上海曹杨第九中学高一数学文模拟试题含解析

上海曹杨第九中学高一数学文模拟试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在球O的球面上，球O的表面积为194π，AA1⊥平面
,则直线BC1与平面AB1C1所成角的正弦值为（）
A．B． C. D．
参考答案：
C
由知,设球半径为,则由⊥平面知，又，，从而的面积为，又面积为，设点到平面的距离为，则，，,∴直线与平面所成角正弦值为.
2. 下列哪组中的函数与相等（）
A.，
B.，
C. ，
D. ，
参考答案：
C
3. （5分）如图是某次比赛上七位评委为某选手打出的分数的茎叶图，若去掉一个最高分和最低分，则所剩数据的平均数为（）
A．84 B．85 C．86 D．87
参考答案：
B
考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．
专题：图表型；概率与统计．
分析：由已知中的茎叶图，我们可以得到七位评委为某参赛选手打出的分数，及去掉一个最高分和一个最低分后的数据，代入平均数公式公式，即可得到所剩数据的平均数．
解答：由已知的茎叶图可得七位评委为某参赛选手打出的分数为：79，84，84，86，84，87，93，
去掉一个最高分93和一个最低分79后，
所剩数据的平均数==85．
故选B．
点评：本题考查的知识点是茎叶图，平均法及方差，其中根据已知的茎叶图分析出七位评委为某参赛选手打出的分数，是解答本题的关键．
4. 若正方体的外接球的体积为，则球心到正方体的一个面的距离
为
（）
A.1
B.2
C.3
D.4
参考答案：
A
5. 设集合，则满足的集合的个数为
A.8
B. 4
C. 3
D. 1
参考答案：
B
6. 已知外接圆半径为1，且则是( )
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形 D. 等腰直角三角形
参考答案：
B
7. 若点在第一象限,则在内的取值范围是（）A．B.
C.D.
参考答案：
B 解析：
8. 中，已知，，，为线段的中点，且
，则的值为（）．
A．3 B．4 C．D．
参考答案：
A
在中，，
∴，
即，
∴，
∵，∴，
∴，即为直角三角形，
以为原点，为轴，为轴建立如图直角坐标系，设，，
则，，
∵，
∴，解得，
又∵，
∴，解得，
∴，，
又是中点，
∴，，
∵，
∴，即，，
∴．
故选．
9. 函数f（x）=的零点的情况是（）
A．仅有一个或0个零点B．有两个正零点
C．有一正零点和一负零点D．有两个负零点
参考答案：
C
【考点】函数的零点．
【专题】作图题；数形结合；函数的性质及应用．
【分析】作函数y=log2（x+4）与y=2x的图象，从而化函数的零点情况为函数的图象的交点的情况，从而解得．
【解答】解：作函数y=log2（x+4）与y=2x的图象如下，
，
∵函数y=log2（x+4）与y=2x的图象有两个交点，
且在y轴的两侧，
故选：C．
【点评】本题考查了函数的零点与函数的图象的关系应用及数形结合的思想应用．
10. 已知,则的值为（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
∵已知，即cosα+sinα+cosα=，即（sinα+cosα）=，求得sin（α+）=，
∴sin（α+）=﹣sin（α+）=﹣，
故答案为：C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若不等式的解集为（1，2），则实数a 的值是
．
参考答案：
【考点】其他不等式的解法．
【分析】由题意可得原不等式为（x ﹣1）（x﹣）＜0，即可求出a的值．
【解答】解：等价于﹣1＞0，等价于＞0，等价于（x﹣1）[（a﹣1）x+1]＞0，
∵不等式的解集为（1，2），
∴原不等式为（x﹣1）（x﹣）＜0，
∴=2，
解得a=，
故答案为：
12. 函数y＝的单调区间为．
参考答案：
（－∞，－1），（－1，＋∞）
13. 函数（）的部分图象如图所示，设为坐标原点，点是图象的
最高点，点是图象与轴的交点，则．
参考答案： 8
14. 如图所示的螺旋线是用以下方法画成的，是边长为1的正三角形，曲线
分
别是为圆心，
为半径画的弧，曲线
称为螺旋线的第一圈；然后又以A
为圆心，为半径画弧，如此继续下去，这样画到第圈．设所得螺旋线的总长度为．则
（1）
＝
；（2）
= ．
参考答案：
（1）
＝
；（2）
=
15. 市场调查公司为了了解某小区居民在阅读报纸方面的取向，抽样调查了500户居民，调查的结果显示：订阅晨报的有334户，订阅晚报的有297户，其中两种都订的有150户，则两种都不订的有 户．
参考答案：
19
【考点】Venn 图表达集合的关系及运算． 【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．
【分析】根据条件绘制Venn 图，由图可知，151﹣（297+150﹣500）=19，问题得以解决．
【解答】解：绘制Venn 图，由图可知，151﹣（297+150﹣500）=19， 故答案为：19．
【点评】本题考查的知识点是Venn 图表达集合的关系及运算，属于基础题．
16. 函数f （x ）=
的最大值与最小值的乘积是_________________.
参考答案：
．
17. 设向量
，
，若
，则实数
.
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知二次函数f （x ）=ax 2+1（x ∈R ）的图象过点A （﹣1，3）． （Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；
（Ⅱ）证明f （x ）在（﹣∞，0）上是减函数．
参考答案：
【考点】二次函数的性质．
【分析】（Ⅰ）A 代入函数的解析式，求出a ，即可求函数f （x ）的解析式； （Ⅱ）利用导数知识证明f （x ）在（﹣∞，0）上是减函数．
【解答】（Ⅰ）解：∵二次函数f （x ）=ax 2+1（x ∈R ）的图象过点A （﹣1，3）， ∴a+1=3，∴a=2，
∴函数的解析式为f （x ）=2x 2+1 （Ⅱ）证明：∵f （x ）=2x 2+1， ∴f′（x ）=4x ，
∵x ＜0，∴f′（x ）=4x ＜0，
∴函数f （x ）在（﹣∞，0）上是减函数．
19. 某服装商场为了了解毛衣的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如表：
（1）算出线性回归方程=bx+a；（a，b精确到十分位）
（2）气象部门预测下个月的平均气温约为3℃，据此估计，求该商场下个月毛衣的销售量．
（参考公式：b=）
参考答案：
【考点】BL：独立性检验．
【分析】（1）分别求出样本的中心点，求出方程的系数，的值，求出回归方程即可；（2）将x=3代入方程求出函数的预报值即可．
【解答】解：（1），，
，，
=，，
∴线性回归方程为=﹣2.0x+68，1；
（2）气象部门预测下个月的平均气温约为3℃，
据此估计，该商场下个月毛衣的销售量为：
=﹣2.0x+68.1=﹣2.0×3+68.1≈62（件）
20. (本小题满分12分) 已知函数。

