】
由余弦定理，得2222cos AC BC BA BC BA B =+-⋅⋅，
即21322
BC BC =+-，解得1BC =或2BC =.
当1BC =时，此时ABC 为等腰三角形，BC AC =，所以6
A B π
==
；
当2BC =时，222AB AC BC +=，此时ABC 为直角三角形，所以A =2
π. 故选：AD 【点睛】
本题考查余弦定理解三角形，考查学生分类讨论思想，数学运算能力，是一道容易题.
6．ABD 【分析】
根据正弦定理，可直接判断的对错，然后，，三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可． 【详解】
解：由正弦定理得，故正确； 对于，，选项：如图
解析：ABD 【分析】
根据正弦定理，可直接判断A 的对错，然后B ，C ，D 三个选项，都是已知两边及一边的对角，判断解得个数的问题，做出图象，构造不等式即可． 【详解】
解：由正弦定理得2
24sin sin30AB R ACB =
==∠︒
，故A 正确；
对于B ，C ，D 选项：如图：以A 为圆心，2AB =为半径画圆弧，该圆弧与射线CD 的交点个数，即为解得个数． 易知当
1
22
x =，或即4AC =时，三角形ABC 为直角三角形，有唯一解； 当2AC AB ==时，三角形ABC 是等腰三角形，也是唯一解；
当AD AB AC <<，即1
22
x x <<，24x ∴<<时，满足条件的三角形有两个．
故B ，D 正确，C 错误． 故选：ABD ．
【点睛】
本题考查已知两边及一边的对角的前提下，三角形解得个数的判断问题．属于中档题．
7．BC
【分析】
根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】
对于选项A 中：由，所以，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解； 对于选项B 中：因为，且，所以角有两
解析：BC 【分析】
根据题设条件和三角形解的个数的判定方法，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】
对于选项A 中：由45,70A C =︒=︒，所以18065B A C =--=︒，即三角形的三个角是确定的值，故只有一解；
对于选项B 中：因为csin sin 1B C b =
=<，且c b >，所以角C 有两解；
对于选项C 中：因为sin sin 17
b A B a ==<，且b a >，所以角B 有两解； 对于选项D 中：因为sin sin 1b A
B a
=<，且b a <，所以角B 仅有一解. 故选：BC . 【点睛】
本题主要考查了三角形解得个数的判定，其中解答中熟记三角形解得个数的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
8．ACD
【分析】
依次判断各选项中的两向量是否共线即可. 【详解】
A ，C ，D 中向量与共线，不能作为基底；
B 中，不共线，所以可作为一组基底．
【点睛】
本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属
解析：ACD 【分析】
依次判断各选项中的两向量是否共线即可. 【详解】
A ，C ，D 中向量1e 与2e 共线，不能作为基底；
B 中1e ，2e 不共线，所以可作为一组基底． 【点睛】
本题主要考查平面向量的基本定理及基底的定义，属于基础题.
9．AB 【分析】
根据向量模的三角不等式找出和的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】
当时，则、方向相反且，则存在负实数
解析：AB 【分析】
根据向量模的三角不等式找出a b a b +=-和a b a b +=+的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】
当a b a b +=-时，则a 、b 方向相反且a b ≥，则存在负实数λ，使得λa b ，A
选项正确，D 选项错误；
若a b a b +=+，则a 、b 方向相同，a 在b 方向上的投影向量为a ，C 选项错误； 若a b ⊥，则以a 、b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b +和a b -是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，B 选项正确. 故选：AB. 【点睛】
本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断，涉及平面向量模的三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.
10．AB 【分析】
利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误. 【详解】
对于A 选项，，A 选项错误；
对于B 选项，表示与共线的向量，表示与共线的向量，但与不一定共线，B 选项错误； 对于C 选项，
解析：AB 【分析】
利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误. 【详解】
对于A 选项，00a ⋅=，A 选项错误；
对于B 选项，()a b c ⋅⋅表示与c 共线的向量，()
a b c ⋅⋅表示与a 共线的向量，但a 与c 不一定共线，B 选项错误；
对于C 选项，0a b a b ⋅=⇒⊥，C 选项正确；
对于D 选项，()()
22
22a b a b a b a b +⋅-=-=-，D 选项正确. 故选：AB. 【点睛】
本题考查平面向量数量积的应用，考查平面向量数量积的定义与运算律，考查计算能力与推理能力，属于基础题.
