【名师解析】安徽省示范高中高三上学期第一次联考数学(理) Word版含解析

理科数学
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知函数21,1
()2,1
x x x f x ax x ⎧+≤=⎨+>⎩，若((1))4f f a =，则实数a 等于（ ）
A ．
12 B ．4
3
C ．2
D ．4
2.在平面直角坐标系中，A ，B 点是以原点O 为圆心的单位圆上的动点，则||OA OB +的最大值是（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
3.集合3
{|
1}A x N x
=∈≥，3{|log (1)1}B x N x =∈+≤，S A ⊆，S B φ≠，
则集合S 的个数为（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．8
4.我们把形如“1234”和“3241”形式的数称为“锯齿数”（即大小间隔的数），由1,2,3,4四个数组成一个没有重复数字的四位数，则该四位数恰好是“锯齿数”的概率为（ ） A ．
12 B ．512 C ．13 D ．1
4
5.函数()|tan |f x x =，则函数4()log 1y f x x =+-与x 轴的交点个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
6.若sin()πα-=且3(,
)2παπ∈，则sin()22
πα
+=（ ）
A ．-
B ．-
7.已知数列{}n a 的前n 项和2
n S n n =-，正项等比数列{}n b 中，23b a =， 2
314(2,)n n n b b b n n N +-+=≥∈，则2log n b =（ ）
A ．1n -
B ．21n -
C ．2n -
D ．n
8.已知在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为2
2
23x y y +=-+，直线l 过点(1,0)且与直线
10x y -+=垂直.若直线l 与圆C 交于A B 、两点，则OAB ∆的面积为（ ）
A ．1
B
C ．2
D ．
9.给出下列五个命题：
①某班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中另一位同学的编号为23； ②一组数据1,2,3,3,4,5的平均数、众数、中位数都相同；
③一组数据为a ，0,1,2,3，若该组数据的平均值为1，则样本标准差为2；
④根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为y a bx =+中，2,1,3,b x y ===则1a =；
⑤如图是根据抽样检测后得出的产品样本净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是90.
其中真命题为（ ）
A ．①②④
B ．②④⑤
C ．②③④
D ．③④⑤
10.在平面直角坐标系中，若两点P Q 、满足条件： ①P Q 、都在函数()y f x =的图像上；
②P Q 、两点关于直线y x =对称，则称点对{,}P Q 是函数()y f x =的一对“和谐点对”. （注：点对{,}P Q 于{,}Q P 看作同一对“和谐点对”）
已知函数2232(0)()log (0)
x x x f x x x ⎧++≤=⎨>⎩，则此函数的“和谐点对”有（ ）
A ．0对
B ．1对
C ．2对
D ．3对
考点：函数图像.
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11.执行如图所示的程序框图，则输出的结果S是
.
12.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
.
【答案】4 3π
13.设,x y满足约束条件
360
20
0,0
x y
x y
x y
--≤
⎧
⎪
-+≥
⎨
⎪≥≥
⎩
，若目标函数(0,0)
z ax by a b
=+>>的最大值为4，则
23
a b
+的
最小值为 .
14.已知偶函数()f x 对任意x R ∈均满足(2)(2)f x f x +=-，且当20x -≤≤时，3()log (1)f x x =-，则(2014)f 的值是 .
∴(4)()f x f x +=，∴3(2014)(45032)(2)(2)log 31f f f f =⨯+==-==． 考点：1.函数奇偶性；2.周期；3.函数值.
15.如图，边长为a 的等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 交于点G ，已知'
A DE ∆（'
A ∉平面ABC ）
是ADE ∆绕DE 旋转过程中的一个图形，有下列命题： ①平面'
A FG ⊥平面ABC ； ②BC //平面'
A DE ；
③三棱锥'
A DEF -的体积最大值为
3
164
a ；
④动点'A 在平面ABC 上的射影在线段AF 上； ⑤二面角'A DE F --大小的范围是[0,
]2
π
.
其中正确的命题是 （写出所有正确命题的编号）.
三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16. （本小题满分12分）
已知函数2
()cos cos ()f x x x x m m R =-+∈的图像过点(
,0)12
M π
.
（1）求函数()f x 的单调增区间；
（2）将函数()f x 的图像各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后向左平移
3
π
个单位，得函数()g x 的图像.若,,a b c 分别是ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，4a c +=，且当x B =时，()g x 取得最大值，求b 的取值范围.
∴2b …，又4b a c <+=． ∴b 的取值范围是[)2,4．
考点：1.二倍角公式；2.两角和与差的正弦公式；3.图像平移伸缩变换；4.余弦定理；5.基本不等式. 17. （本小题满分12分）
某数学老师对本校2013届高三学生某次联考的数学成绩进行分析，按1:50进行分层抽样抽取的20名学生的成绩进行分析，分数用茎叶图记录如图所示（部分数据丢失），得到频率分布表如下：
（1）求表中,a b的值及分数在[90,100)范围内的学生数，并估计这次考试全校学生数学成绩及格率（分数在[90,150]范围为及格）；
（2）从大于等于110分的学生中随机选2名学生得分，求2名学生的平均得分大于等于130分的概率.
18. （本小题满分12分）
如图，四棱锥A BCDE -中，侧面ADE ∆是等边三角形，在底面等腰梯形BCDE 中，//CD BE ，2DE =，
4CD =，060CDE ∠=，M 为DE 的中点，F 为AC 的中点，4AC =.
（1）求证：平面ADE ⊥平面BCD ； （2）求证：//FB 平面ADE .
19. （本小题满分13分）定义在R 上的函数()f x 对任意,a b R ∈都有()()()f a b f a f b k +=++（k 为常数）.
（1）判断k 为何值时()f x 为奇函数，并证明；
（2）设1k =-，()f x 是R 上的增函数，且(4)5f =，若不等式2
(23)3f mx mx -+>对任意x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围.
20. （本小题满分13分）已知点(2,0),(2,0)E F -，曲线C 上的动点M 满足3ME MF ∙=-,定点(2,1)A ，由曲线C 外一点(,)P a b 向曲线C 引切线PQ ，切点为Q ，且满足||||PQ PA =. （1）求线段PQ 长的最小值；
（2）若以P 为圆心所作的圆P 与曲线C 有公共点，试求半径取最小值时圆P 的标准方程.
21. （本小题满分13分）已知数列{}n a 中，12a =，2*
12()n n n a a a n N +=+∈.
（1）证明数列{lg(1)}n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）记112
n n n b a a =
++，求数列{}n b 的前n 项和n S .。