（1）当时，求的值；
（2）当时，求的最大值和最小值。

参考答案：（1）当，即时，
，，———————————4分
（2）令，，
——————————8分
在上单调递减，在上单调递增
当，即时，——————————————10分
当，即时，——————————————12分
21. 已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C上是否存在点P ，使得过点P 引圆O ：x 2+y 2=b 2的两条切线PA 、PB 互相垂直？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
（1）所求椭圆方程为．
（2）椭圆C 上存在四个点分别由这四个点向圆O所引的两条切线均互相垂直.
【分析】
(1)利用椭圆的性质可求解出a 、b；
（2）先假设存在点P,过点P引圆O的切线,连接OA,OB, 则四边形PAOB是边长为b的正方形，点P 是以O为圆心,为半径的圆与椭圆C的交点，构造方程组即可解得P的坐标.
【详解】(1) ,
(2)假设存在点P,过点P引圆O的切线,连接OA,OB, 则四边形PAOB是边长为b的正方形,点P为以O 为圆心,为半径的圆与椭圆C的交点.
即解得
所以点P的坐标是
【点睛】本题主要考查圆与圆锥曲线的综合问题，属于难题，解决第二问的关键是根据已知条件分析出四边形PAOB是边长为b的正方形,得到点P是以O为圆心,为半径的圆与椭圆C的交点. 22. 已知函数f（x）=（a x+a﹣x），（a＞0且a≠1）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）若函数f（x）的图象过点（2，），求f（x）．
参考答案：
【考点】函数奇偶性的判断；函数的零点．
【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进行判断即可．
（2）根据函数过点，代入进行求解即可．
【解答】解：（1）函数的定义域为（﹣∞，+∞），
则f（﹣x）=（a﹣x+a x）=（a x+a﹣x）=f（x），
则函数f（x）为偶函数；
（2）若函数f（x）的图象过点（2，），则f（2）=（a2+a﹣2）=，
即a2+a﹣2=，
即a4﹣a2+1=0
即9a4﹣82a2+9=0，
解得a2=9或a2=
∵a＞0且a≠1，
∴a=3或a=．
即f（x）=（3x+3﹣x）．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数解析式的求法，考查学生的计算能力，建立方程关系是解决本题的关键．。