11．AB 【解析】 【分析】
根据向量加法化简即可判断真假. 【详解】 因为，正确；
，由向量加法知正确； ，不满足加法运算法则，错误； ，所以错误. 故选：A B. 【点睛】
本题主要考查了向量加法的
解析：AB 【解析】 【分析】
根据向量加法化简即可判断真假. 【详解】 因为0AB
BA AB AB
，正确；
AB BC
AC ，由向量加法知正确；
AB AC BC +=，不满足加法运算法则，错误；
0,AB AB +=，所以00AB +=错误.
故选：A B . 【点睛】
本题主要考查了向量加法的运算，属于容易题.
12．CD 【分析】
分析知，，与的夹角是，进而对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】
分析知，，与的夹角是. 由，故B 错误，D 正确； 由，所以，故A 错误；
由，所以，故C 正确. 故选：CD 【点睛】
解析：CD 【分析】
分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120︒，进而对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】
分析知1a =，2=b ，a 与b 的夹角是120︒.
由12cos12010a b ︒⋅=⨯⨯=-≠，故B 错误，D 正确；
由()2
2
221243a b
a a
b b +=+⋅+=-+=，所以3a b +=，故A 错误； 由()()2
144440a b b a b b +⋅=⋅+=⨯-+=，所以()4a b b +⊥，故C 正确.
故选：CD 【点睛】
本题考查正三角形的性质，考查平面向量的数量积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
13．ABD 【分析】
根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性，通过的特殊情况判断C 选项的正确性，根据向量运算判断D 选项的正确性. 【详解】
根据向量数乘的运算可知A 和B 正确；C 中，当时，，但与不一定相等，
解析：ABD 【分析】
根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性，通过m 的特殊情况判断C 选项的正确性，根据向量运算判断D 选项的正确性. 【详解】
根据向量数乘的运算可知A 和B 正确；C 中，当0m =时，0ma mb ==，但a 与b 不一定相等，故C 不正确；D 中，由ma na =，得()0m n a -=，因为0a ≠，所以m n =，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】
本小题主要考查向量数乘运算，属于基础题.
14．BD 【分析】
对于A ，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B ，根据正弦定理即可判断证
明；对于C ，利用余弦定理即可得解；对于D ，根据正弦定理去判断即可． 【详解】 在中，
对于A ，若，则或， 当A ＝
解析：BD 【分析】
对于A ，根据三角函数的倍角公式进行判断；对于B ，根据正弦定理即可判断证明；对于C ，利用余弦定理即可得解；对于D ，根据正弦定理去判断即可． 【详解】 在ABC ∆中，
对于A ，若sin 2sin 2A B =，则22A B =或22A B π+=， 当A ＝B 时，△ABC 为等腰三角形； 当2
A B π
+=
时，△ABC 为直角三角形，故A 不正确，
对于B ，若A B >，则a b >，由正弦定理得sin sin a b A B
=，即sin sin A B >成立．故B 正确；
对于C ，由余弦定理可得：b C 错误； 对于D ，若222sin sin sin A B C +<，由正弦定理得222a b c +<，
∴222
cos 02a b c C ab
+-=<，∴C 为钝角，∴ABC ∆是钝角三角形，故D 正确；
综上，正确的判断为选项B 和D ． 故选：BD ． 【点睛】
本题只有考查了正弦定理，余弦定理，三角函数的二倍角公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．
15．无
二、平面向量及其应用选择题
16．C 【分析】
利用同角三角函数基本关系式可得sin A ，进而可得cos (cos cos sin sin )C A B A B =--，再利用正弦定理即可得出． 【详解】
解：
3
cos 5
A =，(0,180)A ∈︒︒．
∴4sin 5
A =，
34cos cos()(cos cos sin sin )(55C A B A B A B =-+=--=--=
．
sin C ∴= 由正弦定理可得：
sin sin b c
B C
=，
∴1sin 5sin 7c B b C ===． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了同角三角函数基本关系式、正弦定理、两角和差的余弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17．D 【分析】
由点G 是ABC 的重心可得0GA GB GC ++=,即GA GB GC =--,代入
30aGA bGB cGC ++=中可得3()0b a GB c a GC ⎛⎫-
+-= ⎪ ⎪⎝⎭,由,GB GC 不共线可得0
03
b a a -=⎧-=⎩,即可求得,,a b
c 的关系,进而利用余弦定理求解即可 【详解】
因为点G 是ABC 的重心,所以0GA GB GC ++=, 所以GA GB GC =--,
代入303aGA bGB cGC ++=可得3()03b a GB c a GC ⎛⎫-+-=
⎪ ⎪⎝⎭, 因为,GB GC 不共线,所以0
0b a a -=⎧-=,
即b a c =⎧⎪⎨=⎪⎩,所以222cos 2b c a BAC bc +-∠==
,故30BAC ︒∠=, 故选:D
【点睛】
本题考查向量的线性运算,考查利用余弦定理求角 18．C 【分析】
AB
AB 和AC
AC 分别表示向量AB 和向量AC 方向上的单位向量，0AB AC BC AB AC ⎛⎫
⎪+⋅= ⎪
⎝⎭表示A ∠平分线所在的直线与BC 垂直，可知ABC 为等腰三角形，再由1
2
AB AC AB
AC
⋅
=
可求出A ∠，即得三角形形状。

【详解】
由题的，∵0AB AC BC AB AC ⎛⎫
⎪+⋅= ⎪⎝⎭
，∴A ∠平分线所在的直线与BC 垂直，∴ABC 为等腰三角形.又12AB AC AB
AC
⋅
=
，∴1cos 2A =，∴3
A π
=，故ABC 为等边三角形
. 故选：C 【点睛】
本题考查向量的几何意义和三角形角平分线的性质，以及求两个向量的夹角，是一道中档难度的综合题。

19．C 【分析】
化简条件可得sin 2
a B c ==
，由正弦定理化边为角，整理cos 0C =，即可求解. 【详解】
lg lg lg sin a c B -==-，
sin 2
a B c ∴==.0,2
B π⎛⎫∈
⎪⎝
⎭，
4
B
π
∴=
.
由正弦定理，得
sin sin 2
a A c C ==
，3sin cos sin 422C A C C C π⎫⎛⎫
∴==-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭
， 化简得cos 0C =.
()0,C π∈，
2
C π∴=
， 则4
A B C π
π=--=
，
∴ABC 是等腰直角三角形. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了正弦定理，三角恒等变换，属于中档题. 20．A 【分析】
首先由条件和正弦定理判断ABC 是等腰直角三角形，由三角形的性质可知直角三角形的外接圆的圆心在斜边的中点，所以由ABC 外接圆的半径可求得三角形的边长，再求面积. 【详解】 由正弦定理可知2sin sin sin a b c
r A B C
===
已知
sin cos sin a b c
A B B
===sin cos B B =和sin sin C B =， 所以45B =，45C =，所以ABC 是等腰直角三角形，
由条件可知ABC ，即等腰直角三角形的斜边长为
所以1
22
ABC
S
=⨯=. 故选：A 【点睛】
本题考查正弦定理判断三角形形状，重点考查直角三角形和外接圆的性质，属于基础题型. 21．C 【分析】
当直线CD AB ⊥时，由直角三角形的勾股定理和等面积法，可得出222+=a b c ，
1ab c =⨯，再由基本不等式可得出2c ≥，从而得出M 的范围.当D 为边AB 的中点时，
由直角三角形的斜边上的中线为斜边的一半和勾股定理可得2c =，2224a b c +==，由基本不等式可得出2ab ≤，从而得出N 的范围，可得选项. 【详解】
当直线CD AB ⊥时，因为90C ∠=︒，1CD =，所以222+=a b c ，由等面积法得
1ab c =⨯，
因为有222a b ab +≥（当且仅当a b =时，取等号），即()2
2>0c c c ≥，所以2c ≥，
所以+M a b ==
=≥（当且仅当a b =时，取等号），
当D 为边AB 的中点时，因为90C ∠=︒，1CD =，所以2c =，2224a b c +==，
因为有222a b ab +≥（当且仅当a b =时，取等号），即42ab ≥，所以2ab ≤， 所以()
2
++2224N a b a b ab ==
+=≤（当且仅当a b =时，取等号），
当a ，b 变化时，记{}max ,m M N =（即M 、N 中较大的数），则m 的最小值为22（此时，a b =）； 故选：C. 【点睛】
本题考查解直角三角形中的边的关系和基本不等式的应用，以及考查对新定义的理解，属于中档题. 22．A 【解析】
分析：由题意，在ABC ∆内有一点O ，满足3450++=OA OB OC ，利用三角形的奔驰定理，即可求解结论．
详解：由题意，在ABC ∆内有一点O ，满足3450++=OA OB OC ，
由奔驰定理可得::3:4:5BOC AOC BOA S S S ∆∆∆=，所以:3:121:4BOC ABC S S ∆∆==， 故选A ．
点睛：本题考查了向量的应用，对于向量的应用问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用，利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决． 23．D 【分析】
首先利用正弦定理求得sin 2sin 2A B =，进一步利用三角函数的诱导公式求出结果． 【详解】
解：已知：cos cos a A b B =，利用正弦定理：2sin sin sin a b c
R A B C
===， 解得：sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，
所以：22A B =或21802A B =︒-，解得：A B =或90A B +=︒
所以：ABC 的形状一定是等腰或直角三角形 故选：D ． 【点评】
本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角函数的诱导公式的应用，属于中档题． 24．C 【解析】 【分析】
取BC 的中点D ，因为G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心，则0DW BC ⋅=， 再用AB 、AC 表示AW ，AG ，BC 再根据向量的数量积的运算律计算可得. 【详解】
解：如图，取BC 的中点D ，因为G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心 0DW BC ∴⋅=
()()
22113323
AG AD AB AC AB AC ∴=
=⨯+=+ ()
1
2
AW AD DW AB AC DW =+=++ ()()()
115326
AW AG AB AC AB AC DW AB AC DW +=
++++=++ ()()()
5566AB AC DW AB AG AW BC BC B W C BC AC D ⎡⎤
∴+⋅=⋅=⋅⋅⎢++++⎥⎣⎦
()
5
6
AB A BC C =⋅+ ()()
5
6
C AC AB AB A =⋅+- ()
()2222421055
66
AC AB =
-=-= 故选：C
【点睛】
本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查三角形的重心和外心的性质及向量中点的向量表示，考查运算能力，属于中档题． 25．C 【分析】
先对等式AB AC AB AC +=-两边平方得出AB AC ⊥，并计算出BC CA ⋅，然后利用投影的定义求出BC 在CA 方向上的投影． 【详解】
对等式AB AC AB AC +=-两边平方得，
2222
22AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅=+-⋅，整理得，0AB AC ⋅=，则AB AC ⊥，
()
2
16BC CA AC AB CA AC CA AB CA AC ∴⋅=-⋅=⋅-⋅=-=-，
设向量BC 与CA 的夹角为θ，
所以，BC 在CA 方向上的投影为16
cos 44
BC CA BC CA BC BC BC CA
CA
θ⋅⋅-⋅=⋅=
=
=-⋅， 故选C ． 【点睛】
本题考查平面向量投影的概念，解本题的关键在于将题中有关向量模的等式平方，这也是向量求模的常用解法，考查计算能力与定义的理解，属于中等题． 26．A 【分析】
由条件()()1sin 2sin sin 2A A B C C A B +-+=--+
化简得出1sin sin sin 8
A B C =，设ABC ∆的外接圆半径为R ，根据12S ≤≤求得R 的范围，然后利用不等式的性质判断即
可.
【详解】
ABC ∆的内角A 、B 、C 满足()()1
sin 2sin sin 2
A A
B
C C A B +-+=--+，
即()()1
sin 2sin sin 2A A B C A B C +-+++-=，
即()()1
sin 2sin sin 2
A A
B
C A B C +--++-=⎡⎤⎣⎦， 即()1
2sin cos 2sin cos 2
A A A
B
C +-=，
即()()1
2sin cos 2sin cos 2
A B C A B C -++-=，
即()()1
2sin cos cos 4sin sin sin 2
A B C B C A B C --+==⎡⎤⎣⎦，1
sin sin sin 8
A B C ∴=，
设ABC ∆的外接圆半径为R ，则
2sin sin sin a b c
R A B C
===， []2111
sin 2sin 2sin sin 1,2
224
S ab C R A R B C R ==⨯⨯⨯=∈，2R ∴≤≤
338sin sin sin abc R A B C R ⎡∴=⨯=∈⎣，C 、D 选项不一定正确；
对于A 选项，由于b c a +>，()8bc b c abc ∴+>≥，A 选项正确；
对于B 选项，()8ab a b abc +>≥，即()8ab a b +>成立，但()ab a b +>成立. 故选：A.
【点睛】
本题考查了利用三角恒等变换思想化简、正弦定理、三角形的面积计算公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 27．B 【分析】
先根据正弦定理化边得C 为直角，再根据余弦定理得角B ，最后根据直角三角形解得a. 【详解】
因为222sin sin sin 0A B C +-=，所以222b c 0a +-=, C 为直角，
因为2
2
2
0a c b ac +--=，所以2221cosB ,223
a c
b B a
c π
+-===,
因此13
a ccos π
==选B.
【点睛】
解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 28．A 【分析】
设出()()()
11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+，求得
()21
13
m AP AB m AD +=
+-，再利用向量相等求解即可. 【详解】 连接AF ，因为B ，P ，F 三点共线，
所以()()()
11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+， 因为2CF DF =，所以11
33
DF DC AB ==， 所以()21
13
m AP AB m AD +=
+-. 因为E 是BC 的中点，
所以11
22
AE AB BC AB AD =+=+.
因为AP AE λ=，
所以()211132m AB m AD AB AD λ+⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭
， 则213
112m m λλ
+⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩
，
解得34
λ=. 故选：A
【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题. 29．B 【分析】
将PA PB ⋅转化为2||2PC -，利用圆心到直线的距离求得||PC 的取值范围求得PA PB ⋅的最小值. 【详解】
()()()()
PA PB PC CA PC CB PC CA PC CA ⋅=+⋅+=+⋅
-2
2
2
2
||||||22PC CA PC =-=-≥-52=.故选B. 【点睛】
本小题主要考查向量的线性运算，考查点到直线距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 30．B 【分析】
由向量相等的坐标表示，列方程组求解即可. 【详解】
解：设P(x ，y )，则MP ＝ (x －3，y ＋2)，而
12MN ＝1
2(－8,1)＝14,2⎛⎫- ⎪⎝
⎭，
所以34122x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1
32x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩
，即31,2P ⎛
⎫-- ⎪⎝⎭，
故选B. 【点睛】
本题考查了平面向量的坐标运算，属基础题. 31．A 【分析】
先化简已知()(
)(2a b c a c b ac +++-=+得6
B π
=
，再化简
cos sin A C
+)3
A π
+
，利用三角函数的图像和性质求其范围.
【详解】
由()()(2a b c a c b ac +++-=+
可得22()(2a c b ac +-=+
，即
2
2
2
a c
b +-=，
所以222cos 2a c b B ac +-==，所以6B π=，56C A π=-，所以
5cos sin cos sin(
)6
A C A A π+=+
-553cos sin cos cos sin cos )6623A A A A A A πππ
=+-=+=+，又
02A π<<，506A π<-2π<，所以32A ππ<<，所以25336
A πππ
<+<
，所以
3
)62
A π<+<，故cos sin A C +
的取值范围为3)2．故选A ．
【点睛】
(1)本题主要考查余弦定理解三角形，考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)利用函数的思想研究数学问题，一定要注意“定义域优先”的原则，所以本题一定要准确计算出A 的范围
3
2
A π
π
<<
，不是
02
A π
<<
.
32．A
【分析】
根据面积公式得到4c =
，再利用余弦定理得到a =，再利用正弦定理得到答案. 【详解】
1sin 42ABC S bc A c ∆====
利用余弦定理得到：2222cos 116413a b c bc A a =+-=+-=∴= 正弦定理：
sin sin sin a b c
A B C
==
故2sin 2sin sin sin 32
a b c a A B C A ++===
++ 故选A 【点睛】
本题考查了面积公式，正弦定理，余弦定理，综合性强，意在考查学生的综合应用能力. 33．B 【解析】 【分析】
利用向量的定义和运算法则逐一考查所给的命题是否正确即可得到正确命题的个数. 【详解】
逐一考查所给的命题：
①由向量的减法法则可知：AB AC CB -=，题中的说法错误； ②由向量加法的三角形法则可得：0AB BC CA ++=，题中的说法正确；
③因为()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=， 即()0CB AB AC ⋅+=； 又因为AB AC CB -=， 所以()()0AB AC AB AC -⋅+=， 即||||AB AC =，
所以△ABC 是等腰三角形.题中的说法正确；
④若0AC AB ⋅>，则cos 0AC AB A ⨯⨯>，据此可知A ∠为锐角，无法确定ABC ∆为锐角三角形，题中的说法错误． 综上可得，正确的命题个数为2. 故选：B . 【点睛】
本题主要考查平面向量的加法法则、减法法则、平面向量数量积的应用，由平面向量确定三角形形状的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 34．C 【分析】 化简得到2
2
AM AB AC λ
μ
=+
，根据1AM =得到221λμλμ+-=，得到λμ+的最大
值. 【详解】
()
1222
AM AE AF AB AC λμ
=
+=+， 故2
2
22224cos1201222AM AB AC λμλμλμλμλμ⎛⎫=+=++⨯︒=+-= ⎪⎝⎭
故()()()22
2
2
2
3134
λμλμλμλμλμλμ=+-=+-≥+-
+，故2λμ+≤. 当1λμ==时等号成立. 故选：C . 【点睛】
本题考查了向量的运算，最值问题，意在考查学生的综合应用能力. 35．A 【分析】
设sin sin a B b A CH ==，则()
m
CP a b CH
=+，再利用平行四边形法则可知，P 在中线CD 上，即可得答案； 【详解】 如图，
sin sin a B b A CH ==，∴()m OP OC a b CH =+
+，()
m
CP a b CH
=+， 由平行四边形法则可知，P 在中线CD 上，
∴P 的轨迹一定通过ABC 的重心.
故选：A. 【点睛】
本题考查三角形重心与向量形式的关系，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意向量加法几何意义的运用.。